新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案12第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲对数与对数函数

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案12第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲对数与对数函数，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[12]　 第六讲　对数与对数函数A组基础巩固一、单选题1．计算＋log25－log210的值为( D )A．－10  B．－8C．10  D．8[解析]　＋log25－log210＝(36)＋log2＝9－1＝8.2．函数y＝的定义域是( C )A．[1,2]  B．[1,2)C.  D．[解析]　由即解得x≥，故选C.3．(2023·河南郑州模拟)函数y＝3＋loga(2x＋3)(a>0且a≠1)的图象必经过定点的坐标为( A )A．(－1,3)  B．(－1,4)C．(0,3)  D．(2,2)[解析]　因为当x＝－1时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必经过定点(－1,3)，故选A.4．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( D )A．(0，＋∞)  B．(－∞，0)C．(2，＋∞)  D．(－∞，－2)[解析]　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.5．(2022·四川成都二诊)设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是( A )A．a<b<c  B．a<c<bC．c<a<b  D．c<b<a[解析]　因为对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log30.5<log31＝0.因为对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1.因为指数函数y＝2x在R上单调递增，所以20.3>20＝1.综上可知，a<b<c.6．(2023·惠州市月考)为了给地球减负，提高资源利用率，全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是(参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( B )A．2030年  B．2029年C．2028年  D．2027年[解析]　设经过n年后，投入资金为y万元，则y＝2 000(1＋20%)n.由题意得2 000(1＋20%)n>10 000，即1.2n>5，则nlg 1.2>lg 5，所以n>≈＝8.75，因为n∈N*，所以n≥9，即该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是2029年．故选B.7．已知函数f(x)＝ln(－2x)－1，则f(lg 3)＋f＝( D )A．－1  B．0 C．2  D．－2[解析]　∵f(－x)＝ln(＋2x)－1＝ln －1＝－ln(－2x)－1，∴f(－x)＋f(x)＝－2，∴f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝－2.8．已知函数f(x)＝|lg x|,0<a<b，且f(a)>f(b)，则( B )A．ab>1  B．0<ab<1C．ab＝1  D．(a－1)(b－1)>0[解析]　由题意得0<a<b<1或0<a<1<b.当0<a<b<1时，显然0<ab<1；当0<a<1<b时，由f(a)>f(b)得－lg a>lg b，∴lg a＋lg b＝lg(ab)<0，∴0<ab<1.综上可知，0<ab<1.二、多选题9．(2022·山东烟台模拟)已知loga<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围可以是( AD )A.  B．C.  D．[解析]　∵loga<1＝logaa，故当0<a<1时，y＝logax为减函数，0<a<；当a>1时，y＝loga<0，∴a>1符合题意，综上知A、D正确．10.函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( BC )A．a>1  B．0<c<1C．0<a<1  D．c>1[解析]　由图象可知函数为减函数，∴0<a<1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，∴0<c<1.11．关于函数f(x)＝ln ，下列说法中正确的有( BD )A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)为奇函数C．f(x)在定义域上是增函数D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f[解析]　函数f(x)＝ln ＝ln，其定义域满足(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，∴定义域为{x|－1<x<1}，∴A不对．由f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，是奇函数，∴B对．函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f(x)在定义域内是减函数，C不对．f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln ＝ln＝f，∴D对．三、填空题12．(2023·河南信阳质量检测)若a＝(a>0)，则loga＝_4__.[解析]　∵a＝＝3(a>0)，∴a＝，∴a＝4，∴loga＝4. 13．(2022·云南玉溪模拟)f(x)＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是 　.[解析]　∵f(x)＝(loga)x在R上为减函数，∴0<loga<1，即log1<loga<log.∴<a<1.14．(2023·湖北高三月考)已知函数f(x)＝ln＋sin x＋1，则f＋f＝_2__.[解析]　令g(x)＝ln＋sin x，则函数g(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，又g(－x)＝ln＋sin(－x)＝ln－1－sin x＝－ln－sin x＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，所以g＋g＝0，所以f＋f＝＋＝g＋g＋2＝2.15．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为 －　.[解析]　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.四、解答题16．(2023·湛江质检)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，此时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，即函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.17．(2022·江苏海门中学高二阶段练习)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)－x.(1)证明：函数f(x)为偶函数；(2)若f(m)>f(2－m)，求实数m的取值范围．[解析]　(1)证明：由解析式知：函数定义域为R，f(－x)＝log3(9－x＋1)＋x＝log3(1＋9x)－log332x＋x＝log3(9x＋1)－x＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)由f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3，则m＝3x∈(0，＋∞)且递增，令t＝m＋，则m∈(0,1)上递减，m∈(1，＋∞)上递增，又y＝log3t递增，所以x∈(－∞，0)上f(x)递减，x∈(0，＋∞)上f(x)递增，又f(x)为偶函数，由f(m)>f(2－m)，可得|m|>|2－m|，即－|m|<2－m<|m|，当m<0时，m<2－m<－m无解；当m>0时，－m<2－m<m，可得m>1；综上，m>1.B组能力提升1．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( C )[解析]　由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.∴f(x)＝a－x＝－x＝bx，因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同．A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同．2．(多选题)(2022·临沂期末)若10a＝4,10b＝25，则( ACD )A．a＋b＝2  B．b－a＝1C．ab>8lg22  D．b－a>lg 6[解析]　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B错误，D正确；ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确．故选ACD.3．设0<a<1，则( B )A．log2a>  B．>C．log2a<  D．log2<[解析]　∵0<a<1，∴0<a2<a<<1，∴在A中，log2a＝，故A错误；在B中，>，故B正确；在C中，log2a>，故C错误；在D中，log2>，故D错误．4．若函数f(x)＝logm(m>0且m≠1)在[2,3]上单调递增，则实数m的取值范围为( D )A．(1,36]  B．[36，＋∞)C．(1,16]∪[36，＋∞)    D．(1,16] [解析]　由题意，不妨设g(x)＝＝4x＋，则g′(x)＝4－＝，由g′(x)≤0时g(x)为减函数，即m≥4x2，又y＝4x2在[2,3]上为单调递增，所以ymax＝4×32＝36，所以m≥36，而此时函数y＝logmx为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由g′(x)≥0时g(x)为增函数，即m≤4x2，又y＝4x2在[2,3]上为单调递增，所以ymin＝4×22＝16，所以m≤16，而当m>1时，函数y＝logmx为增函数，因此当1<m≤16时，同增为增，满足题意．故选D.5．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝ 　；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_[－1，＋∞)__.[解析]　当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞)．6．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．[解析]　(1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3>0的解集为R，则Δ＝4a2－12<0，解得－<a<.所以a的取值范围为(－，)．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－或a≥.所以实数a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a<－1时，u(x)min＝u(－1)>0，即解得－2<a<－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－<a<，所以－1≤a<.综上可知，a的取值范围为(－2，)．(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.7．已知函数f(x)＝log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．[解析]　(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．所以a＝0.(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立．即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)．(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由题设得log2(1＋a)－log2≥2，则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．所以解得－<a≤－.故实数a的取值范围是.