新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案25第四章三角函数解三角形第三讲第二课时三角函数式的化简与求值

练案[25]　第二课时　三角函数式的化简与求值

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·安庆模拟)已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ等于( C )

A．－  B．

C．－  D．

[解析]　cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ＝＝＝－.

2．(2023·威海模拟)tan 67.5°－的值为( C )

A．1  B．

C．2  D．4

[解析]　tan 67.5°－＝－

＝－

＝

＝＝2.

3．(2022·重庆北碚区一诊)若cos α＝－，α是第三象限角，则＝( A )

A．－  B．

C．2  D．－2

[解析]　＝

＝

＝

＝

＝

＝－.故选A.

4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝( B )

A．－  B．

C．  D．3

[解析]　因为tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故选B.

5．(2022·南京联考)已知0<α<<β<π，且tan α＝，tan β＝－，则α＋β＝( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　由题意可知，tan(α＋β)＝＝－1，因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，所以α＋β＝.故选B.

6．(2023·山东青岛调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( A )

A．－  B．

C．  D．－

[解析]　∵α∈，sin α＝，

∴cos α＝－，tan α＝－，

又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，

∴tan(α－β)＝＝＝－.

7．(2022·广东佛山一中月考)设α为锐角，若cos＝，则sin的值为( B )

A.  B．

C．－  D．－

[解析]　因为α为锐角，且cos＝，

所以sin＝＝，

所以sin＝2sincos＝2××＝，故选B.

8．(2022·河南郑州一中月考)

若＝4，则tan＝( C )

A.  B．

C．  D．

[解析]　∵＝＝＝4，∴tan＝＝.故选C.

二、多选题

9．当tan 有意义时，下列等式成立的是( ABC )

A．tan ＝  B．tan ＝

C．sin α＝  D．cos α＝

[解析]　tan ＝＝＝，A成立；

tan ＝＝＝，B成立；

sin α＝＝，C成立；

cos α＝＝，D不成立．

10．已知sin α＝－，180°<α<270°，则下列选项正确的是( BCD )

A．sin 2α＝－  B．sin ＝

C．cos ＝－  D．tan ＝－2

[解析]　∵180°<α<270°，∴cos α＝－，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A错误．

∵90°<<135°，∴sin＝＝＝；cos＝－＝＝－；

tan ＝＝－2，故B、C、D均正确．

11．(多选题)(2023·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝( CD )

A.π  B．π

C．  D．π

[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos>0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin＝cos＝，

∴cos＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选C、D.

三、填空题

12.＝ 2－　.

[解析]　原式＝

＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)

＝＝＝＝2－.

13．已知sin 2α＝则cos2＝ 　.

[解析]　cos2＝＝＝＝.

14．(2022·云南一测)已知α，β都为锐角，若tan β＝，cos(α＋β)＝0，则cos 2α的值是 　.

[解析]　由已知α、β都为锐角且cos(α＋β)＝0得β＋α＝，β＝－α

tan β＝tan

＝＝＝＝

∵tan α＝

∴cos 2α＝＝

＝＝.

15．(2023·山东烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan θ＝ 　，tan 2θ＝ －　.

[解析]　解法一：由sin＝，得sin θ－cos θ＝，可得2sin θcos θ＝，

又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，

∴sin θ＝，cos θ＝，

∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.

解法二：∵θ∈且sin＝，

∴cos＝，

∴tan＝＝，解得tan θ＝.

故tan 2θ＝＝－.

四、解答题

16．(2022·江西临川一中月考)已知0<x<，sin＝，求的值．

[解析]　解法一：(先化简后求值)：原式＝＝(cos x＋sin x)＝2cos.

因为0<x<，所以0<－x<，

则原式＝2＝.

解法二：(先局部后整体)：cos

＝cos ＝sin＝.

下面从两个角度求cos 2x.

角度1：cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos；

角度2：cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x－sin x)·(cos x＋sin x)＝sin·cos

＝2sin·cos.　

因为0<x<，所以0<－x<，则cos＝＝，故cos 2x＝2××＝.

所以＝.

17．(2022·昆明一模)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β )＝.

(1)求证：sin αcos β＝5cos αsin β；

(2)若已知0<α＋β<，0<α－β<，求cos 2α的值．

[解析]　(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，

∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，①

3sin αcos β－3cos αsin β＝1，②

②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0，

则sin αcos β＝5cos αsin β.

(2)∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，0<α＋β<，0<α－β<，

∴cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，

则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝.

B组能力提升

1．(2022·邢台一中月考)已知tan＝，则cos2＝( B )

A.  B．

C.  D．

[解析]　∵tan＝，∴＝，∴tan α＝－，∴cos2＝＝＝＝＝.

2．(2023·昆明一中模拟)已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于( B )

A．－  B．－

C．  D．

[解析]　因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，

所以n＝4－m2＝4－4sin2 18°＝4cos2 18°，

因此＝

＝＝

＝－.

3．(多选题)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则( BC )

A．cos α＝－  B．sin α－cos α＝

C．β－α＝  D．cos αcos β＝－

[解析]　因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝>0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2 α－1⇒cos2 α＝⇒cos α＝，故A错误；

(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；

因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又cos(α＋β)＝－<0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β )＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－，又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；

由cos(α＋β)＝－⇒cos αcos β－sin αsin β＝－，又cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误．故选B、C.

4．(2022·长沙模拟)化简：＝_4sin_α__.

[解析]　

＝＝＝4sin α.

5．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ －　.

[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.∵α，β∈，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，

∴α，β∈，

∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.

6．(2023·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.

(1)求sin 2β的值；(2)求cos的值．

[解析]　(1)解法一：∵cos＝cos cos β＋sin ·sin β＝(sin β＋cos β)＝，

∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.

解法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.

(2)∵0<α<<β<π，

∴<β－<，<α＋β<，

∴sin>0，cos(α＋β)<0.

∵cos＝，sin(α＋β)＝，

∴sin＝，cos(α＋β)＝－.

∴cos＝cos ＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.