2022北京清华附中初三9月月考数学（教师版）

这是一份2022北京清华附中初三9月月考数学（教师版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京清华附中初三9月月考
数 学
一、选择题
1. 抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是(　　)
A. (4，﹣5)，开口向上 B. (4，﹣5)，开口向下
C. (﹣4，﹣5)，开口向上 D. (﹣4，﹣5)，开口向下
2. 抛物线和的对称轴分别是（ ）
A. y轴，直线 B. 直线， C. 直线，直线 D. y轴，直线
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根
C. 方程没有实数根 D. 无法确定
4. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①；②；③；④，则的大小关系为

A. B. C. D.
5. 如图，直线与抛物线分别交于A(−1，0)，B(2，−3)两点，那么当时，x的取值范围是（ ）

A. 或 B. C. D.
6. 已知点，，在抛物线上，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3
8. 如图在同一坐标系中，一次函数和二次函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3

y
…
10
5
2
1
2
…
则当时，x的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D. 或
10. 定义为函数特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论有（ ）个
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11. 已知函数是二次函数，则m＝_____．
12. 抛物线的对称轴是直线________，顶点坐标是________，图象不经过第________象限．
13. 写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0，−2)，这个二次函数的解析式可以是________．
14. 把抛物线向右平移1个单位，向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是________．
15. 已知抛物线的顶点在x轴上，则m的值为________．
16. 已知抛物线（k为常数）．
（1）若此抛物线关于y轴对称，则k的值为________；
（2）若此抛物线经过原点，则k的值________；
（3）若此抛物线与x轴有两个公共点，则k的取值范围________．
17. 抛物线关于x轴对称的图象的函数表达式为________．
18. 二次函数图象如图，对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有两个交点，则t的取值范围是________．

19. 已知二次函数的图象如图，有下列结论：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
正确的结论是________．（填序号）

三、解答题
20. 解方程
（1）；
（2）．
21. 已知二次函数的表达式为．
①利用配方，将其化成的形式；
②求图象与两坐标轴交点的坐标；

③利用五点作图法，在图中画出图象；
x
…





…
y
…





…
④观察图象，当x________时，y随x的增大而减小；
⑤观察图象，当时，直接写出y的取值范围：________．
22. 已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．
（1）求二次函数解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点，在该抛物线上，若，直接写出的取值范围．
23. 关于x的方程
（1）求证：无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根；
（2）若有一根大于4且小于8，求实数m的取值范围．
24. 某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．

（1）建立如图所示平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线的解析式；
（2）不考虑其它因素，求水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外．
25. 已知抛物线（a为常数，）．

（1）若，求此抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）设、是抛物线上的两点，其中，
①当时，________；（用含a的式子表示）
②当时，都有，求a取值范围．
26. 如图，正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，交于点．

（1）求的度数；
（2）求证：；
（3）连接，直接用等式表示线段，，的数量关系．
（B卷）
27. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________．

28. （1）当时，则函数的最大值为________；
（2）当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为________．
29. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点．
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

参考答案
一、选择题
1. 【答案】A
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．
【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4，﹣5)．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.
2. 【答案】D
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴．
【详解】解：的对称轴为y轴；
的对称轴为直线x=-2，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h得出是解题关键．
3. 【答案】C
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断．
【详解】解：一元二次方程，
∵＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0），当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．
4. 【答案】A
【详解】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越小”分析可得：
.
故选A.
点睛：（1）二次函数的图象的开口方向由“的符号”确定，当时，图象的开口向上，当时，图象的开口向下；（2）二次函数的图象的开口大小由的大小确定，当越大时，图象的开口越小.
5. 【答案】D
【分析】根据图象得出取值范围即可．
【详解】解：因为直线与抛物线分别交于A（-1，0），B（2，-3）两点，
所以当时，-1＜x＜2，
故选：D．
【点睛】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．
6. 【答案】B
【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线为，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线为，且-1＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，点，，在抛物线上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
7. 【答案】B
【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解；
【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键．
8. 【答案】B
【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中a、c的正负情况，即可判断哪个选项是正确的．
【详解】解：A．一次函数y=ax+c中a＞0，c＞0，二次函数中a＜0，c＞0，故选项A不符合题意；
B．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数中a＜0，c＞0，故选项B符合题意；
C．一次函数y=ax+c中a＜0，c＜0，二次函数中a＞0，c＜0，故选项C不符合题意；
D．一次函数y=ax+c中a＜0，c＞0，二次函数中a＞0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，利用数形结合的思想解答．
9. 【答案】C
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性可判断二次函数的对称轴以及当y=5时，x的另一个取值；然后根据表格以及二次函数的性质即可求出当时，x的取值范围．
【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
当x=0时，y=5；当x=4时，y=5，
∴当时，x的取值范围为x<0或x>4
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，掌握二次函数图象的对称性根据表格得出函数的对称轴是关键．
10. 【答案】C
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可确定正确的答案．
【详解】解：把m=-3代入特征数得：a=-6，b=4，c=2，
∴函数解析式为，
∴函数图象的顶点坐标是，故①正确；
令y=0，则
解得：，
∴函数图象与x轴两交点坐标为（1，0），，
当m>0时，，故②正确；
当m<0时，函数开口向下，对称轴为直线，
∴x可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，故③错误；

，
若使函数图象经过同一点，m≠0时，应使，
解得，
当x=1时，y=0，当时，，
∴函数图象一定经过点（1，0）和，故④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、顶点坐标的求法，这往往是进一步研究二次函数的性质的基础．
二、填空题
11. 【答案】-1
【分析】根据二次函数的定义，最高次数等于2，二次项系数不等于0，即可得到答案.
【详解】解：依题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案是：﹣1
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义.
12. 【答案】 ①. x=1 ②. （1，1） ③. 二
【分析】将抛物线的表达式化为顶点式即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴函数的对称轴为：x=1，顶点坐标为：（1，1），
∵函数开口向下，顶点坐标在第一象限，当x=0时，y=0，
∴函数图像不经过第二象限．
故答案为：x=1，（1，1），二
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，根据函数的表达式找出函数的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
13. 【答案】
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-2，取a=-1，b=0即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，-2），
∴c=-2．
取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c=-2是解题的关键．
14. 【答案】
【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴把抛物线向右平移1个单位，向上平移4个单位，得到的新的抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴得到的新的抛物线的解析式是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移变换，掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．
15. 【答案】-9
【分析】将抛物线的函数表达式写成顶点式，找出顶点坐标，根据顶点再x轴上则纵坐标为0即可求解．
【详解】解：，
∴该函数的顶点坐标为（-3，-9-m），
∵函数顶点在x轴上，
∴-9-m=0，解得：m=-9，
故答案为：-9
【点睛】本题主要考查了将二次函数的表达式转化为顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式特征，会根据顶点式写出顶点坐标是解题的关键．
16. 【答案】 ①. k=1. ②. k=3 ③. 且 k≠0.
【分析】（1）令2（k-1）=0即可求解.
（2）令k-3=0即可求解.
（3）令y=0,l利用∆>0即可求解.
【详解】解：（1）令2（k-1）=0.
解得：k=1.
故答案为：k=1.
（2）令k-3=0.
解得：k=3.
故答案为：k=3.
（3）令y=0,即：
∵是抛物线.
∴k≠0.
又∵此抛物线与x轴有两个公共点.
∴∆>0
∴.
故答案为：且 k≠0.
【点睛】本题考查二次函数图像的特点，需要掌握（a≠0）关于y轴对称即b=0;关于过原点是c=0；关于与x轴的交点问题是利用判别式判断.
17. 【答案】
【分析】关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
【详解】解：根据题意，所求的抛物线是，
即抛物线关于x轴对称的图象的解析式为：．
【点睛】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．
18. 【答案】
【分析】先求出b的值，可得到抛物线的解析式，从而得到该函数的最大值为y=4，再根据题意可得当x=1与﹣3时，在的范围内函数值最小，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
解得：b=-2，
∴二次函数解析式为，
∴该函数的最大值为y=4，
∵，
∴当x=1与﹣3时，在的范围内函数值最小，最小值为，
∴当时，直线与抛物线在的范围内有两个交点．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与一元二次方程的关系．
19. 【答案】②④⑤⑦
【分析】根据抛物线的开口方向判断①；根据对称轴的位置判断②；根据抛物线与y轴的交点位置判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④；根据对称轴判断⑤；根据横坐标为3的抛物线上的点的纵坐标正负情况判断⑤；根据横坐标为-1的抛物线上的点的纵坐标取值范围判断⑦．
【详解】解：观察图象得：二次函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线，
∴，，故①③错误；
∴，
∴，故②⑤正确；
观察图象得：二次函数图象与x轴有2个交点，
∴，故④正确；
∵二次函数图象与x轴的一个交点为（-2，0），对称轴为直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点为（4，0），
当x=3时，y＜0，
∴，故⑥错误；
当x=-1时，y＜0，
∴，
∴，故⑦正确；
∴正确的有②④⑤⑦．
故答案为：②④⑤⑦
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定与0的关系．
三、解答题
20. 【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用公式法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，
即，
解得：；
【小问2详解】
解：
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21. 【答案】①；②，；③作图见解析；④；⑤．
【分析】①利用配方法进行配方即可；②分别将和代入解析式进行求解即可；
③根据五点作图法，画图即可；④根据二次函数的性质，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；⑤根据二次函数的性质，求出最大值和最小值即可．
【详解】解：①；
②当时：，抛物线与轴交点坐标为：，
当时：，解得：，
抛物线与轴交点坐标为：；
③填表作图如下：
x
…
－4
－3

－1
0
…
y
…

0

0

…

④由图象可知：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
即当时，y随x的增大而减小；
⑤由图象可知：；
【点睛】本题考查二次函数图象和性质．解题的关键是：根据五点作图法，准确的画出函数图象，利用数形结合的思想解题．
22. 【答案】（1）二次函数的解析式为，顶点D的坐标为；
（2）-≤≤1．
【分析】（1）设一般式为，然后把三个点的坐标代入得到a、b、c的方程组，再解方程组即可；
（2）先得出抛物线的对称轴直线，再利用二次函数的对称性得出点N的对称点，最后利用二次函数的增减性解答即可．
【小问1详解】
解：设抛物线解析式为，
把A（-1，0），B（0，-3）和C（3，12）代入，
得，解得：，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴顶点D的坐标为；
小问2详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴N（1，）关于直线x=的对称点为（−，-2），
∵M（，），N（，）在该抛物线上，且≤，
∴-≤≤1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析 （2）
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求证；
（2）利用公式法求出，再由有一根大于4且小于8，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：，
∵，
∴，
∴无论m取任何实数值，此方程都有两个实数根；
【小问2详解】
解：，
解得：，
∵有一根大于4且小于8，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）6米
【分析】（1）根据题意可知，点A（0，2.25），顶点坐标为（1，3），设函数的表达式为，将点A代入求解即可；
（2）先求出函数与x轴的交点坐标，即可求出水池的半径，将半径乘以2则可得到直径．
【小问1详解】
解：根据题意得：点A（0，2.25），顶点坐标为（1，3），
设函数的表达式为，
把点A代入得：，解得：，
∴第一象限内抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
由（1）可得，
当y=0时，，
解得：，（舍），
∴水池直径：3×2=6（m），
答：水池直径至少为6米才能使喷出的水流不落到池外．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质，根据题意求出函数的表达式是解题的关键．
25. 【答案】（1）对称轴为x=-1，顶点坐标：（-1，1）
（2）①-a，②a≥-4
【分析】（1）将a=2代入求出函数的表达式，然后将函数表达式转化为顶点式即可进行解答；
（2）①根据二次函数的对称性即可进行解答；②将和代入，根据可得，根据不等式的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：当a=2时，，
∴该函数的对称轴为：x=-1，顶点坐标为：（-1，1），
小问2详解】
①，
根据函数的对称性可知，当时，，
故答案为：-．
②，，
∵，
∴，
则：，
整理得：，
，
，
∵，，
∴，则，
∴-a≤4，解得：a≥-4，
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质以及二次函数与不等式的关系是解题的关键．
26. 【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【分析】（1）根据三角形的外角定理得：∠AFB＝∠FAD＋∠ADB＝15°＋45°＝60°；
（2）连接CF，证明△ADF≌△CDF（SAS），得∠DAF＝∠DCF＝15°，再证明△ECF≌△BCF（AAS），可得结论；
（3）过C作CG⊥BD于G，设FG＝x，则CF＝2x，CG＝BG＝x，还可以表示AB的长，可得结论．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
由旋转得：，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）连接，

∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3），理由是：
过作于，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，三角形全等的性质和判定，等边三角形的性质等，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意勾股定理、等边三角形性质以及参数的灵活运用．
27. 【答案】②③##③②
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线上过点（1，2），进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∵对称轴x=-＜0，
∴b＞0，
又∵该抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴abc＜0；故①错误；
②根据图象知，当x=1时，y=2，即a+b+c=2；故②正确；
④当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0 （1），
由②a+b+c=2可得：c=2-a-b（2），
把（2）式代入（1）式中得：b＞1；故④错误；
③∵对称轴x=-＞-1，
∴2a＞b，
∵b＞1，
∴2a＞1，即a＞；故③正确；
综上所述，正确的说法是：②③；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点，此题要会利用图象找到所需信息，也要会用不等式和等式结合来解题．
28. 【答案】 ①. 16 ②. 2或
【分析】（1）根据绝对值的意义，求出的解集，再求出不同情况下的最大值即可；
（2）根据函数表达式求出对称轴为x=m，分析当m>1，，m<-2时函数值取最值不同情况，分别求出不同情况下m的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴-6≤x+1≤6，解得：-7≤x≤5，
当-7≤x<0时，，
此时：当x=-1时，y有最大值2；
当0 此时，当x=5时，y有最大值16，
当x=0时，y=1，
综上：当时，则函数的最大值为16；
故答案为：16．
（2）∵二次函数，
∴该函数的对称轴为：x=m，
∵函数开口向下，
∴当xm时，y随x的增大而减小；
①当m>1时，
此时x ∴当x=1时，y取最大值，
即，解得：m=2，
②当时，
此时，当x=m时，y取最大值，
即，解得：（舍）或，
③当m<-2时，
此时x>m，y随x的增大而减小，
∴当x=-2时，y有最大值，
即，解得：（舍），
综上：当m=2或时，有最大值4，
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，根据对称轴和函数的增减性得出函数的最值是解题的关键．
29. 【答案】（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或．
【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（0，4），根据点的平移即可求出点的坐标；
（2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴；
（3）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可.
详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、．
∴（，0），（0，4）
∴（5，4）
（2）解：抛物线过（，）
∴．
∴
∴对称轴为．
（3）解：①当抛物线过点时．

，解得．
②当抛物线过点时．

，解得．
③当抛物线顶点在上时．

此时顶点为（1，4）
∴，解得．
∴综上所述或或．
点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用.