新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案23第四章三角函数解三角形第二讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

练案[23] 第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式

A组基础巩固

一、单选题

1．(2023·新疆普通高中学业水平考试)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于( C )

A.  B．－

C．  D．－

[解析]　∵sin α＝－，且α为第三象限角

∴cos α＝－＝－

∴tan α＝＝－×＝，故选C.

2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于( D )

A.  B．－

C．  D．－

[解析]　∵tan α＝－，∴＝－

∴sin α＝－cos α代入sin2α＋cos2α＝1，cos2α＝

∵α是第四象限角

∴cos α＝

∴sin α＝－×＝－，故选D.

3．(2022·佛山质检)已知α∈，且cos α＝－，则等于( C )

A.  B．－

C．  D．－

[解析]　由已知得sin α＝＝，

∴＝

＝＝＝.

4．sin ＋cos－tan ＝( A )

A．0  B．

C．1  D．－

[解析]　原式＝sin＋cos－tan＝sin ＋cos －tan ＝＋－1＝0.

5．(2022·上海市仙霞高级中学期中)已知α是第四象限的角，化简＋的结果是( D )

A.  B．－

C．－  D．

[解析]　原式＝＋

＝＋＝＋＝，

因为α是第四象限的角，所以cos α>0，

所以原式化简的结果是.故选D.

6．(2022·兰州质检)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为( D )

A．－1  B．1

C．3  D．－3

[解析]　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)＝asin α＋bcos β＝3，

∴f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝－3.

7．(2023·福州市质检)已知sin＝，且θ∈，则cos＝( C )

A．0  B．

C．1  D．

[解析]　由sin＝，且θ∈得，θ＝，所以cos＝cos 0＝1，故选C.

8．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为( C )

A.  B．

C．  D．

[解析]　原式＝＋＝＋，将tan θ＝2代入上式，则原式＝.

二、多选题

9．(2023·青岛模拟)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( CD )

A．sin(－x)＝sin x  B．sin＝cos x

C．cos＝－sin x  D．cos(x－π)＝－cos x

[解析]　sin(－x)＝－sin x，故A不成立；

sin＝－cos x，故B不成立；

cos＝－sin x，故C成立；

cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cos x，故D成立．

10．若cos(π－α)＝－，则( CD )

A．sin(－α)＝  B．sin＝－

C．cos(π＋α)＝－  D．cos(α－π)＝－

[解析]　本题考查诱导公式和同角三角函数的关系．

由cos(π－α)＝－可得cos α＝，则sin α＝±.

对于A.sin(－α)＝－sin α＝±，所以不正确．

对于B.sin＝cos α＝，所以不正确．

对于C.cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以正确．

对于D.cos(α－π)＝－cos α＝－，所以正确．故选CD.

11．(2022·河南南阳中学高一阶段练习)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( BD )

A．θ∈  B．cos θ＝－

C．tan θ＝  D．sin θ－cos θ＝

[解析]　因为sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，

可得2sin θcos θ＝－，

因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，故A错误，

又由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，可得sin θ－cos θ＝，故D正确，

联立方程组，解得sin θ＝，cos θ＝－，故B正确，

由tan θ＝＝－，故C错误．故选BD.

三、填空题

12．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝ －　.

[解析]　f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－.

13．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α＝_0__.

[解析]　原式＝cos α＋sin α＝cos α＋sin α.

因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，

即原式等于0.

14．(2022·江西九江一中月考)已知cos＝，则cos－sin2＝ －　.

[解析]　cos－sin2

＝cos －sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－.

15．(2023·山西太原一中月考)已知sin(3π＋α)＝2sin，则的值为 －　.

[解析]　∵sin(3π＋α)＝2sin，

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，

∴tan α＝2，∴＝＝－.

四、解答题

16．(2022·江西南昌二中高一阶段练习)已知＝2.

(1)求tan α的值；

(2)求2sin2α＋3sin αcos α－cos2α的值．

[解析]　(1)

＝

＝＝＝2，

解得：tan α＝

(2)2sin2α＋3sin αcos α－cos2α＝

＝＝

＝.

B组能力提升

1．(多选题)在△ABC中，下列结论正确的是( ABC )

A．sin(A＋B)＝sin C

B．sin＝cos

C．tan(A＋B)＝－tan C

D．cos(A＋B)＝cos C

[解析]　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，

则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．

sin＝sin＝cos，B正确．

tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确．

cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．故选ABC.

2．(2023·贵阳模拟)已知＝－，则的值是( D )

A.  B．－

C．  D．－

[解析]　∵×＝＝＝1，∴＝－.

3．已知曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则＝( C )

A.  B．2

C．  D．－

[解析]　由f′(x)＝2x2，得tan α＝f′(1)＝2，所以＝＝.

4．(2023·贵州贵阳联考)已知角α的始边与x轴非负半轴重合且终边过点(4,5)，则的值为 －　.

[解析]　本题考查利用三角函数的定义，诱导公式以及同角三角函数基本关系化简求值．因为角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4,5)，所以tan α＝，因此＝＝－＝－＝－.

5．已知x∈(－π，0)，sin x＋cos x＝.

(1)求sin x－cos x的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)由sin x＋cos x＝，

平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，

整理得2sin xcos x＝－.

∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝.

由x∈(－π，0)，2sin xcos x＝－<0，cos x>0知sin x<0，

则sin x－cos x<0，

故sin x－cos x＝－.

(2)＝

＝

＝＝－.

6．(2022·北京人大附中期中)已知第二象限角α满足sin α，cos α是关于x的方程25x2－5x－12＝0的两个实根．

(1)求tan α＋的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)由题意知：sin α＋cos α＝－＝，sin αcos α＝－，又α为第二象限角，解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝－，

所以tan α＋＝－－＝－；

(2)由(1)知tan α＝－，

又

＝

＝

＝＝－.