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2022北京一七一中初三9月月考数学（教师版）
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这是一份2022北京一七一中初三9月月考数学（教师版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京一七一中初三9月月考
数 学
一、选择题（2×8=16分）
1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣4 B. m＞4 C. m≤﹣4 D. m＜4
6. 已知m是关于x的方程的一个根，则（ ）
A. 5 B. 8 C. －8 D. 6
7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC的度数为（ ）
A. 60° B. 72.5° C. 65° D. 115°
8. 函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
A. x1≠0，x2≠0 B. y1，y2
C. 若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D. 若y1＜y2，则x1＜x2
二、填空题（2×8=16分）
9. 点M（2，-4）关于原点对称的点的坐标是______．
10. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________．
11. 关于的一元二次方程有一个根是，则__________．
12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________．
13. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”）．
14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，则关于x的方程的解为_______．
15. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为______．
16. 下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n
1000
2000
3000
4000
5000
10000
20000
针与直线相交的次数m
454
970
1430
1912
2386
4769
9548
针与直线相交的频率p＝
0.454
0.485
0.4767
0.478
0.4772
04769
0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是：_____．
三、解答题（共68分）
17. 解方程：．
18. 已知：二次函数．
（1）求出二次函数图像顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图像，并结合图像直接写出y>0时，自变量x取值范围．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1，0)、O(0，0)、B(2，2)．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到．
（1）画出；
（2）直接写出点和点的坐标；
20. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
22. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20，求原正方形空地的边长．
23. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
24. 已知二次函数自变量x部分取值及对应的函数值y如下表所示：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
6
11
…
（1）写出此二次函数图像的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
（3）直接写出：当-3
x/m
0
10
20
30
40
50
60
y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：
（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是_________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_______m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_________（填写“高”或“低”）约_________m（结果保留小数点后一位）．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
（1）抛物线的对称轴为x=_______；抛物线与y轴的交点坐标为________；
（2）若(0，p)，(3，q)为抛物线上的两个点，判断p，q的大小关系________（填写“<”，“>”，“=”）
（3）若A(m-1，)，B(m，)，C(m+2，)为抛物线上三点，且总有，结合图像，求m的取值范围．
27. 如图，在等腰Rt△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．
（1）①根据题意，补全图形；
②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．
（2）分别延长CD和AE交于点F，
①直接写出∠AFC的度数；
②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．
28. 点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）=k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，－2），D（2，）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：________，它们的“限斜系数”为_______；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．
参考答案
一、选择题（2×8=16分）
1. 【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3. 【答案】A
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4. 【答案】B
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5. 【答案】D
【分析】因为关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，所以只要满足即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根
∴
即：
解得：
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，牢记知识点是解题关键．
6. 【答案】B
【分析】根据题意可将m代入，得．再将变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】∵m是关于x的方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
7. 【答案】C
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，于是得到结论．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠EFC=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 【答案】D
【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【详解】解：由图象可知，x≠0，
∴，，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴＞0，
∴，
，，故选项B正确；
函数的图象关于轴对称，
∴若，则，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当时，若，则；当时，若，则，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（2×8=16分）
9. 【答案】（-2，4）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．
【详解】点A (2，−4)关于原点对称的点的坐标是(−2，4)．
故答案为：（-2，4）．
【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握关于原点对称点的性质．
10. 【答案】（答案不唯一）
【分析】根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可；
【详解】∵二次函数开口向下，
∴，
设二次函数解析式为，
∵过点（0，－1），
∴，
∴二次函数解析式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键．
11. 【答案】2
【分析】把x=1代入方程，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，解得：m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的意义，是解题的关键．
12. 【答案】##
【分析】用列举的方法一一列出可能出现的情况，进而即可求得恰好是红球的概率．
【详解】解：根据题意，可能出现的情况有：
红球；红球；红球；黑球；黑球；
则恰好是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，通过列举法进行计算是解决本题的关键．
13. 【答案】＜
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
详解】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案为：﹤.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
14. 【答案】
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程，即，则抛物线与直线交点的横坐标即为方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，由，可得的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
15. 【答案】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为100(x+1)人，则5月份参观的人数为人．再根据5月份的参观人数增加到144万人，列一元二次方程即可．
【详解】设参观人数的月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
16. 【答案】②
【分析】分析题意，对于①，根据投掷次数太少，频率不一定是概率，据此判断；
对于②，根据用频率估计概率的知识可作出判断；
对于③，根据概率的意义可作出判断，从而得到答案.
【详解】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上”的次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定是0.454，错误.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，正确.
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.4769．故原说法错误.
综上可知，其中合理的是②.
【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握规则即可.
三、解答题（共68分）
17. 【答案】,
【分析】根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可．
【详解】解：，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴,．
【点睛】主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．
18. 【答案】（1）顶点坐标为(1，-4)，与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)
（2）x<-1或x>3
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x的取值范围，再结合图像即可解答．
【小问1详解】
解：二次函数改为顶点式为：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为(1，-4)．
令，则，
解得：，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)；
【小问2详解】
令，则；令，则；
∴该二次函数还经过点(0，-3)和(2，-3)，
∴在坐标系中画出图像如下：
求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)，
∴当x<-1或x>3时，二次函数图像在x轴上方，
∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<-1或x>3．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图像与坐标轴的交点坐标，画二次函数图像等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
19. 【答案】（1）见解析 （2）(0，1)、(-2，2)
【分析】（1）根据旋转的性质，找到△AOB的顶点A和顶点B的对应点和，再顺次连接、、O三点即可；
（2）由（1）即可直接写出坐标．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
由（1）图可知(0，1)、(-2，2)．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键．
20. 【答案】（1）证明见解析
（2）8
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，
∴∠ABF=，
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
【小问2详解】
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，
∴∠FAE=，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
21. 【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 【答案】原正方形空地的边长6m．
【分析】可设原正方形的边长为m，则剩余的空地长为m，宽为m．根据长方形的面积公式列出方程，求解即可．
【详解】设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得：
，
解方程，得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长6m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
23. 【答案】(1)随机；（2）见解析
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【详解】(1)根据随机事件的概念，A志愿者被选中是随机事件上，
故答案为：随机．
(2)
由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种.
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）=
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 【答案】（1）直线
（2）
（3）
【分析】（1）根据当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，结合二次函数的对称性即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据所求的二次函数解析式可知其图像开口向上，即得出当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，从而得出．再由到对称轴的距离比到对称轴的距离大，即可得，最后即可得出．
【小问1详解】
由表格可知当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，
∴此二次函数图像的对称轴为直线；
小问2详解】
将x=-2，y=3；x=-1，y=2；x=0，y=3，分别代入得：
，解得：
∴此二次函数的表达式为：；
【小问3详解】
∵二次函数的表达式为：，
∴该函数图像开口向上．
∵此二次函数图像的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
由表格可知．
∵到对称轴的距离比到对称轴的距离大，
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质．正确的求出二次函数解析式并熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
25.【答案】（1）见详解 （2）抛物线；10.1m
（3）高；3.2m
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据图表求解即可；
（3）根据图表求解即可；
【小问1详解】
解：如图，
小问2详解】
根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；
结合图象，图象的最高点在10m到20m之间，可推断出水平距离约为10.1m时，甲运动员起跳后达到最高点；
【小问3详解】
61-57.8=3.2m
乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高约3.2m．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．
26. 【答案】（1），(0，4)
（2）< （3）
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可求出其对称轴．令，求出y值，即得出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）由可判断抛物线开口向上，即可由抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大判断；
（3）由题意结合图像可确定A、B、C三点和对称轴的位置关系，即可列出关于m的一元一次不等式组，解出m的解集即可．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
对于，令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)．
故答案为：，(0，4)；
【小问2详解】
∵抛物线解析式为，
∴该抛物线开口向上．
∵到对称轴的距离比到对称轴的距离小，
∴．
故答案为：<；
【小问3详解】
∵A(m-1，)，B(m，)，C(m+2，)为抛物线上三点，且总有，
又∵，该抛物线对称轴为，
∴A、B两点位于对称轴左侧，C点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，如图，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查求二次函数图像对称轴的公式，二次函数图像与x轴，y轴的交点坐标，以及其函数的增减性．掌握二次函数，当时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大；当时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，其函数值越大是解题关键．
27. 【答案】（1）①见解析；②
（2）①；②
【分析】（1）①根据题意结合角平分线的作法作图即可；②根据旋转的性质可知AC=AD，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，进而可求出．再求出，即得出；
（2）①如图，由角平分线的定义可求出，从而可求出，进而即可求出；②过点A作．易证明是等腰直角三角形，得出．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得出，从而可求出，进而可求出，即得出答案．
【小问1详解】
解：①补全图形如下，
②由旋转的性质可知AC=AD，，
∴．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，由（1）可知，．
∵AE是∠BAD的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点A作．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的定义，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．正确作出图形并会连接辅助线是解题关键．
28. 【答案】（1）A、C或A、D；2或．
（2）或
（3）或
【分析】（1）根据定义进行计算即可；
（2）设点E的坐标为（x，y），根据题意可得，，则，求解即可；
（3）根据题意，将点F和点H的坐标用m表示，分别求出k（F，C），k(E，C)，根据k≥1，求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：当A、C为一对限斜点时： ，解得：k=2，
当A、D为一对限斜点时：，解得：k=，
故答案为：A、C或A、D；2或．
【小问2详解】
设点E的坐标为（x，y），
∵k=1，点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，
∴，即，，即，
∴，两边同时平方得：，解得：x=，
∴，解得：，
∴点E的坐标为或．
【小问3详解】
解：①当点M在y轴正半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴F（-1，m-1），H（1，m+1），
∴当C、F为一对限斜点时：，
整理得：，则，
∵k≥1，
∴，
，
m+1≤-3或m+1≥3，
解得：m≤-4或m≥2，
当C、H为一对限斜点时：，
整理得：，
∵k≥1，
∴，
m+3≤-1或m+3≥1，
解得：m≤-4或m≥-2，
∴m≥2
②当点在y轴负半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴E（-1，m+1），G（1，m-1），
∴当C、E为一对限斜点时：，
整理得：，则，
∵k≥1，
∴，
，
m+3≤-3或m+3≥3，
解得：m≤-6或m≥0，
当C、G为一对限斜点时：，
整理得：，
∵k≥1，
∴，
或m+1≥1，
解得：或m≥0，
∴
综上所述：或m≥2
【点睛】本题主要考查了有关一次函数的新定义，绝对值方程，仔细理解题意，明白题中新定义的意义是解题的关键．
2022北京一七一中初三9月月考
数 学
一、选择题（2×8=16分）
1. 随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣4 B. m＞4 C. m≤﹣4 D. m＜4
6. 已知m是关于x的方程的一个根，则（ ）
A. 5 B. 8 C. －8 D. 6
7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC的度数为（ ）
A. 60° B. 72.5° C. 65° D. 115°
8. 函数y的图象如图所示，若点P1（x1，y1），P（x2，y2）是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（ ）
A. x1≠0，x2≠0 B. y1，y2
C. 若y1＝y2，则|x1|＝|x2| D. 若y1＜y2，则x1＜x2
二、填空题（2×8=16分）
9. 点M（2，-4）关于原点对称的点的坐标是______．
10. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________．
11. 关于的一元二次方程有一个根是，则__________．
12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则取出红球的概率是________．
13. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”）．
14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，则关于x的方程的解为_______．
15. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为______．
16. 下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n
1000
2000
3000
4000
5000
10000
20000
针与直线相交的次数m
454
970
1430
1912
2386
4769
9548
针与直线相交的频率p＝
0.454
0.485
0.4767
0.478
0.4772
04769
0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
其中合理的推断的序号是：_____．
三、解答题（共68分）
17. 解方程：．
18. 已知：二次函数．
（1）求出二次函数图像顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图像，并结合图像直接写出y>0时，自变量x取值范围．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1，0)、O(0，0)、B(2，2)．以点O为旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到．
（1）画出；
（2）直接写出点和点的坐标；
20. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
22. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20，求原正方形空地的边长．
23. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“A志愿者被选中”是______ 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．
24. 已知二次函数自变量x部分取值及对应的函数值y如下表所示：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
3
2
3
6
11
…
（1）写出此二次函数图像的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
（3）直接写出：当-3
x/m
0
10
20
30
40
50
60
y/m
54.0
57.8
57.6
53.4
45.2
33.0
16.8
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：
（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是_________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_______m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；
（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_________（填写“高”或“低”）约_________m（结果保留小数点后一位）．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
（1）抛物线的对称轴为x=_______；抛物线与y轴的交点坐标为________；
（2）若(0，p)，(3，q)为抛物线上的两个点，判断p，q的大小关系________（填写“<”，“>”，“=”）
（3）若A(m-1，)，B(m，)，C(m+2，)为抛物线上三点，且总有，结合图像，求m的取值范围．
27. 如图，在等腰Rt△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转，得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．
（1）①根据题意，补全图形；
②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．
（2）分别延长CD和AE交于点F，
①直接写出∠AFC的度数；
②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．
28. 点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2，若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）=k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，），有，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，－2），D（2，）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：________，它们的“限斜系数”为_______；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的纵坐标m的取值范围．
参考答案
一、选择题（2×8=16分）
1. 【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 【答案】A
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3. 【答案】A
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可
【详解】解：抛物线的顶点坐标是
故选A
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
4. 【答案】B
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5. 【答案】D
【分析】因为关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，所以只要满足即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根
∴
即：
解得：
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，牢记知识点是解题关键．
6. 【答案】B
【分析】根据题意可将m代入，得．再将变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】∵m是关于x的方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
7. 【答案】C
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，于是得到结论．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠EFC=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 【答案】D
【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【详解】解：由图象可知，x≠0，
∴，，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴＞0，
∴，
，，故选项B正确；
函数的图象关于轴对称，
∴若，则，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当时，若，则；当时，若，则，故选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（2×8=16分）
9. 【答案】（-2，4）
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．
【详解】点A (2，−4)关于原点对称的点的坐标是(−2，4)．
故答案为：（-2，4）．
【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握关于原点对称点的性质．
10. 【答案】（答案不唯一）
【分析】根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可；
【详解】∵二次函数开口向下，
∴，
设二次函数解析式为，
∵过点（0，－1），
∴，
∴二次函数解析式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键．
11. 【答案】2
【分析】把x=1代入方程，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，解得：m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的意义，是解题的关键．
12. 【答案】##
【分析】用列举的方法一一列出可能出现的情况，进而即可求得恰好是红球的概率．
【详解】解：根据题意，可能出现的情况有：
红球；红球；红球；黑球；黑球；
则恰好是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，通过列举法进行计算是解决本题的关键．
13. 【答案】＜
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
详解】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案为：﹤.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
14. 【答案】
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程，即，则抛物线与直线交点的横坐标即为方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，由，可得的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题的关键．
15. 【答案】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为100(x+1)人，则5月份参观的人数为人．再根据5月份的参观人数增加到144万人，列一元二次方程即可．
【详解】设参观人数的月平均增长率为x，
根据题意可列方程为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
16. 【答案】②
【分析】分析题意，对于①，根据投掷次数太少，频率不一定是概率，据此判断；
对于②，根据用频率估计概率的知识可作出判断；
对于③，根据概率的意义可作出判断，从而得到答案.
【详解】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上”的次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定是0.454，错误.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，正确.
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.4769．故原说法错误.
综上可知，其中合理的是②.
【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握规则即可.
三、解答题（共68分）
17. 【答案】,
【分析】根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可．
【详解】解：，
∵，，，
∴>0，
∴，
∴,．
【点睛】主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．
18. 【答案】（1）顶点坐标为(1，-4)，与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)
（2）x<-1或x>3
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x的取值范围，再结合图像即可解答．
【小问1详解】
解：二次函数改为顶点式为：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为(1，-4)．
令，则，
解得：，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)；
【小问2详解】
令，则；令，则；
∴该二次函数还经过点(0，-3)和(2，-3)，
∴在坐标系中画出图像如下：
求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)，
∴当x<-1或x>3时，二次函数图像在x轴上方，
∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<-1或x>3．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图像与坐标轴的交点坐标，画二次函数图像等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
19. 【答案】（1）见解析 （2）(0，1)、(-2，2)
【分析】（1）根据旋转的性质，找到△AOB的顶点A和顶点B的对应点和，再顺次连接、、O三点即可；
（2）由（1）即可直接写出坐标．
【小问1详解】
如图，即为所作；
【小问2详解】
由（1）图可知(0，1)、(-2，2)．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键．
20. 【答案】（1）证明见解析
（2）8
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，
∴∠ABF=，
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
【小问2详解】
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，
∴∠FAE=，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
21. 【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【分析】（1）根据一元二次方程，根的判别式为△=，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明：，
∵，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则，
由①得，
代入②可得：，
解之得，，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
22. 【答案】原正方形空地的边长6m．
【分析】可设原正方形的边长为m，则剩余的空地长为m，宽为m．根据长方形的面积公式列出方程，求解即可．
【详解】设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得：
，
解方程，得（不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长6m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．
23. 【答案】(1)随机；（2）见解析
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）画树状图，得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可．
【详解】(1)根据随机事件的概念，A志愿者被选中是随机事件上，
故答案为：随机．
(2)
由上述树状图可知：所有可能出现的结果共有12种,并且每一个结果出现的可能性相同．其中A，B两名志愿者同时被选中的有2种.
∴P（A，B两名志愿者同时被选中）=
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 【答案】（1）直线
（2）
（3）
【分析】（1）根据当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，结合二次函数的对称性即可求解；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）根据所求的二次函数解析式可知其图像开口向上，即得出当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，从而得出．再由到对称轴的距离比到对称轴的距离大，即可得，最后即可得出．
【小问1详解】
由表格可知当x=-2时，y=3；当x=0时，y=3，
∴此二次函数图像的对称轴为直线；
小问2详解】
将x=-2，y=3；x=-1，y=2；x=0，y=3，分别代入得：
，解得：
∴此二次函数的表达式为：；
【小问3详解】
∵二次函数的表达式为：，
∴该函数图像开口向上．
∵此二次函数图像的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，
由表格可知．
∵到对称轴的距离比到对称轴的距离大，
∴，
∴．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质．正确的求出二次函数解析式并熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
25.【答案】（1）见详解 （2）抛物线；10.1m
（3）高；3.2m
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据图表求解即可；
（3）根据图表求解即可；
【小问1详解】
解：如图，
小问2详解】
根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；
结合图象，图象的最高点在10m到20m之间，可推断出水平距离约为10.1m时，甲运动员起跳后达到最高点；
【小问3详解】
61-57.8=3.2m
乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高约3.2m．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键．
26. 【答案】（1），(0，4)
（2）< （3）
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可求出其对称轴．令，求出y值，即得出抛物线与y轴的交点坐标；
（2）由可判断抛物线开口向上，即可由抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大判断；
（3）由题意结合图像可确定A、B、C三点和对称轴的位置关系，即可列出关于m的一元一次不等式组，解出m的解集即可．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线．
对于，令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)．
故答案为：，(0，4)；
【小问2详解】
∵抛物线解析式为，
∴该抛物线开口向上．
∵到对称轴的距离比到对称轴的距离小，
∴．
故答案为：<；
【小问3详解】
∵A(m-1，)，B(m，)，C(m+2，)为抛物线上三点，且总有，
又∵，该抛物线对称轴为，
∴A、B两点位于对称轴左侧，C点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，如图，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查求二次函数图像对称轴的公式，二次函数图像与x轴，y轴的交点坐标，以及其函数的增减性．掌握二次函数，当时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大；当时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，其函数值越大是解题关键．
27. 【答案】（1）①见解析；②
（2）①；②
【分析】（1）①根据题意结合角平分线的作法作图即可；②根据旋转的性质可知AC=AD，，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，进而可求出．再求出，即得出；
（2）①如图，由角平分线的定义可求出，从而可求出，进而即可求出；②过点A作．易证明是等腰直角三角形，得出．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得出，从而可求出，进而可求出，即得出答案．
【小问1详解】
解：①补全图形如下，
②由旋转的性质可知AC=AD，，
∴．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，由（1）可知，．
∵AE是∠BAD的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，过点A作．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的定义，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．正确作出图形并会连接辅助线是解题关键．
28. 【答案】（1）A、C或A、D；2或．
（2）或
（3）或
【分析】（1）根据定义进行计算即可；
（2）设点E的坐标为（x，y），根据题意可得，，则，求解即可；
（3）根据题意，将点F和点H的坐标用m表示，分别求出k（F，C），k(E，C)，根据k≥1，求出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：当A、C为一对限斜点时： ，解得：k=2，
当A、D为一对限斜点时：，解得：k=，
故答案为：A、C或A、D；2或．
【小问2详解】
设点E的坐标为（x，y），
∵k=1，点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，
∴，即，，即，
∴，两边同时平方得：，解得：x=，
∴，解得：，
∴点E的坐标为或．
【小问3详解】
解：①当点M在y轴正半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴F（-1，m-1），H（1，m+1），
∴当C、F为一对限斜点时：，
整理得：，则，
∵k≥1，
∴，
，
m+1≤-3或m+1≥3，
解得：m≤-4或m≥2，
当C、H为一对限斜点时：，
整理得：，
∵k≥1，
∴，
m+3≤-1或m+3≥1，
解得：m≤-4或m≥-2，
∴m≥2
②当点在y轴负半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴E（-1，m+1），G（1，m-1），
∴当C、E为一对限斜点时：，
整理得：，则，
∵k≥1，
∴，
，
m+3≤-3或m+3≥3，
解得：m≤-6或m≥0，
当C、G为一对限斜点时：，
整理得：，
∵k≥1，
∴，
或m+1≥1，
解得：或m≥0，
∴
综上所述：或m≥2
【点睛】本题主要考查了有关一次函数的新定义，绝对值方程，仔细理解题意，明白题中新定义的意义是解题的关键．
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