新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案11第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲指数与指数函数

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案11第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲指数与指数函数，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[11] 第五讲　指数与指数函数A组基础巩固一、单选题1．(2022·衡阳一中模拟)若2x＝7,2y＝6，则4x－y＝( D )A.  B．C.  D．[解析]　2x＝7,2y＝6，则4x－y＝22x－2y＝＝.2．(2023·河北保定调研改编)函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值为( B )A．4  B．3 C．2  D．1[解析]　由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3，故选B.3．(2022·海南中学模拟)已知函数f(x)＝4＋2ax－1(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则点P的坐标是( A )A．(1,6)  B．(1,5)C．(0,5)  D．(5,0)[解析]　当x＝1时，f(1)＝6，与a无关，所以函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过点P(1,6)．故选A.4．下列函数中值域为正实数集的是( B )A．y＝－5x  B．y＝1－xC．y＝  D．y＝3|x|[解析]　A项中y<0，C项中y≥0，D项中y≥1，只有B项正确．故选B.5．(2023·佛山模拟)已知a＝2，b＝4，c＝5，则( A )A．c<b<a  B．a<b<cC．b<a<c  D．c<a<b[解析]　因为a＝2＝4，b＝4，所以a＝4>4＝b，因为b＝4＝(46)＝4 096，c＝5＝(55)＝3 125，则b>c.综上所述，a>b>c.6．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( D )A．a>1，b>1  B．a>1,0<b<1C．0<a<1，b>1  D．0<a<1,0<b<1[解析]　根据图象，函数f(x)＝ax－b是单调递减的，所以指数函数的底数a∈(0,1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，解得b∈(0,1)，即a∈(0,1)，b∈(0,1)．7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L与时间t h间的关系为P＝P0e－kt.若在前5个小时消除了10%的污染，则污染物减少50%所需要的时间约为多少小时．(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( B )A．26  B．33 C．36  D．42[解析]　由题意，前5个小时消除了10%的污染物，∵P＝P0e－kt，∴(1－10%)P0＝P0e－5k，∴k＝－ln 0.9；得P＝P0e当P＝50%P0时，有50%P0＝P0e，∴ln 0.9＝ln 0.5，∴t＝≈33，即污染物减少50%需要花33 h．故选B.先利用函数关系式，结合前5个小时消除了10%的污染物，即可求出结论；当P＝50%P0时，有50%P0＝P0eln 0.9，即可得出结论．8．设函数f(x)＝2x，对于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命题中不正确的是( B )A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C.>0D．f<[解析]　2x1·2x2＝2 x1＋x2，所以A成立，2 x1＋2 x2≠2x1x2，所以B不成立，函数f(x)＝2x在R上是增函数，若x1>x2，则f(x1)>f(x2)，则>0，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，故C正确．f<说明函数是凹函数，可知f(x)＝2x的图象满足条件，故D正确．故选B.二、多选题9．已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ABD )A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a＋a－＝±D．a＋＝2  [解析]　在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝5，且a>0，所以a＋a－＝，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a>0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．10．已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( ABD )[解析]　由图可得a1＝2，即a＝2，y＝a－x＝x单调递减过点(－1,2)，故A正确；y＝x－a＝x－2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B正确；y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；y＝|logax|＝|log2 x|，根据“上不动、下翻上”可知D正确；故选ABD.11．(2022·安徽江淮名校联考改编)已知函数f(x)＝－，则f(x)是( AC )A．奇函数B．偶函数C．在R上是减函数D．在(0，＋∞)上是增函数[解析]　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－＝－，则f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函数，函数f(x)＝－显然是减函数．故选AC.三、填空题12．函数f(x)＝－x2＋2x＋1的单调减区间为_(－∞，1]__.[解析]　设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝u在R上为减函数，∴函数f(x)＝－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又∵u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴f(x)的减区间为(－∞，1]．13．(2023·保定模拟)函数f(x)＝的定义域是_(－∞，－1]__.[解析]　若使函数f(x)＝的解析式有意义，自变量x须满足：x－2≥0，解得x∈(－∞，－1]，故函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1]．14．(2022·日喀则模拟)函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大，则a的值为 　.[解析]　因为0<a<1，所以函数f(x)＝ax在[1,2]内是减函数，因为函数f(x)＝ax(0<a<1)在[1,2]内的最大值比最小值大，所以f(1)－f(2)＝a－a2＝，解得a＝，或a＝0(舍)．15．已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为_(1，＋∞)__，f(－4)与f(1)的大小关系是_f(－4)>f(1)__.[解析]　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(1)．四、解答题16．已知函数f(x)＝|x|－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的最大值等于，求a的值．[解析]　(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y＝t是单调递减的，因此f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．(2)由于f(x)的最大值是，且＝－2，所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，即g(0)＝－2，从而a＝2.17．(2022·吉林汪清第六中学月考)已知函数f(x)＝k·a－x(k，a为常数，a>0且a≠1)的图象过点A(0,1)，B(3，8)．(1)求实数k，a的值；(2)若函数g(x)＝，试判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．[解析]　(1)由已知得解得.(2)g(x)＝，因此g(－x)＝＝＝＝－g(x)，所以g(x)＝为奇函数．B组能力提升1．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( B )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数[解析]　∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x，∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数．2．(2022·许昌四校联考)设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是( C )A．aa<ab  B．ba<bbC．aa<ba  D．bb<ab[解析]　指数函数y＝ax(0<a<1)为减函数，因为a<b所以aa>ab，A错误；指数函数y＝bx(0<b<1)为减函数，因为a<b，所以ba>bb，B错误；幂函数y＝xa(0<a<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以aa<ba，C正确；由幂函数y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上为增函数，又a<b，所以bb>ab，D错误．3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数．若函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，则函数y＝的值域是( D )A．[0,2)  B．(0,2)C．[0,1)  D．(0,1)[解析]　因为函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1，3)，∴∴∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝＝<1.又＝>0，故函数y＝的值域为(0,1)．4．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( B )A．1.2天  B．1.8天C．2.5天  D．3.5天[解析]　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝＝＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2，所以t2－t1＝≈≈1.8.5．(多选题)关于函数f(x)＝的性质，下列说法中正确的是( ACD )A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的值域为(0，＋∞)C．方程f(x)＝x有且只有一个实根D．函数f(x)的图象是中心对称图形[解析]　函数f(x)＝的定义域为R，所以A正确；因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f(x)＝在定义域内单调递减，所以函数的值域为，所以方程f(x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；因为f(x＋1)＋f(－x)＝＋＝＋＝，所以f(x)关于点对称，所以D正确．6．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( C )A．(－∞，－1)  B．(－1,0)C．(0,1)  D．(1，＋∞)[解析]　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋2－x＋2)＝0，∴a＝1，∴f(x)>3，即为>3，当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，∴2x＋1<3·2x－3，无解．∴x的取值范围为(0,1)．7．已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0且a≠1)是奇函数．(1)求实数k的值；(2)若f(1)<0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求实数m的取值范围．[解析]　(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，∴k＝2，经检验k＝2符合题意，所以k＝2.(2)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)>0可化为f(m2－2)>f(－m)，∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，解得－2<m<1，∴实数m的取值范围是(－2,1)．8．已知函数f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．[解析]　(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．对于定义域内任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，则x3>0，即＋>0，即>0，则ax>1.又∵x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．