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2022北京景山学校初三（下）3月月考数学（教师版）
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这是一份2022北京景山学校初三（下）3月月考数学（教师版），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京景山学校初三（下）3月月考
数 学
一、选择题：
1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A. B. C. D.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A. 2 B. -1 C. -2 D. -3
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A 3 B. C. D.
6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A ∠ABC =70° B. ∠BAD =80° C. CE =CD D. CE =AE
7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x
…
3
6
…
y
…
2
1
…
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
合计
频数
1
2
3
频率
0.05
010
0.15
1
表中组的频率满足．
下面有四个推断：
①表中的值为20；
②表中的值可以为7；
③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题：
9. 若代数式有意义，则的取值范围是____________．
10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是_____．
11. 已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
14. 如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
15. 某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
7班
8班
人数
29
19
25
23
22
27
21
24
若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是_____．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．
三、解答题：
17. 计算：．
18. 解不等式组并求它的整数解．
19. 关于x一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
20. 已知：，CD平分．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．
作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
__________（ ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又____________________，
四边形DFCE为菱形．
21. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
23. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象G交于点．
（1）求的值；
（2）直线与直线交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，当时，直接写出k的取值范围．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
25. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）；
b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨）
组别
1≤x＜1.5
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x≤4.5
平均数
1.4
17
2.3
2.8
3.3
3.7
4.3
c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97
d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图：
e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图；
（2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）．
26. 已知 与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①该抛物线的对称轴为直线 ；
②求点A，B的坐标；
（2）过点C（0，t）作y轴的垂线，与抛物线交于点P（x1，t），Q（x2，t），与直线交于点N（x3，t），若存在 ，使得x1
（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②此时与的数量关系为： ，= °．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
29. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．
（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：16447.1万=
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可.
【详解】解：A. ∠α、∠β互余,不合题意；
B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意；
C. ∠α=60°，∠β=75°，不合题意；
D. ∠α=45°，∠β=60°，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A. 2 B. -1 C. -2 D. -3
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】由数轴的定义得：
又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值；
【详解】原式
，
当时，原式．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC =70° B. ∠BAD =80° C. CE =CD D. CE =AE
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x
…
3
6
…
y
…
2
1
…
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
合计
频数
1
2
3
频率
0.05
0.10
0.15
1
表中组的频率满足．
下面有四个推断：
①表中的值为20；
②表中的值可以为7；
③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m的值；
②根据的频率a满足，可求出该范围的频数，进一步得出b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解.
【详解】解：①日均可回收物回收量（千吨）为时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=，推断合理；
②20×0.2=4，20×0.3=6，
1+2+6+3=12，故表中b的值可以为7，是不合理的推断；
③1+2+6=9，故这m天的日均可回收物回收量的中位数在组，是合理推断；
④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断.
故选：D
【点睛】本题考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键.
二、填空题：
9. 若代数式有意义，则的取值范围是____________．
【9题答案】
【答案】x≥1且x≠2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.
10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是_____．
【10题答案】
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a+b＞4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b＞4的有8种结果，
∴a+b＞4的概率是＝，
故答案：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
11. 已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴当y=0时，，
解得，
∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【12题答案】
【答案】＞
【解析】
【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】=3，
，
故填：＞．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【详解】设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得：，
故答案是：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
14. 如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值．
【详解】连接，作于，
⊙与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
15. 某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
7班
8班
人数
29
19
25
23
22
27
21
24
若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是_____．
【15题答案】
【答案】1班或5班
【解析】
【分析】设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人，根据题意和结合表格数据得19≤190﹣7x≤29，解之即可解答．
【详解】解：设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人，
由题意，19≤190﹣7x≤29，
解得：23≤x≤，
∵x为整数，
∴x=23或24，
当x=23时，190﹣7x=29，
当x=24时，190﹣7x=22，
所以，还没有体检的班级可能是1班或5班，
故答案为：1班或5班．
【点睛】本题考查统计表、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式组是解答的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．
【16题答案】
【答案】 ①. ①， ②. ②或
【解析】
【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理作△APB的外接圆C，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．
【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，
∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7−1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝3，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4−1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，3＋3）；
故答案为：（4，3＋3）；
②如图2，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，
在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴PO＝3＋，
同理得：OP1＝3−，
∴P（0，3±），
同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，−3±），
综上，点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．
三、解答题：
17. 计算：．
【17题答案】
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 解不等式组并求它的整数解．
【18题答案】
【答案】，整数解为0、1．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：x≤1，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0、1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【19题答案】
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
20. 已知：，CD平分．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．
作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
__________（ ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又____________________，
四边形DFCE为菱形．
【20题答案】
【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【解析】
【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；
（2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形．
【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形：
其中四边形DFCE为所求作的菱形；
（2）证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
DEFC（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又，
四边形DFCE为菱形．
故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键．
21. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
【21题答案】
【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【解析】
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【详解】解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④-③得，3x2≤28，
，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为23．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【22题答案】
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：
∵平行四边形ABCD，
∴，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC，
即BC＝EF，
∴，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形 AEFD是矩形．
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，，BE＝1，
∴，
∴AE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°．
∵AD＝3，
∴AF＝＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象G交于点．
（1）求的值；
（2）直线与直线交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，当时，直接写出k的取值范围．
【23题答案】
【答案】（1）a=4，b=1；（2）且k≠1
【解析】
【分析】（1）将点P坐标代入y＝x−3，得出b的值，再把点P坐标代入，即可求出a的值；
（2）先用含k的代数式出点M、N的横坐标，再根据，列出关于k的不等式，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵点在直线上，
∴b＝4−3＝1，
∵函数的图象经过点P（4，1），
∴a＝4×1＝4，
即：a=4，b=1；
（2）∵直线与直线交于点M，
∴，解得：，
∵直线与图象G：交于点N，
∴，解得：，（舍去），且k＞0，
∵点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，且，
∴且k＞0，解得：且k≠1．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像和性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）连接OC，由已知可得∠OCB＋∠BCD＝90°，进而根据∠BCP＝∠BCD，等量代换可得∠OCB＋∠BCP＝90°，即可证明CP是⊙O的切线；
（2）证明OE为△DCG的中位线，由，证明△GCF∽△OAF，进而列出比例式代入数值进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°
∴∠OBC＋∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠BCD＝90°
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°
∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点
∵OGD中点，
∴OE为△DCG的中位线
∴GC＝2OE＝6，
∵
∴△GCF∽△OAF
∴
即
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝
【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
25. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）；
b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨）
组别
1≤x＜1.5
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x≤4.5
平均数
1.4
1.7
2.3
2.8
3.3
3.7
4.3
c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97
d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图：
e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图；
（2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）．
【25题答案】
【答案】（1）见解析；（2）15；8.0；（3）2.8
【解析】
【分析】（1）根据30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图的数值即可补全直方图；
（2）根据30个小区厨余垃圾分出量、表格的数值及其他垃圾分出量情况统计图即可求解；
（3）根据加权平均数的求解方法即可计算．
【详解】（1）由c可知，2.5≤x＜3这一组有6个小区，
则2≤x＜2.5有30-1-5-6-9-3-2=4个小区
故补全直方图如下：
（2）由e可知阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨，在2.5≤x＜3这一组
从高到低排列有9+3+2=14
∴阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第15
由d图可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标约为8
故阳光小区的其他垃圾分出量大约是8.0吨
故答案为15，8.0；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为≈2.8
故答案为：2.8．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意找到对应的数值进行计算求解．
26. 已知 与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）①该抛物线的对称轴为直线 ；
②求点A，B的坐标；
（2）过点C（0，t）作y轴的垂线，与抛物线交于点P（x1，t），Q（x2，t），与直线交于点N（x3，t），若存在 ，使得x1
【答案】（1）①x=2；②A（1，0），B（3，0）
（2）或a<-2
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线对称轴为直线求解．
②将原解析式化为交点式求解．
（2）由点P，Q关于抛物线对称轴对称可得x1+x2=4，从而求出x3=5，t=2，然后联立抛物线方程与直线方程y=2，根据判别式大于0求解．
【小问1详解】
解：①抛物线对称轴为直线= =2，
故答案为：x=2
②=，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和(3，0)，
∴点A（1，0），点B（3，0）
【小问2详解】
解：点P，Q关于抛物线对称轴直线x=2对称，
∴ ，
∴x1+x2=4，
∵x1+x2+x3=9，
∴x3=9-（x1+x2）=5，
把x=5代入y=x-3得y=5-3=2，
∴t=2.
联立方程=2，化简得：-2=0
若存在，使得x1
即△=16a2-4a(3a-2)＞0，
整理得4a2+8a>0，
解得a>0或a<-2．
又∵x1＜x2＜x3，
∴当a>0时，图象开口向上，抛物线与直线x=5交点纵坐标大于2，
即25a-20a+3a＞2，
解得，
当a<0时，图象开口向下，1
【点睛】本题考查二次函图象的性质，解题关键是熟练掌握抛物线对称轴与顶点公式，掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
28. 已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接．
（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②此时与的数量关系为： ，= °．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【28题答案】
【答案】（1）①见解析；②，120；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据提示画出图形即可；②连接DE，证明△DME≌△DFB即可得到结论；
（3）取线段中点，连接．由三角形中位线定理得，，．根据是等边三角形可证明，，再证明得，，进一步可得结论．
【详解】解：（1）①补全图形如图1．
②线段与的数量关系为；．
连接DE，
∵D为BC的中点，E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中䏠线，
∴DE=AB，DE//AB
∵是等边三角形，
∴，．
∵D为BC的中点，
∴
∵
∴，
∴
∵ ，
∴△DME≌△DFB
∴；．
∵
∴
∴．
故答案为：；．
（2）证明：取线段中点，连接．如图2 ．
∵点是边的中点，点是边的中点，
∴，，．
∵是等边三角形，
∴，．
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
29. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．
（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．
【29题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出r1和r2的值即可得解；
（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，分两种情况：①当直线l：与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l；
②当直线l：与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l；分别求得两个切点的坐标，进而得出b值，则可得答案．
【小问1详解】
（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝，
r2＝AC＝，
∴r1＜r2；
故答案为：＜；
【小问2详解】
如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，
当直线l：与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，
则直线OM的解析式为：；
设M，
∵OM＝OB，
∴OM＝，
∴，
解得：x＝或（舍），
∴，
∴M，
将代入得：
，
解得：，
当直线l：与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，
同理，设直线BN的解析式为：，将B（2，2）代入得：
∴，
∴直线BN的解析式为：，
设，
∵BN＝OB，
∴，
∴，
∴m2−4m＋2＝0，
∴（舍）或，
∴，
∴，
∴将代入得：
，
解得：，
∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：．
【点睛】本题是圆的新定义综合题，综合考查了勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、解方程及切线的性质等知识点，正确理解控制圆和控制半径的定义是解题的关键．
2022北京景山学校初三（下）3月月考
数 学
一、选择题：
1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A. B. C. D.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A. 2 B. -1 C. -2 D. -3
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A 3 B. C. D.
6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A ∠ABC =70° B. ∠BAD =80° C. CE =CD D. CE =AE
7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x
…
3
6
…
y
…
2
1
…
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
合计
频数
1
2
3
频率
0.05
010
0.15
1
表中组的频率满足．
下面有四个推断：
①表中的值为20；
②表中的值可以为7；
③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题：
9. 若代数式有意义，则的取值范围是____________．
10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是_____．
11. 已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
14. 如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
15. 某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
7班
8班
人数
29
19
25
23
22
27
21
24
若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是_____．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．
三、解答题：
17. 计算：．
18. 解不等式组并求它的整数解．
19. 关于x一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
20. 已知：，CD平分．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．
作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
__________（ ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又____________________，
四边形DFCE为菱形．
21. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
23. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象G交于点．
（1）求的值；
（2）直线与直线交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，当时，直接写出k的取值范围．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
25. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）；
b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨）
组别
1≤x＜1.5
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x≤4.5
平均数
1.4
17
2.3
2.8
3.3
3.7
4.3
c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97
d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图：
e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图；
（2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）．
26. 已知 与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）①该抛物线的对称轴为直线 ；
②求点A，B的坐标；
（2）过点C（0，t）作y轴的垂线，与抛物线交于点P（x1，t），Q（x2，t），与直线交于点N（x3，t），若存在 ，使得x1
（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②此时与的数量关系为： ，= °．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
29. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．
（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．
参考答案
一、选择题：
1. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【2题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：16447.1万=
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 一副直角三角板有不同的摆放方式，图中满足∠α与∠β相等的摆放方式是（ ）
A. B. C. D.
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别求出∠α、∠β关系，做出判断即可.
【详解】解：A. ∠α、∠β互余,不合题意；
B.根据根据同角的余角相等可得∠α＝∠β，符合题意；
C. ∠α=60°，∠β=75°，不合题意；
D. ∠α=45°，∠β=60°，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了互为余角的意义.掌握同角的余角相等是解题的关键.
4. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数满足，则的值可以是（ ）
A. 2 B. -1 C. -2 D. -3
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】由数轴的定义得：
又
到原点的距离一定小于2
观察四个选项，只有选项B符合
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴的定义，熟记并灵活运用数轴的定义是解题关键．
5. 如果，那么代数式的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值；
【详解】原式
，
当时，原式．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
6. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A. ∠ABC =70° B. ∠BAD =80° C. CE =CD D. CE =AE
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB＝40°，进而利用圆的概念及等腰三角形的性质判断即可．
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及圆心角、弧、弦的关系，关键是根据平行线的性质得出∠CAB＝40°．
7. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值：
x
…
3
6
…
y
…
2
1
…
对于y与x的函数关系有以下4个描述①可能是正比例函数关系；②可能是一次函数关系；③可能是反比例函数关系；④可能是二次函数关系．所有正确的描述是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【7题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中x和y值得变化规律判断即可．
【详解】解：根据表格数据判断xy=6，故有可能为反比例函数；x从-3到3，y的值在增加，然后x从3到6，y值在减小，所以也有可能是二次函数．
故选：C
【点睛】本题主要考查函数的基本关系，能够从自变量何因变量的数值变化判断函数类型是解题的关键．
8. 生活垃圾分类回收是实现垃圾减量化和资源化的重要途径和手段．为了解2019年某市第二季度日均可回收物回收量情况，随机抽取该市2019年第二季度的天数据，整理后绘制成统计表进行分析．
日均可回收物回收量（千吨）
合计
频数
1
2
3
频率
0.05
0.10
0.15
1
表中组的频率满足．
下面有四个推断：
①表中的值为20；
②表中的值可以为7；
③这天的日均可回收物回收量的中位数在组；
④这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3．
所有合理推断的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③④ D. ①③④
【8题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】①根据数据总和=频数÷频率，列式计算即可得出m的值；
②根据的频率a满足，可求出该范围的频数，进一步得出b的值的范围，从而求解；
③根据中位数的定义即可求解；
④根据加权平均数的计算公式即可求解.
【详解】解：①日均可回收物回收量（千吨）为时，频数为1，频率为0.05，所以总数m=，推断合理；
②20×0.2=4，20×0.3=6，
1+2+6+3=12，故表中b的值可以为7，是不合理的推断；
③1+2+6=9，故这m天的日均可回收物回收量的中位数在组，是合理推断；
④（1+5）÷2=3，0.05+0.10=0.15，这天的日均可回收物回收量的平均数不低于3，是合理推断.
故选：D
【点睛】本题考查频数（率）分布表，从表中获取数量及数量之间的关系是解题问题的关键.
二、填空题：
9. 若代数式有意义，则的取值范围是____________．
【9题答案】
【答案】x≥1且x≠2
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-2≠0，
解得：x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.
10. 随机从1，2，3，4中任取两个不同的数，分别记为a和b，则a+b＞4的概率是_____．
【10题答案】
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与a+b＞4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a+b＞4的有8种结果，
∴a+b＞4的概率是＝，
故答案：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
11. 已知抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是________．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，列不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴当y=0时，，
解得，
∵抛物线与轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线与x轴交点区间求参数范围，掌握先求抛物线与x轴交点，列不等式，解不等式是解题关键．
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格线交点，则△ABC与△DBC面积的大小关系为：S△ABC ______ S△DBC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【12题答案】
【答案】＞
【解析】
【分析】在网格中分别计算出三角形的面积，然后再比较大小即可．
【详解】=3，
，
故填：＞．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，在网格中当三角形的底和高不太好求时可以采用割补的方式进行求解，用大的矩形面积减去三个小三角形的面积即得到△ABD的面积．
13. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为_____．
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【详解】设买美酒x斗，买普通酒y斗，
依题意得：，
故答案是：．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
14. 如图，半径为的⊙与边长为的等边三角形的两边、都相切，连接，则_____．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】连接，作于，根据切线长定理得出，解直角三角形求得，即可求，然后解直角三角形即可求得的值．
【详解】连接，作于，
⊙与等边三角形的两边、都相切，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
15. 某校初三年级共有8个班级的190名学生需要进行体检，各班学生人数如下表所示：
班级
1班
2班
3班
4班
5班
6班
7班
8班
人数
29
19
25
23
22
27
21
24
若已经有7个班级的学生完成了体检，且已经完成体检的男生、女生的人数之比为，则还没有体检的班级可能是_____．
【15题答案】
【答案】1班或5班
【解析】
【分析】设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人，根据题意和结合表格数据得19≤190﹣7x≤29，解之即可解答．
【详解】解：设已经完成体检的男生4x人，女生3x人，则完成体检的总人数7x人，没完成体检的总人数（190﹣7x）人，
由题意，19≤190﹣7x≤29，
解得：23≤x≤，
∵x为整数，
∴x=23或24，
当x=23时，190﹣7x=29，
当x=24时，190﹣7x=22，
所以，还没有体检的班级可能是1班或5班，
故答案为：1班或5班．
【点睛】本题考查统计表、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式组是解答的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义:若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点.”
①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为 __________________；
②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为 __________________．
【16题答案】
【答案】 ①. ①， ②. ②或
【解析】
【分析】①根据P在直线x＝4上画图1，作△APB的外接圆C，连接AC，BC，可知：AB＝6，⊙C的半径为3，最后计算PD的长可得点P的坐标；
②同理作△APB的外接圆C，计算OP和OP1的长，可得点P的坐标，注意不要丢解．
【详解】解：①如图1，作△APB的外接圆，设圆心为C，连接AC，BC，
∵点A与点B的坐标分别是（1，0）与（7，0），
∴AB＝7−1＝6，
∵∠APB＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，AC2+BC2＝AB2
∴AC＝BC＝3，
∴PC＝3，
∵点P在直线x＝4上，
∴AD＝4−1＝3，
∴AD＝BD，
∵CD⊥AB，
∴CD＝AD＝3，
∴P（4，3＋3）；
故答案为：（4，3＋3）；
②如图2，同理作△APB的外接圆，设圆心为C，过C作CD⊥x轴于D，作CE⊥OP于E，连接PC，P1C，
在y轴上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，
则①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝3，
由勾股定理得：PE＝，
∴PO＝3＋，
同理得：OP1＝3−，
∴P（0，3±），
同理在y轴的负半轴上，存在符合条件的点P的坐标为（0，−3±），
综上，点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，作△APB的外接圆是本题的关键．
三、解答题：
17. 计算：．
【17题答案】
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18. 解不等式组并求它的整数解．
【18题答案】
【答案】，整数解为0、1．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：x≤1，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为0、1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【19题答案】
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】分析：（1）求出根的判别式，判断其范围，即可判断方程根的情况.
（2）方程有两个相等的实数根，则，写出一组满足条件的，的值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
20. 已知：，CD平分．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．
作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
__________（ ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又____________________，
四边形DFCE为菱形．
【20题答案】
【答案】（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【解析】
【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；
（2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形．
【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形：
其中四边形DFCE为所求作的菱形；
（2）证明：，
为DC的垂直平分线．
，
．
平分，
．
，
DEFC（ 内错角相等，两直线平行 ）（填推理依据）
同理可证，
四边形DFCE为平行四边形．
又，
四边形DFCE为菱形．
故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．
【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键．
21. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为______；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
【21题答案】
【答案】（1）如表所示，见解析；（2）4，5，6；（3）23.
【解析】
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【详解】解：（1）
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④-③得，3x2≤28，
，
，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为23．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【22题答案】
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到，由矩形的性质得到．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：
∵平行四边形ABCD，
∴，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC，
即BC＝EF，
∴，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形 AEFD是矩形．
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，，BE＝1，
∴，
∴AE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°．
∵AD＝3，
∴AF＝＝＝．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形及勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图象G交于点．
（1）求的值；
（2）直线与直线交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，当时，直接写出k的取值范围．
【23题答案】
【答案】（1）a=4，b=1；（2）且k≠1
【解析】
【分析】（1）将点P坐标代入y＝x−3，得出b的值，再把点P坐标代入，即可求出a的值；
（2）先用含k的代数式出点M、N的横坐标，再根据，列出关于k的不等式，进而即可求解．
【详解】解：（1）∵点在直线上，
∴b＝4−3＝1，
∵函数的图象经过点P（4，1），
∴a＝4×1＝4，
即：a=4，b=1；
（2）∵直线与直线交于点M，
∴，解得：，
∵直线与图象G：交于点N，
∴，解得：，（舍去），且k＞0，
∵点M到y轴的距离记为，点N到y轴的距离记为，且，
∴且k＞0，解得：且k≠1．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数与反比例函数的图像和性质以及图像上点的坐标特征，是解题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长
【24题答案】
【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）连接OC，由已知可得∠OCB＋∠BCD＝90°，进而根据∠BCP＝∠BCD，等量代换可得∠OCB＋∠BCP＝90°，即可证明CP是⊙O的切线；
（2）证明OE为△DCG的中位线，由，证明△GCF∽△OAF，进而列出比例式代入数值进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°
∴∠OBC＋∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠BCD＝90°
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°
∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点
∵OGD中点，
∴OE为△DCG的中位线
∴GC＝2OE＝6，
∵
∴△GCF∽△OAF
∴
即
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝
【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
25. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）；
b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨）
组别
1≤x＜1.5
1.5≤x＜2
2≤x＜2.5
2.5≤x＜3
3≤x＜3.5
3.5≤x＜4
4≤x≤4.5
平均数
1.4
1.7
2.3
2.8
3.3
3.7
4.3
c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97
d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图：
e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图；
（2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）．
【25题答案】
【答案】（1）见解析；（2）15；8.0；（3）2.8
【解析】
【分析】（1）根据30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图的数值即可补全直方图；
（2）根据30个小区厨余垃圾分出量、表格的数值及其他垃圾分出量情况统计图即可求解；
（3）根据加权平均数的求解方法即可计算．
【详解】（1）由c可知，2.5≤x＜3这一组有6个小区，
则2≤x＜2.5有30-1-5-6-9-3-2=4个小区
故补全直方图如下：
（2）由e可知阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨，在2.5≤x＜3这一组
从高到低排列有9+3+2=14
∴阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第15
由d图可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标约为8
故阳光小区的其他垃圾分出量大约是8.0吨
故答案为15，8.0；
（3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为≈2.8
故答案为：2.8．
【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意找到对应的数值进行计算求解．
26. 已知 与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）①该抛物线的对称轴为直线 ；
②求点A，B的坐标；
（2）过点C（0，t）作y轴的垂线，与抛物线交于点P（x1，t），Q（x2，t），与直线交于点N（x3，t），若存在 ，使得x1
【答案】（1）①x=2；②A（1，0），B（3，0）
（2）或a<-2
【解析】
【分析】（1）①根据抛物线对称轴为直线求解．
②将原解析式化为交点式求解．
（2）由点P，Q关于抛物线对称轴对称可得x1+x2=4，从而求出x3=5，t=2，然后联立抛物线方程与直线方程y=2，根据判别式大于0求解．
【小问1详解】
解：①抛物线对称轴为直线= =2，
故答案为：x=2
②=，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0）和(3，0)，
∴点A（1，0），点B（3，0）
【小问2详解】
解：点P，Q关于抛物线对称轴直线x=2对称，
∴ ，
∴x1+x2=4，
∵x1+x2+x3=9，
∴x3=9-（x1+x2）=5，
把x=5代入y=x-3得y=5-3=2，
∴t=2.
联立方程=2，化简得：-2=0
若存在，使得x1
即△=16a2-4a(3a-2)＞0，
整理得4a2+8a>0，
解得a>0或a<-2．
又∵x1＜x2＜x3，
∴当a>0时，图象开口向上，抛物线与直线x=5交点纵坐标大于2，
即25a-20a+3a＞2，
解得，
当a<0时，图象开口向下，1
【点睛】本题考查二次函图象的性质，解题关键是熟练掌握抛物线对称轴与顶点公式，掌握二次函数与一元二次方程及不等式的关系．
28. 已知等边，为边中点，为边上一点（不与A，重合），连接．
（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与A，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①依题意补全图1；
②此时与的数量关系为： ，= °．
（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【28题答案】
【答案】（1）①见解析；②，120；（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据提示画出图形即可；②连接DE，证明△DME≌△DFB即可得到结论；
（3）取线段中点，连接．由三角形中位线定理得，，．根据是等边三角形可证明，，再证明得，，进一步可得结论．
【详解】解：（1）①补全图形如图1．
②线段与的数量关系为；．
连接DE，
∵D为BC的中点，E为AC的中点，
∴DE为△ABC的中䏠线，
∴DE=AB，DE//AB
∵是等边三角形，
∴，．
∵D为BC的中点，
∴
∵
∴，
∴
∵ ，
∴△DME≌△DFB
∴；．
∵
∴
∴．
故答案为：；．
（2）证明：取线段中点，连接．如图2 ．
∵点是边的中点，点是边的中点，
∴，，．
∵是等边三角形，
∴，．
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及三角形中位线定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
29. 对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．
（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1 r2；
（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=x+b；若存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．
【29题答案】
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据控制半径的定义，分别求出r1和r2的值即可得解；
（2）如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，分两种情况：①当直线l：与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l；
②当直线l：与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l；分别求得两个切点的坐标，进而得出b值，则可得答案．
【小问1详解】
（1）由题意得：r1＝BD＝CD＝，
r2＝AC＝，
∴r1＜r2；
故答案为：＜；
【小问2详解】
如图所示：⊙O和⊙B的半径均等于OB，
当直线l：与⊙O相切于点M时，连接OM，则OM⊥l，
则直线OM的解析式为：；
设M，
∵OM＝OB，
∴OM＝，
∴，
解得：x＝或（舍），
∴，
∴M，
将代入得：
，
解得：，
当直线l：与⊙B相切于点N时，连接BN，则BN⊥l，
同理，设直线BN的解析式为：，将B（2，2）代入得：
∴，
∴直线BN的解析式为：，
设，
∵BN＝OB，
∴，
∴，
∴m2−4m＋2＝0，
∴（舍）或，
∴，
∴，
∴将代入得：
，
解得：，
∴存在正方形OABC的F点控制圆与直线l有两个交点，此时b的取值范围为：．
【点睛】本题是圆的新定义综合题，综合考查了勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式、解方程及切线的性质等知识点，正确理解控制圆和控制半径的定义是解题的关键．
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