2022北京首师附中初三（下）3月月考数学（教师版）

这是一份2022北京首师附中初三（下）3月月考数学（教师版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京首师附中初三（下）3月月考
数 学
一、选择题（共8小题）
1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ）

A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体
2. 第24届冬季奥林匹克运动会单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米，将1712000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1712×103 B. 1.712×106 C. 1.712×107 D. 0.1712×107
3. 2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，，则的度数是（ ）

A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
5. 若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
6. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
7. 小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象如图所示.小明选择的物体可能是( )

A. B. C. D.
二、填空题（共8小题）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
10. 分解因式：6x2y﹣3xy＝_____．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
12. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是上两点，若∠D=110°，则∠ABC=____度．

13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

14. 如图1超我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成如图2，已知，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是______cm．


15. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝_____°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）

16. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．

（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_____；
（2）记为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_____．
三、解答题（共12小题）
17. 计算：．
18. 解不等式组．
19. 先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
20. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
21. 如图，在中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作交DF的延长线于点E，连结AE．

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．
（2）若，，，求DC的长．
22. 在平面直角坐标系中，直线：与双曲线：的一个交点为．
（1）求和的值；
（2）若直线：（）与双曲线：有两个公共点，它们的横坐标分别为，（），直线与直线的交点横坐标为，若，请结合函数图象，求的取值范围．
23. 如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径及的长．
24. 学校对甲、乙两班各50名学生进行“数学学科能力”测试，测试完成后分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整：
甲班10名学生测试成绩统计如下：100，78，87，93，92，98，90，90，83，99；
乙班10名学生测试成绩不低于80，但低于90分的成绩如下：86，87，83，82，87．


【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别/
频数
：
：
：
：
：
甲
1
1
1
4
3
乙
1
2
3
1
3
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
91

91
450
乙
88.7
87

45.5

（1）根据以上信息，可以求出：______，______，______，______；
（2）请根据数据分析，你认为哪个班的学生数学学科能力整体水平较好，请说明理由；
（3）若规定得分在80分以上为合格，请估计参加数学学科能力测试的学生中合格的学生公共有多少人．
25. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．


小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
21
0
FD/cm
8.0
7.4
69
6.5
61
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①当点为弧的中点时，．则上中的值是 ；
②线段的长度无需测量即可得到．请简要说明理由；
（2）将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．


26. 已知：二次函数：，一次函数：．
（1）求二次函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）当时，点为：上一个动点，将点向右平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若与交于，两点，且，两点在对称轴两侧，请直接写出的取值范围．
27. 如图，在中，，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，连接，作的角平分线交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；
（2）设，求；（用含的代数式表示）；
（3）请判断线段，，之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，已知平面内一点与线段（不在线段上），在线段上有不同的两点，，当取最大时，记此时直线与直线所夹锐角为，若，则称点为线段的一个“小角点”．
已知：点的坐标为，．


（1）在，，中，是线段的“小角点”的是______；
（2）以为边在直线的上方作正方形，记在正方形内部（包含边界），线段的所有“小角点”组成的图形面积为，求的值；
（3）已知，，若线段上存在线段的“小角点”，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（共8小题）
1. 如图是某几何体的视图，该几何体是（ ）

A. 圆柱 B. 球 C. 三棱柱 D. 长方体
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图和左视图都是高度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
【详解】解：∵几何体的主视图和左视图都是高度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆形，
故该几何体是一个圆柱，
故选A．
【点睛】题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
2. 第24届冬季奥林匹克运动会单板大跳台项目场馆坐落在北京市首钢园区的北京冬季奥林匹克公园，园区总占地面积171.2公顷即1712000平方米，将1712000用科学记数法表示应为（　　）
A. 1712×103 B. 1.712×106 C. 1.712×107 D. 0.1712×107
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法即可求得结果．
【详解】解：用科学记数法表示：1712000=1.712×106．
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 2022年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形
【详解】A选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
4. 如图，AB∥CD，AD⊥CE于点A，，则的度数是（ ）

A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形的内角和为180°求出∠ACD的度数，然后根据∠ACD与∠2是同位角即可得到答案.
【详解】解：∵∠DAC是直角，∠1=60°，∠ACD+∠DAC+∠1=180°
∴∠DAC=90°
∴∠ACD=180°-∠DAC-∠1=30°
又∵AB∥CD
∴∠ACD=∠2=30°
故选A.
【点睛】本题主要考查了三角形内角和和同位角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点.
5. 若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】通过内角求出外角，利用多边形外角和360度，用除以外角度数即可．
【详解】∵正多边形的每个内角都相等，且为，
∴其一个外角度数为，
则这个正多边形的边数为．
故选D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角公式，求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和知识求解更简单．
6. 实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上a,b的位置，可得 ，又，可得a,b同号，同为正或者同为负.
【详解】本题考查不等式的性质．借助于数轴可知，因此不能判断，，，故A，B，C错误；而由得，由于，故，因此D正确，故选D．
【点睛】本题主要考查借助数轴判断式子是否成立，通过解答本题渗透数形结合的数学思想.
7. 小明想在2个“冰墩墩”和1个“雪容融”里随机选取两个吉祥物作为冬奥会纪念品，小明选取一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”结果有4种，再由概率公式求解即可
【详解】解：根据题意画图如下：

共有6种等可能的情况数，其中选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”的有4种，
则小明选取到一个“冰墩墩”和一个“雪容融”额概率是 ．
故选：C．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8. 小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象如图所示.小明选择的物体可能是( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，可以确定问题的形状．
【详解】由图象可知，水面高度先不变，再下降，又不变，后以固定速度下降，
由开始和结尾可知A、C错误，
由中间不变可知，D错误，
故选B．
二、填空题（共8小题）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案：为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
10. 分解因式：6x2y﹣3xy＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11. 与 最接近的自然数是 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据得到，进而得到，因为14更接近16，所以最接近的自然数是2．
【详解】解：，可得，
∴，
∵14接近16，
∴更靠近4，
故最接近的自然数是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查无理数的估算，找到无理数相邻的两个整数是解题的关键．
12. 如图，AB是半圆O的直径，C，D是上两点，若∠D=110°，则∠ABC=____度．

【答案】20
【解析】
【分析】由∠D=110°利用圆内接四边形的性质求出∠A=70°，根据AB是半圆O的直径得到∠ACB=90°，由此求出答案.
【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∵∠D=110°，
∴∠A=70°，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-70°=20°，
故答案为：20.
【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，利用圆内接四边形求出∠A的度数是解题的关键.
13. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，∥，，
在中，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵∥，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
14. 如图1超我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD、BC与桌面构成如图2，已知，∠COD＝60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是______cm．


【答案】60
【解析】
【分析】连接CD，过点A作，垂足为E，首先证明是等边三角形，然后求出，最后利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：连接CD，过点A作，垂足为E，


∵，∠COD＝60°，
∴是等边三角形，
∴，
在中，cm，
∴cm，
∴点A到地面(CD所在的平面)的距离是60cm．
故答案为：60．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图像添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝_____°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）

【答案】45
【解析】
【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB−∠PCD＝∠PAB−∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB−∠PCD的度数．
【详解】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，
则PA＝，PE＝，AE＝，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1，2，3．

（1）记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_____；
（2）记为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi＝Ai的综坐标+Bi的纵坐标；进而得到答案．
（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则pi为AiBi中点与原点连线的斜率；进而得到答案．
【详解】解：（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，
Q1＝A1的纵坐标+B1的纵坐标；
Q2＝A2的纵坐标+B2的纵坐标，
Q3＝A3的纵坐标+B3的纵坐标，
由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1，
（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，
则pi为AiBi中点与原点连线的斜率，
故p1，p2，p3中最大的是p2
故答案为：Q1，p2

【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Qi和pi的几何意义，是解答的关键．
三、解答题（共12小题）
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】
=
=
=5
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题是关键．
18. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式①②，再根据不等式的解集求得不等式组的解集
【详解】
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
19. 先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
【答案】，-3
【解析】
【分析】先按单项式乘多项式法则及平方差公式展开，合并同类项，再由条件变形为，最后代入求值即可．
【详解】


∵
∴
∴
【点睛】本题考查了多项式的化简求值，涉及单项式乘多项式，平方差公式，合并同类项等知识，用到了整体代入法．
20. 关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个实数根为负数，求正整数m的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式即可；
（2）解方程，根据题意列出不等式，求不等式的正整数解即可．
【详解】解：（1）关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－4＝0中，，

方程总有两个实数根；
（2）

解得
方程有一个实数根为负数，

解得
m是正整数

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握以是知识是解题的关键．
21. 如图，在中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作交DF的延长线于点E，连结AE．

（1）求证：四边形ADCE为平行四边形．
（2）若，，，求DC的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明可得AD=CE,最后结合即可证明；
（2）如图：作于点H，在Rt△DFH中利用三角函数可得FH的长，最后在Rt△CFH中运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵F为AC的中点，
∴，
又∵，
．
∴
∵
∴四边形ADCE为平行四边形；
（2）作于点H．
∵四边形ADCE为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，得，
，得．
在中，，，，
∴．
由勾股定理，得．
∴．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行四边形的判定、全等三角形的判定的综合应用等知识点，正确作出辅助线、灵活利用三角函数解直角三角形成为解答本题是关键．
22. 在平面直角坐标系中，直线：与双曲线：的一个交点为．
（1）求和的值；
（2）若直线：（）与双曲线：有两个公共点，它们的横坐标分别为，（），直线与直线的交点横坐标为，若，请结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）把A点坐标代入到反比例函数解析式中即可求出n和点A的坐标，然后把点A的坐标代入到直线的解析式中即可求出b；
（2）设直线：（）与双曲线：的另一个交点为B，先求出B点的坐标，然后结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线：与双曲线：的一个交点为，
∴，
∴，
∴点A的坐标为（2，1），
把点A的坐标代入到直线：中得，
∴
小问2详解】
解：设直线：（）与双曲线：的另一个交点为B，
联立，
解得或，
∴点B的坐标为（-1，-2）
设直线经过点A，直线经过点B，
∴，
∴，
∴直线的解析式为 ，直线的解析式为，
如函数图象，当直线：在当时的函数值小于1时，满足，
当时的函数值小于-2时也满足，
∴或，
∴或．

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题关键在于能够利用数形结合的思想求解．
23. 如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求半径及的长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为1.5，
【解析】
【分析】（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO==∠F，即可求证；
（2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接DE，

∵，
∴AB与相切，
∵AD与相切，
∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，
∴∠BAO=∠BAD，
∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD，
∴∠BAO==∠F；
【小问2详解】
解：∵AB与相切，AD与相切，
∴AB=AD=3，
∵CD=2，
∴AC=5，
∴BC=4，
设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：x=1.5，
∴的半径为1.5，即OB=1.5，
∵DF为直径，DF=3，
∴∠DEF=90°，
∵，
∴，
∴EF=2DE，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：或（舍去）．
【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键．
24. 学校对甲、乙两班各50名学生进行“数学学科能力”测试，测试完成后分别抽取了10份成绩，整理分析过程如下，请补充完整：
甲班10名学生测试成绩统计如下：100，78，87，93，92，98，90，90，83，99；
乙班10名学生测试成绩不低于80，但低于90分的成绩如下：86，87，83，82，87．


【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
组别/
频数
：
：
：
：
：
甲
1
1
1
4
3
乙
1
2
3
1
3
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
91

91
45.0
乙
88.7
87

45.5

（1）根据以上信息，可以求出：______，______，______，______；
（2）请根据数据分析，你认为哪个班的学生数学学科能力整体水平较好，请说明理由；
（3）若规定得分在80分以上为合格，请估计参加数学学科能力测试的学生中合格的学生公共有多少人．
【答案】（1）90；87；10；30；
（2）甲班的学生数学学科能力整体水平较好，理由见解析；
（3）参加数学学科能力测试的学生中合格的学生共有90人．
【解析】
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得x，y的值，根据表中的数据可得m，a的值；
（2）根据平均数、中位数与方差的意义说明即可；
（3）用总人数乘样本中合格人数所占比例可得．
【小问1详解】
甲班10名学生测试成绩统计如下：100，78，87，93，92，98，90，90，83，99，
其中90出现了两次，次数最多，所以众数x=90；
将乙班10名学生测试成绩按从小到大的顺序排列，第5、6个数字为87，87．
所以中位数y=（87+87）÷2=87．
甲班A组的百分比为：m%==10%，
∴m=10，
甲班E组的百分比为：a%==30%，
∴a=30，
故答案为：90；87；10；30；
【小问2详解】
甲班的学生数学学科能力整体水平较好，
∵甲班平均数＞乙班平均数，甲班中位数＞乙班中位数，甲班的方差＜乙班的方差，
∴甲班的学生数学学科能力整体水平较好；
【小问3详解】
×100=90（人）．
即参加数学学科能力测试的学生中合格的学生共有90人．
【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了平均数，中位数，众数，方差以及用样本估计总体．
25. 小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．


小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.1
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①当点为弧的中点时，．则上中的值是 ；
②线段的长度无需测量即可得到．请简要说明理由；
（2）将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．


【答案】（1）①5.0；②见解析；（2）图象见解析；（3）图象见解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm
【解析】
【分析】（1）①点为弧的中点时，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由题意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；
（2）根据表格数据运用描点法即可画出函数图象；
（3）画出的图象，当为等腰三角形时，分情况讨论，任意两边分别相等时，即任意两个函数图象相交时的交点横坐标即为BD的近似值．
【详解】解：（1）①点为弧的中点时，由圆的性质可得：
，
∴△ABD≌△ACD，
∴CD=BD=5.0，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴△ACF≌△ABD，
∴CF=BD，
∴线段CF的长度无需测量即可得到；
（2）函数的图象如图所示：


（3）由（1）知CF=BD=
画出的图象，如上图所示，当为等腰三角形时，
①，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=5.0cm；
②，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=6.3cm；
③，BD为与函数图象的交点横坐标，即BD=3.5cm；
综上：当为等腰三角形时，线段BD长度的近似值为3.5cm或5.0cm或6.3cm．
【点睛】本题考查一次函数结合几何的应用，学会用描点法画出函数图象，熟练掌握一次函数的性质以及三角形全等的判定及性质是解题的关键．
26. 已知：二次函数：，一次函数：．
（1）求二次函数顶点坐标（用含的代数式表示）；
（2）当时，点为：上一个动点，将点向右平移2个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围；
（3）若与交于，两点，且，两点在对称轴两侧，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）a=-1或0＜a＜3；
（3）
【解析】
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据题意得点Q（a+2，a），联立可得，再由二次函数与x轴交于点（0，0），（2，0），可得当0＜a＜3时，线段与抛物线只有一个公共点，当a=-1时，线段与抛物线只有一个公共点，即可求解；
（3）由与交于，两点，可得，从而得到，再由，两点在对称轴两侧，可得，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴二次函数顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵，
∴二次函数解析式为，
∵点为：上一个动点，
∴a=b，
∴点Q（a+2，a），
∵线段与抛物线只有一个公共点，
联立，得：，
解得：，
当y=0时，，解得：x=0或2，
∴二次函数与x轴交于点（0，0），（2，0），
当a=0时，a+2=2，则点P（0，0），Q（2，0），此时线段与抛物线交于点P、Q，
∴当0＜a＜3时，线段与抛物线只有一个公共点，
∵当a+2=1时，a=-1，点Q（1，-1），此时点Q为与抛物线顶点，
∴当a=-1时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上所述，的取值范围a=-1或0＜a＜3；
【小问3详解】
解：联立，得：，
解得：，
∵与交于，两点，
∴，
解得：，
∵抛物线的对称轴为直线，且，两点在对称轴两侧，
∴，解得：，
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．
27. 如图，在中，，将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，连接，作的角平分线交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；
（2）设，求；（用含的代数式表示）；
（3）请判断线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2）=45°+α；
（3），理由见解析．
【解析】
【分析】（1）按照题意要求补图即可；
（2）由题意得C=AD，∠CAD=90°，从而得到∠EAD=90°-α，所以∠BAE=∠EAD=90°-α，由等腰三角形性质得到=∠ACB =45°+α；
（3）过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，△ABF≌△ACE（AAS），再由等腰直角三角形性质得到结论．
【小问1详解】
补全图形如下图：
【小问2详解】
∵将线段 绕点 逆时针旋转90°，得到线段 ，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∵，
∴∠EAD=90°-α，
∵AE平分，
∴∠BAE=∠EAD=90°-α，
∴∠BAC=∠BAE-∠CAE =90°-α-α=90°-2α，
∵，
∴=∠ACB =45°+α，
【小问3详解】
如图，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，

∴∠FAB=∠FAE-∠BAE =90°- （90°-α）=α，
∴∠FAB=∠CAE=α，
∵∠ACB =45°+α，，
∴∠E=∠ACB-∠CAE=45°+α-α=45°，
∴∠F=∠E =45°，
∴AE=AF，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴BF=CE
BE+CE=EF，
∵∠FAE=90°，AE=AF，
∴，
∴．
【点睛】本题考查几何变换综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．
28. 在平面直角坐标系中，已知平面内一点与线段（不在线段上），在线段上有不同的两点，，当取最大时，记此时直线与直线所夹锐角为，若，则称点为线段的一个“小角点”．
已知：点的坐标为，．


（1）在，，中，是线段的“小角点”的是______；
（2）以为边在直线的上方作正方形，记在正方形内部（包含边界），线段的所有“小角点”组成的图形面积为，求的值；
（3）已知，，若线段上存在线段的“小角点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）T1，T2；
（2）4 （3）或
【解析】
【分析】（1）根据题目给出的定义代入计算并且判断即可；
（2）作出图形并通过计算得出S的面积；
（3）分三种情况进行讨论最后再进行总结．
【小问1详解】
解：设Q（a，0），R（b，0），则，，
∴，
∴当a=2，b=-2时，取最大值，
此时，
∴，
∴点T1为线段AB的一个“小角点”；
，
∴当a=2，b=0时，取最大值，
此时，
∴点T2为线段AB的一个“小角点”；
∴，
∴当a=-2，b=1时，取最大值，
此时，
∴点T3不是线段AB的一个“小角点”；
故答案为：T1，T2；
【小问2详解】
解：如下图，


点P只要在正方形ABCD内（包含边界），点为线段AB一个“小角点”,
∴；
【小问3详解】
解：设线段上存在线段的“小角点”，为点D（c，3），
则，
，
当c≤-2时，取得最大值时，
得a=2，b=-2，
此时，符合题意，


当时，取得最大值时，
得a=2，b=-c，
此时，符合题意，


当时，取得最大值时，
得a=2，b=-c，
此时，符合题意，


综上所述，或．
【点睛】本题考查的是阅读理解能力，解题的关键是抓住新定义“点为线段的一个“小角点””的含义．