2022北京育才学校初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京育才学校初三（上）期中数学（教师版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京育才学校初三（上）期中
数 学
一、选择题
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，－5 C. 2，0，－5 D. 2，0，5
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （2，－3） B. （－2，3） C. （3，2） D. （－2，－3）
5. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
6. 二次函数的图象如图所示，，则下列四个选项正确的是（　　）

A. b＜0，c＜0，Δ＞0 B. b＞0，c＜0，Δ＜0
C b＞0，c＜0，Δ＞0 D. b＜0，c＞0，Δ＜0
7. 二次函数的最大值为（ ）
A. B. 2 C. 5 D. 9
8. 小高发现，用微波炉加工爆米花时，时间太短，一些颗粒没有充分爆开；时间太长，就糊了.如果将爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），小高记录了三次实验的数据（如下图）.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）

A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟
二、填空题
9. 抛物线的顶点坐标是_________．
10. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．
11. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．
12. 若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m_____n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
13. 将二次函数用配方法化成的形式为_______．
14. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

15. 抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是_____．

16. 在平面直角坐标系中，点的坐标为.是第一象限内任意一点，连接，.若，，则我们把叫做点的“双角坐标”.
（1）点的“双角坐标”为______；（2）若点到轴的距离为，则的最小值为______.
三、解答题
17. 解下列一元二次方程：
（1）；
（2）．
18. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
19. 已知二次函数的解析式是．
（1）与轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；
（2）坐标系中利用描点法画出此抛物线；

















（3）结合图象回答：当时，函数值的取值范围是______．
20. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？

21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转90°得到，点A旋转后的对应点为.

（1）画出旋转后图形，
（2）写出点的坐标
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．
23. 小聪是一名爱学习的孩子，他学习完二次函数后对函数的图像和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应数值如下表：

…







1



2


…

…














…
其中______；
（2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图像；

（3）观察函数图像，写出一条该函数的性质_____________________________
（4）进一步探究函数图像发现：
函数图像与轴有交点，所以对应的方程有______个互为不相等的实数根，请写出其中一个根为______．
24. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
25. 体育课上，一名九年级学生测试扔实心球．已知实心球经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2米，当球运行的水平距离为4米时，到达最大高度为4米的B处（如图所示）．

（1）以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点坐标为______；
（2）请你计算该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与平行于x轴的一条直线交于两点．
求抛物线的对称轴；
如果点A的坐标是，求点B的坐标；
抛物线的对称轴交直线AB于点C，如果直线AB与y轴交点的纵坐标为，且抛物线顶点D到点C的距离大于2，求m的取值范围．

27. 已知：在中，斜边，在射线上取一点，使.射线上取一点，使，直线、交于点，点关于直线的对称点为．
（1）如图，当时，请你直接写出的度数______；

（2）如图，当时，请你直接写出长度______；

（3）在图中，探索与的数量关系，并对你的结论进行证明．

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
（1）点的“可控变点”坐标为　　 ；
（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点” Q的横坐标；
（3）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围．

参考答案
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
3. 【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度得到的抛物线是
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
4. 【答案】D
【解析】
【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求得．
【详解】解：点A（2，3）关于原点对称点的坐标是
故选D
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．
【详解】解：x2＋4x＝1

即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定Δ的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．
7. 【答案】C
【解析】
【分析】将化成顶点式，确定最值即可．
【详解】因为化成顶点式，
所以函数的最大值为5，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法化二次函数的一般式为顶点式是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法求函数解析式，再根据二次函数的性质进行解题即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故二次函数解析式为：，
∴当时，食用率最高；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题．解题的关键是根据所给信息准确的求出函数解析式．
二、填空题
9. 【答案】（1，2）
【解析】
【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．
【详解】∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．
10. 【答案】
【解析】
【分析】根据关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，
∴1-2+m=0，
解得m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出一个的解析式即可
【详解】解：根据题意，
故符合题意
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
12. 【答案】＞
【解析】
【分析】易得抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，然后即可确定点A（﹣3，m）关于y对称的点的坐标是（3，m），再根据抛物线的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，
∴点A（﹣3，m）关于y对称的点的坐标是（3，m），
∵当x＞0时，y随着x的增大而增大，2＜3，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 【答案】
【解析】
【分析】利用配方法，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可得答案．
【详解】
=
=，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
14. 【答案】
【解析】
【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°
，
，
．
故答案是：30°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．
15. 【答案】x＜﹣1或x＞3．
【解析】
【分析】利用二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
16. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】(1)设为定点P，则轴，，从而，，根据定义解答即可．
(2)根据题意，最小时，就是的度数最大，以为直径作圆，与直线切于点P，此时的值最大，结合为直径，得到为直角，计算即可．
【详解】（1）如图，设为定点P，
则轴，，

所以，，
点的“双角坐标”为，
故答案为：．
（2）根据题意，最小时，
所以的度数最大，以为直径作圆，与直线切于点P，
此时的值最大，
设是直线的异于点P的任意一点，
连接，交圆于点B，
连接AB，

因为为直径，
所以，
因为是的外角，
所以，
故的值最大，
所以最小，且最小为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的性质，反证法，熟练掌握定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
三、解答题
17. 【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法或配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法或公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：方法1（因式分解法）：
提取公因式，得，
或，
；
方法2（配方法）：
两边同时加上16，得，
配方，得，
开平方，得，

【小问2详解】
解：方法1（配方法）：
移项，得，
两边同时加上9，得，
配方，得，
开平方，得，
；
方法2（公式法）：
，
，
原方程有两个不相等的实数根
，
．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握运用因式分解法、配方法、公式法等方法求解一元二次方程是解题的关键．
18. 【答案】（1）；（2）直线
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）利用对称轴公式求解即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．
19. 【答案】（1）（-1，0），（3，0）；（1，4）；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）令，求出x的值即可求出与x轴的交点坐标；把二次函数解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）先列表，然后描点，最后连线即可；
（3）根据（2）所画函数图象求解即可．
【小问1详解】
解：令，则，
解得或，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；
∵二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为（1，-4），
故答案为：（-1，0），（3，0）；（1，4）；
【小问2详解】
解：列表如下：


-1
0
1
2
3



0
-3
-4
-3
0

函数图象如下所示：

【小问3详解】
解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围是；
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
20. 【答案】修建的路宽为1m.
【解析】
【分析】可以用平移的知识假设把路移动边上，那么余下耕地部分的长和宽可表示出来，设路宽为，根据面积可列出方程．
【详解】解：设修建的路宽为x米．
则列方程为20×30-（30x+20x-x2）=551，
解得x1=49（舍去），x2=1．
答：修建的道路宽为1米．
21. 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
分析】（1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转90°得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可；
（2）根据所作图形写出坐标即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求．

【小问2详解】
解：由图可得，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质．
22. 【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴△=，
∴方程总有两个实数根．
（2）∵，
∴，
解得：，，
∵该方程有一个根小于2，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．
23. 【答案】（1）-2 （2）见解析
（3）当或时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
（4）2个；0或3．
【解析】
【分析】（1）求当时的函数值即可．
（2）按照自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接起来即可．
（3）结合函数的图像，根据自变量的属性，分段描述性质即可．
（4）求得与x轴的交点的横坐标即可即．
【小问1详解】
当时，

=．
故答案为：．
【小问2详解】
根据列表，描点，画图像如下：
．
【小问3详解】
观察函数图像，
当或时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小，
故答案为：当或时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，
【小问4详解】
因为，
所以或，
解得或，
故有2个不同的实数根，分别为0或3，
故答案为：2；0或 3．
【点睛】本题考查了函数值的计算，描点法画函数图像，图像的性质，图像与x轴的交点，熟练掌握所学相关知识是解题的关键．
24. 【答案】（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【解析】
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【详解】（1）y=w（x﹣20）
=（﹣2x+80）（x﹣20）
=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．
25. 【答案】（1）；
（2）米．
【解析】
【分析】（1）如图所示，建立坐标系，然后写出点B坐标即可；
（2）先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后令y=0，解方程即得结论．
【小问1详解】
解：以D为原点，以所在直线为x轴，过点D作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示，

，
故答案为：．
【小问2详解】
解：设抛物线解析式为，
在抛物线上，
，
解得，，
，
将代入，得
，
解得，（舍去）或，
．
答：该同学把实心球扔出米．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式是解此题的关键．
26. 【答案】对称轴为；．或． 
【解析】
【详解】分析：（1）化成顶点式即可求得；
（2）根据轴对称的特点求得即可；
（3）求得顶点坐标，根据题意求得C的坐标，分两种情况表示出顶点D到点C的距离，列出不等式，解不等式即可求得．
详解：抛物线，
对称轴为；
抛物线是轴对称图形，
点A点B关于轴对称，
，
．
抛物线，
顶点 
直线AB与y轴交点的纵坐标为，
  
顶点D到点C的距离大于2，
或，
或． 
点睛：考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，把解析式化为顶点式是解题的关键.
27. 【答案】（1）45° （2）10
（3），见解析
【解析】
【分析】(1)根据等腰三角形的两个底角相等，结合，得到，根据三角形内角和定理计算即可．
(2)根据，得到，根据，得到是等边三角形，得到，根据对称，得到得到，结合，得到是等边三角形，从而得到．
(3)设，得证，取的中点E，连接，则满足等腰三角形的三线合一性质，过点D作，交于点M，得证是等腰直角三角形，连接，可证，得证，得证，从而证明，得到，得证，根据，代换得证．
【小问1详解】
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，

所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
如图，因为，
所以，
因为，

所以是等边三角形，
所以，
所以，
根据对称，
所以，
所以，
因为，
所以是等边三角形，
所以．
【小问3详解】
与的数量关系是：，理由如下：
设，
则；
因为，
所以，
因，
所以，
所以．
取的中点N，连接，
因为，
所以
所以直线是线段AE的垂直平分线，
过点D作，交于点M，
所以，
所以是等腰直角三角形，
所以，，
连接，
则，
因为BE=AD，
所以，
所以，

同理可证，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等哟三角形的性质，熟练掌握上述各性质是解题的关键．
28. 【答案】（1）（﹣5，2）
（2）或3
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接解答即可；
（2）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【小问1详解】
∵-5<0，
∴，
∴点的“可控变点”坐标为（-5，2），
故答案为（﹣5，2）；
【小问2详解】
依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数．
的图象上．
∵“可控变点”Q的纵坐标y′是7，
∴当时，解得x=3；
当，解得x=-；
综上所述“可控变点” Q的横坐标为或3．
【小问3详解】
依题意，图象上的点P的“可控变点”必在函数
的图象上（如图）．
∵，
∴．
∴x=．
当x=-5时，
当=9时，x=，
∴a的取值范围是．

【点睛】此题考查的是新定义题型，根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.