2022北京交大附中初三9月月考数学（教师版）

这是一份2022北京交大附中初三9月月考数学（教师版），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京交大附中初三9月月考
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常系数分别是
A. 3，6，1 B. 3，6，-1 C. 3，-6，1 D. 3，-6，-1
2. 把抛物线向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中，△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（　　）

A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线经过点，，则与大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
6. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）

A. 45 B. 60 C. 90 D. 120
7. 已知抛物线，其中，．下列说法正确是（ ）
A. 该抛物线经过原点
B. 该抛物线对称轴在轴左侧
C. 该抛物线的顶点可能在第一象限
D. 该抛物线与轴必有公共点
8. 如图，在中，，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）

A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 一次函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 一元二次方程x2＝2x的解为________．
10. 写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
11. 若关于x一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________．
12. 如图，矩形ABCD中，，．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为______．

13. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________．

15. 抛物线与轴交于两点，分别是，，则的值为_______．
16. 若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为______．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18题3分，第19题~25题，每小题5分，第26题6分，27~28题，每小题7分）
17. 解方程：
（1）
（2）
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为(0，2)，(-1，0)，将绕点O顺时针旋转得到．

（1）画出；
（2）直接写出点和点的坐标．
19. 如图，等边三角形的边长为3，点是线段上的点，，以为边作等边三角形，连接，求的长．

20. 已知m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）的值．
21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…

0

2

0

…

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在上图中画出此二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．
（4）当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是______．
22. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
求实数m的取值范围；
是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．
24. 如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，，求OE的长．
25. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．

（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线与直线没有公共点，求a的取值范围；
（3）点，在此抛物线上，且当时，都有．直接写出a的取值范围．
27. 如图，已知，OP是的平分线，A，B分别在OP，OM上，且．以点A为中心，将线段AO旋转到AC处，使点O的对应点C恰好在射线BM上，在射线ON上取一点D，使得．

（1）①依题意补全图；
②求证：；
（2）连接CD，若，求的度数，并直接写出的值．
28. 点P到的距离定义如下：点Q为的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到的距离，记为．特别的，当点P在的边上时，．
在平面直角坐标系xOy中，．

（1）如图1，若，，则______，______；
（2）在正方形OABC中，点．
①如图2，若点P在直线上，且，求点P坐标；
②将抛物线向下平移个单位长度后得到的新抛物线记作图象W，若点P在图象W上，且满足的点P有且只有两个，请直接写出k的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 【答案】D
【详解】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故方程3x2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1.
故选：D.
2. 【答案】A
【详解】根据二次函数图象平移的法则可知，把抛物线向上平移1个单位长度所得抛物线的表达式是.
故选A.
3. 【答案】B
【分析】连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中心．
【详解】如图，

∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，以及旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
4. 【答案】D
【分析】先移项，再利用完全平方公式进行配方即可得．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解题关键．
5. 【答案】C
【分析】代入、两个点横坐标，求出和，比较即可．
【详解】当 时，，
当 时，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. 【答案】D
【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
7. 【答案】C
【分析】根据函数的图象与系数的关系，需要对题中所给的，，进行分类讨论，也可以画出它的草图，然后根据图象解答即可．
【详解】解：A、∵，
∴该抛物线与轴的交点在轴上方，不经过原点，
∴此选项说法错误，不符合题意；
B、∵，
∴与异号，
∴，
∴该抛物线的对称轴在轴右侧，
∴此选项说法错误，不符合题意；
C、由已知可得抛物线顶点为，
已知，所以顶点可能在第一象限，第四象限或者轴上，
∴此选项说法正确，符合题意；
D、令，则，
∴，
而无法判断其正负情况，
∴不能判断抛物线与轴必有公共点，
∴此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了二次函数各项系数对其图象的影响，对已知条件进行分类讨论是解决问题的关键．
8. 【答案】D
【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．
【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝AC−AM＝5−t，
即y＝5−t，
∴S＝MC•CN＝5t−t2，
因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 【答案】x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，
解得x=0或x=2．
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10. 【答案】等
【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=1是解题关键．
11. 【答案】-2
【分析】把x=0代入方程计算，检验即可求出a的值．
【详解】解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
【点睛】此题考查了一元二次方程解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
12. 【答案】1
【分析】利用矩形和旋转的性质，推出，，所以．
【详解】解：由题意可知：
，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，关键是利用旋转性质得到，再利用矩形的性质得．
13. 【答案】x（x﹣12）＝864．
【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为（x﹣12）步．
依题意，得：x（x﹣12）＝864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14. 【答案】，
【分析】根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，即可得出关于的方程的解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于的方程的解为，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与轴的交点坐标和一元二次方程的解的关系．
15. 【答案】2
【分析】根据根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2-2ax-3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），
∴．
故答案是：2．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系以及根与系数的关系求得答案．
16. 【答案】4
【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
当y=0时，，解得：，
∴，
∴
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标．
三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18题3分，第19题~25题，每小题5分，第26题6分，27~28题，每小题7分）
17. 【答案】（1），
（2），
【分析】（1）移项，方程两边同时开方求解即可；
（2）用配方法或者因式分解法求解即可．
【小问1详解】
，
，
，
解得：，．
【小问2详解】
解法一：解：，
，
，
，．
解法二：解：，
或，
解得：，．
【点睛】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用直接开方法和公式法解一元二次方程．
18. 【答案】（1）见解析 （2）(2，0)，(0，1)
【分析】（1）由旋转的性质找到顶点A和B绕点O顺时针旋转后的对应点，，再顺次连接，O，三点即可；
（2）由图即可直接得出点和点的坐标．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
由图可知(2，0)，(0，1)．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．掌握旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
19. 【答案】1
【详解】解：∵是等边三角形，
∴°．

∴°．
∵是等边三角形，
∴°
∴°．
∴
在与中，
∴≌
∴．
∵，
∴
∴CE=1．
20. 【答案】3.
【分析】把x＝m代入方程得：m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，再整体代入原式＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5可得．
【详解】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴m2﹣3m+1＝0，即m2﹣3m＝﹣1，
∴（m﹣3）2+（m+2）（m﹣2）＝m2﹣6m+9+m2﹣4＝2（m2﹣3m）+5＝3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程，已知方程的根则代入满足方程.
21. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）
【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，结合点（-1，2）利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
（2）描点、连线，画出函数图象；
（3）找出函数图象在x轴上方的部分，此题得解；
（4）在y=x+n中，令x=-1代入，结合条件可得到关于n的不等式，可求得n的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点（-1，0），（1，0），
∴设二次函数的表达式为，
∵二次函数经过点（-1，2），
∴-4a=2，
∴a=，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：描点、连线，画出图形如图所示．
；
【小问3详解】
解：观察函数图象可知：当-3＜x＜1时，函数图象在x轴上方，
∴当y＞0时，自变量x的取值范围为-3＜x＜1；
【小问4详解】
解：∵顶点坐标为（-1，2），
在y=x+n中，令x=-1代入可得y=-1+n，
∵抛物线的顶点在直线y=-x+n的下方时，
∴-1+n＞2，解得n＞3，
故答案为：n＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据给定点的坐标画出函数图象；（3）观察函数图象结合交点坐标找出不等式的解集；（4）观察函数图象结合顶点坐标找出不等式的解集．
22. 【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
23. 【答案】(1) m