新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案15第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第九讲函数模型及其应用

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案15第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第九讲函数模型及其应用，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
练案[15]　 第九讲　函数模型及其应用A组基础巩固一、单选题1．如图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/mL)的变化情况，其中点Ai的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值(最高浓度)时间，其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点Ai的纵坐标表示服用第i种药后血药浓度的峰值(i＝1,2,3)．记Vi为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记Ti为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则V1，V2，V3中最小的，T1，T2，T3中最大的分别是( B )A．V2，T3  B．V2，T2C．V1，T3  D．V1，T2[解析]　设A1(x1，y1)，则V1＝，即直线OA1的斜率，由题图可知，直线OA2的斜率最小，即V2最小；根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1，A3，A2，在首次降到峰值一半时对应点不妨记为B1，B3，B2，由题图可知A2与B2经历的时间最长，所以T1，T2，T3中最大的是T2.2．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10 909 m，创造了我国载人深潜的新纪录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1 450 m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6 s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为( B )A．2 900 m  B．4 350 mC．5 800 m  D．8 700 m[解析]　由题意知，声波从发出到“奋斗者”号接收到声波所用时间为3 s，所以“奋斗者”号的实际下潜深度约为1 450×3＝4 350(m)．故选B.3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( B )x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y＝2x－2  B．y＝(x2－1)C．y＝log2x  D．y＝logx[解析]　由题表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.4．(2022·全国高三专题练习)2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5 000元；(2)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2 000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1 000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级二级三级每月应纳税所得额x元(含税)x≤3 0003 000<x≤12 00012 000<x≤25 000税率31020现有李某月收入为18 000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为( C )A．1 800元  B．1 000元C．790元  D．560元[解析]　李某月应纳税所得额(含税)为：18 000－5 000－1 000－2 000＝10 000元，不超过3 000的部分税额为3 000×3%＝90元，超过3 000元至12 000元的部分税额为(10 000－3 000)×10%＝7 000×10%＝700元，所以李某月应缴纳的个税金额为90＋700＝790元．故选C.5．(2022·新疆阿勒泰期末)新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)大致服从的关系为t(n)＝(t0，N0为常数)．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为( C )A．16小时  B．11小时C．9小时  D．8小时[解析]　由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，16<N0，所以＝16，得t0＝64.又由＝8知，N0＝64，所以当n＝49时，t(49)＝＝≈9，故选C.6．(2023·陕西西安市阎良区关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]　对于A，由图象可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L，∴当速度大于40 km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，即甲车行驶10 km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80 km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．故选D.7．(2023·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( B )A．1倍  B．10倍C．100倍  D．1 000倍[解析]　设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，根据题意得d(x1)＝9lg ＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg＝54，解得x2＝10－7，所以＝10，因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍．8．(2022·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？( A )A.天  B．天 C．天  D．天[解析]　由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．第三天，大鼠打4尺，小鼠打尺，因此两只老鼠第三天相遇．设第三天相遇时，大鼠打y尺，小鼠打(0.5－y)尺，则＝，所以y＝，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了＝(天)，所以它们经过2＋＝天可以相遇．故选A.二、多选题9．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是( CD )A．2  B．3 C．4  D．5[解析]　设至少要洗x次，则x≤，所以≤，4x≥100，因此至少洗4次，故选CD.10．(2023·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( CD )A．当x>1时，甲走在最前面B．当x>1时，乙走在最前面C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲[解析]　甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．三、填空题11．(2022·辽宁协作校模拟)考古学家经常利用14C的含量来推断古生物死亡的大致时间．当有机体生存时，会持续不断地吸收14C，从而其体内的14C含量会保持在一定的水平；但当有机体死亡后，就会停止吸收14C，其体内的14C含量就会逐渐减少，而且每经过大约5 730年后会变为原来的一半．假设有机体生存时14C的含量为1，如果用y表示该有机体死亡x年后体内14C的含量，则y与x的关系可以表示为.[解析]　依题意，设y＝ax，当x＝5 730时，y＝，即＝5 730a，因此a＝，故y＝.12．(2022·重庆调研)为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y(mg/m3)与时间t(h)的函数关系式为y＝(如图所示)，实验表明，当药物释放量y<0.75(mg/m3)时对人体无害．求：(1)k＝_2__；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_40__分钟人方可进入房间．[解析]　(1)由题图可知，当t＝时，y＝1，即＝1⇒k＝2.(2)由题意可得解得t>，故为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过×60＝40(分钟)人方可进入房间．B组能力提升1．(2022·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n＝(x代表人均食品支出总额，y代表人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱小康富裕nn≥59%50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40%张先生居住区2019年比2018年食品支出下降7.5%，张先生家在2019年购买食品和2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于( D )A．贫困  B．温饱 C．小康  D．富裕[解析]　设2018年人均食品支出x元，则2019年人均食品支出x(1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x＋475，由题意，有2×92.5%x＋475＋75＝2x＋475，∴x＝500.此时，n＝≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．2.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用的时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是( B )[解析]　函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C、D；一开始，h随着时间的变化，变化较快，随后变化缓慢，而当水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B，故选B.3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0)( B )A．6 min  B．7 minC．8 min  D．9 min[解析]　由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.908 5x＋25.当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，即0.908 5x＝0.5，则x＝log0.908 50.5＝＝≈≈7，所以茶水泡制时间大约为7 min.4．(多选题)(2023·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( AD )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时[解析]　由函数图象可知y＝当t＝1时，y＝4，即1－a＝4，解得a＝3，∴y＝故A正确；药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝，药物刚好失效的时间t－3＝0.125，解得t＝6，故药物有效时长为6－＝5(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液含药量为4×＝0.5(微克)，故C错误．5．某商家推行亲子款十二生肖纪念章．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据，为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系，从下列函数中选取一个最佳的函数模型是_②__；①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝logax.(2)利用你选取的函数，求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格；(3)设你选取的函数为y＝f(x)，若对任意实数k，方程f(x)＝kx＋2m＋120恒有两个相异实数根，求m的取值范围．[解析]　(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大，而模型①③均为单调函数，不符合题意，故选择二次函数模型②.(2)由表中数据可知解得∴函数模型为y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26.∴当市场价最低时的上市时间为20天，最低价格为26元．(3)∵f(x)＝x2－10x＋126＝kx＋2m＋120，∴x2－(10＋k)x＋6－2m＝0恒有两个相异实数根，∴Δ＝(10＋k)2－(6－2m)>0恒成立，即－2m<k2＋20k＋94.∵k2＋20k＋94＝(k＋10)2－6≥－6，∴－2m<－6，∴m>3.故m的取值范围是(3，＋∞)．6．(2022·湖北江夏一中高一阶段练习)美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；(2)现在公司准备投入40千万元资金同时生产A，B两种芯片，求可以获得的最大利润是多少？[解析]　(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y＝mx(m>0)，因为当x＝1时，y＝0.25，所以m＝0.25，所以y＝0.25x，即生产A芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式为y＝0.25x，因为生产B芯片的函数y＝kxa(x>0)图象过点(1,1)，(4,2)，所以解得所以y＝x，即生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝(x>0)．(2)设投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元生产A芯片，则公司所获利润f(x)＝0.25(40－x)＋－2＝－(－2)2＋9，所以当＝2，即x＝4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．7．(2022·湖北武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末)上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N*，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1 200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10－t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t)．(1)求p(t)的解析式；(2)若该时段这条线路每分钟的净收益为Q＝－360(元)，问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？[解析]　(1)由题意知p(t)＝(t∈N*)，(k为常数)，因p(2)＝1 200－k(10－2)2＝1 200－64k＝560，则k＝10，所以p(t)＝(t∈N*)．(2)由Q＝－360得Q＝即Q＝(t∈N*)，①当2≤t<10时，Q＝840－60≤840－60×12＝120，当且仅当t＝6等号成立；②当10≤t≤20时，Q＝－360在[10,20]上递减，当t＝10时Q取最大值24，由①②可知，当发车时间间隔为t＝6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元．