2022北京西城初三二模数学（教师版）

这是一份2022北京西城初三二模数学（教师版），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2022北京西城初三二模
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图是某几何体的展开图，该几何体是　　

A．圆柱 B．长方体 C．圆锥 D．三棱锥
2．2022年4月28日，京杭大运河实现全线通水．京杭大运河是中国古代劳动人民创造的一项伟大工程，它南起余杭（今杭州），北到涿郡（今北京），全长约．将1800000用科学记数法表示应为　　
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
4．在同一条数轴上分别用点表示实数，0，，，则其中最左边的点表示的实数是　　
A． B．0 C． D．
5．学校图书馆的阅读角有一块半径为，圆心角为的扇形地毯，这块地毯的面积为　　
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，，，交于点．若，则的长为　　

A．3.5 B．4.5 C．4 D．5
7．一条观光船沿直线向码头前进，下表记录了4个时间点观光船与码头的距离，其中表示时间，表示观光船与码头的距离．

0
3
6
9

675
600
525
450
如果观光船保持这样的行进状态继续前进，那么从开始计时到观光船与码头的距离为时，所用时间为　　
A． B． C． D．
8．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是，则　　
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题（共16分，每题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　．
10．方程组的解为 　　．
11．如图，将直角三角形纸片进行折叠，使直角顶点落在斜边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕．若，则　　．

12．用一个的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是　　．
13．如图，在中，，分别为，的中点，点在线段上，且．若，，则的长为 　　．

14．将抛物线向下平移个单位长度后，所得新抛物线经过点，则的值为 　　．
15．如图，是的外接圆，，，则的值为 　　．

16．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母的小球．
甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下：
①每人首次取球时，只能取走2个或3个球；后续每次可取走1个，2个或3个球；
②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走；
③最后一个将球取完的人获胜．
（1）若甲首次取走写有，，的3个球，接着乙首次也取走3个球，则 　　（填“甲”或“乙” 一定获胜；
（2）若甲首次取走写有，的2个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 　　．
三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式：，并写出它的正整数解．
19．（5分）已知，求代数式的值．
20．（5分）已知：如图，．
求作：点（点与点在直线的异侧），使得，且．
作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点；
②以点为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为；
③连接，．
所以点就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接，，．
直线垂直平分，点，都在直线上，
，．
直线垂直平分，点在直线上，
　　　　．
．
点，，都在上．
点在上，
．　　（填推理的依据）

21．（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的两个根．
22．（6分）如图，菱形的对角线，交于点，点，分别在，的延长线上，且，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．

23．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且与反比例函数的图象在第四象限的交点为．
（1）求，的值；
（2）点，是一次函数图象上的一个动点，且满足，连接，结合函数图象，直接写出长的取值范围．
24．（6分）如图，是的直径，，分别与相切于点，，连接，点在的延长线上，延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．

25．（5分）甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占，表演成绩占计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
（2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社 　　（填“符合”或“不符合” 入选参加展演的条件；
（3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有 　　人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是 　　．

26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）直接写出的值和此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线与直线没有公共点，求的取值范围；
（3）点，在此抛物线上，且当时，都有．直接写出的取值范围．
27．（7分）在中，，过点作射线，使（点与点在直线的异侧）点是射线上一动点（不与点重合），点在线段上，且．
（1）如图1，当点与点重合时，与的位置关系是 　　，若，则的长为 　　；（用含的式子表示）
（2）如图2，当点与点不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．


28．（7分）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为，分别为点，的对应点），则称线段为线段的“，关联线段”．
已知点，．
（1）线段为线段的“，关联线段”，点的坐标为，则的长为 　　，的值为 　　；
（2）线段为线段的“，关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数；
（3）点，，线段为线段的“，关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】由圆锥的展开图的特点判断即可．
【解答】解：因为圆锥的展开图为一个扇形和一个圆形，所以这个几何体是圆锥．
故选：．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，熟悉圆锥的展开图特点是解答此题的关键．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4．【分析】求出，在数轴上表示出各个数，再得出选项即可．
【解答】解：，
，
，
即，
，
在最左边的点表示的实数是，
故选：．
【点评】本题考查了数轴，绝对值和实数的大小比较法则，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解此题的关键．
5．【分析】应用扇形面积的计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．
6．【分析】由知，由知，据此得，继而知，从而得．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质．
7．【分析】根据表中，的数量关系发现：每减少，减少，可知是的一次函数，由待定系数法求出函数解析式，根据解析式即可求出答案．
【解答】解：根据表中，的数量关系发现：每减少，减少，则是的一次函数，
设与的关系式为，
把时，，
时，，
代入上式得，
解得：，
，
当时，，当时，，
与的关系式为．
当时，即，
解：．
答：从开始计时到观光船与码头的距离为时，所用时间为．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，根据表中，的数量关系发现是的一次函数是解决问题的关键．
8．【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【解答】解：由题意可知，录入有误的两个数的和为，实际的两个数的和为，
所以更正后实际成绩的平均数是与原来平均数相同，方差变小，
所以，，
故选：．
【点评】本题考查了算术平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
10．【分析】加减消元法消去求出，把代入方程①求出即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得．
把代入①得：，
．
方程组的解是．
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本思想：消元．
11．【分析】由折叠性质可得，，从而可得，，即可求解．
【解答】解：为直角三角形，
，
，
由折叠性质可得，，
，，
，
故答案为：50．
【点评】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全等．
12．【分析】找到一个满足条件但不满足结论的数即可．
【解答】解：当时，，，
此时，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够找到一个满足条件但不满足结论的的值，难度不大．
13．【分析】根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，即可得出答案．
【解答】解：，分别为，的中点，，
，
，
，
为的中点，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．【分析】首先求得平移后的抛物线的解析式，然后把点代入即可求得．
【解答】解：将抛物线向下平移个单位长度后，所得新抛物线为，
新抛物线经过点，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次函数的平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．
15．【分析】延长交于，连接，根据圆周角定理得到，，由勾股定理求出，根据三角函数解的定义即可求出的值．
【解答】解：延长交于，连接，
，
在中，，，
，
，
，
，
故答案为：．

【点评】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．
16．【分析】（1）由于甲首次取走写有、、的三个球，那么剩下、、、、，而乙首次也取走三个球，但必须相邻，由此分类讨论即可加解决问题；
（2）由于甲首次拿走、两个球，还剩下、、、、、，而乙可以取的球分为①若乙取三个球；②若乙取两个球：在这两个前提之下讨论解决问题．
【解答】解：（1）甲首次取走写有、、的三个球，
还剩下、、、、，
又乙首次也取走三个球，但必须相邻，
乙可以取、、或、、，
若乙取、、只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，故乙拿走最后一个，故乙胜；
同理，若乙取、、，只剩下、，
它们不相邻，
甲只能拿走一个，
故乙拿走最后的一个，故乙胜；
故答案为：乙．
（2）甲首次拿走、两个球，还剩下、、、、、，
①若乙取三个球，
若乙取、、或、、，那么剩下的球胜连着的，故甲取走剩下的三个，则甲胜；
若乙取、、，此时甲取，则、不相邻，则甲胜；
若取、、，此时甲取，则不相邻，则甲胜；
②若乙取两个球：
若乙取、，此时甲取、，那么剩下、，不相邻，则甲胜；
若乙取、，此时甲取、，则、不相邻，则甲胜；
若乙取、，
此时甲取、或、，则乙胜；
若甲或，那么乙取或，则乙胜；
若甲取或，那么乙取或，那么剩下两个球不相邻，则乙胜；
因此，乙一定要获胜，那么它首次取、．
故答案为：、．
【点评】本题主要考查了逻辑推理与论证，同时也利用了分类讨论的思想，比较麻烦，对于学生的能力要求比较高．
三、解答题（共68分，第17—20题，每题5分，第21—22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．【分析】本题涉负整数指数幂、特殊角的三角函数值，绝对值的化简、二次根式化简几个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式

．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值等知识点的运算．
18．【分析】去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解，然后找出对应的正整数解即可．
【解答】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
故正整数解为1，2，3．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题关键是熟知解一元一次不等式的步骤．
19．【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的乘法法则进行计算，求出，最后代入求出答案即可．
【解答】解：



，
，
，
当时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质得到，，．则．所以点，，都在上．然后根据圆内接四边形的性质得到．
【解答】解：（1）如图，点为所作；

（2）完成下面的证明．
证明：连接，，．
直线垂直平分，点，都在直线上，
，．
直线垂直平分，点在直线上，
．
．
点，，都在上．
点在上，
（圆内接四边形的对角互补）．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质．
21．【分析】（1）根据关于的一元二次方程的根的判别式△的符号来判定该方程的根的情况；
（2）将代入原方程，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．
【解答】（1）证明：△

，
，
，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将代入方程中，得，
解得：或．
当时，的值为4或．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将代入原方程求出值．
22．【分析】（1）先证，得出四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再在中，由锐角三角函数定义求出即可．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．【分析】（1）将代入得，，解出方程即可求出的值，将代入刚刚求出的一次函数解析式即可求出的值，最后将新求出的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
（2）根据，得出，连接，过点作于，当，先求出点坐标为，根据两点间距离公式可得：，即可算出的取值范围．
【解答】解：（1）把代入，得．
解得：．
一次函数解析式为，
把代入．得．
解得：．
把代入得，，
解得：；
，．
（2），即，
解得：．
点在线段上运动，
连接，过点作于，

由，解得：，代入，得：，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
24．【分析】（1）连接，，由切线长定理及切线的性质可得，，利用“”证明，得出，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，进而得出；
（2）由勾股定理求出，由平行线的性质及等腰三角形的性质得出，进而得出，，即可得出，，由平行线分线段成比例定理得出，即可求出，继而得出．
【解答】（1）证明：如图1，连接，，

，均为的切线，
，，
在和中，
，
，
，
为等腰三角形，
，
为直径，
，
，
；
（2）解：如图2，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握切线长定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
25．【分析】（1）计算即可．
（2）由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，计算占比可知满足第一个条件；乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，
故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，即可得出答案．
（3）观察统计图可得符合条件的学生人数．通过画树状图列出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这名学生的综合成绩为（分．
（2）由图可知，乙剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1人，
占比为，满足第一个条件．
乙剧社声乐成绩高于75分的人数明显过于低于75分的人数，
故满足至少有一项的平均成绩不低于75分，
乙剧社符合入选参加展演的条件．
故答案为：符合．
（3）由图可知，甲、乙剧社符合条件的学生各有2人，
符合条件的学生一共有4人．
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的结果有8种，
被抽选到的这两名学生分别来自不同剧组的概率为．
故答案为：4；．
【点评】本题考查统计的应用、列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
26．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）把代入，整理得：，根据抛物线与直线没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；
（3）根据题意得：，，，由于当时，都有，可得，当时，，可得；当时，，可得．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
，
解得：，
抛物线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
故的值为，抛物线的对称轴为直线；
（2）把代入，得：，
整理得：，
抛物线与直线没有公共点，
△，
即，
，
当时，，即，
此时，无解；
当时，，即，
，
综上所述，的取值范围为；
（3）点，在此抛物线上，
，，
，
当时，都有，
，
，
，
当时，，
，
解得：；
当时，，
，
解得：；
综上所述，的取值范围是或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．
27．【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点作于点，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；
（2）当点与点不重合时，①过点作于点、点，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；
②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．
【解答】解：（1）当点与点重合时，，
，
，
，
，
即与的位置关系是互相垂直，
若，过点作于点，如图：

则，
，
，
在与中，
，
，
，
即的长为，
故答案为：互相垂直；；
（2）①当点与点不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：
过点作于点、点，如图：

则，
，
，
即，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
②用等式表示线段、、之间的量关系是：十，证明如下：
在上截取，连接，如图：

，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
由①知：，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
28．【分析】（1）求出线段的中点，利用待定系数法求解；
（2）如图1中，作关于直线的对称点，连接，，．解直角三角形求出，，可得结论；
（3）求出两种特殊情形的值，判断即可．
【解答】解：（1），，
，
，关于直线对称，
，
由题意，
，
，关于直线对称，
直线
经过的中点，，
，
，
故答案为：2，；

（2）如图1中，作关于直线的对称点，连接，，．

由题意直线的解析式为，，
关于直线的对称线段在直线上，
又直线经过点，
点在直线上，
，，
点的横坐标为1，
的纵坐标，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，关于直线的对称点为，，，
；

（3）如图2中，当点与重合时，则，

设的中点为，则直线经过点，
，，
，
直线的解析式为，
，
直线使得解析式为，
把代入，可得，

如图3中，当与重合时，则，

设的中点为，则直线经过点，
，，
，
直线的解析式为，
直线，
直线的解析式为，
把代入，可得，
线段与线段有公共点，
或．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，线段的垂直平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．