新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案47第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案47第八章解析几何第四讲直线与圆圆与圆的位置关系，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[47]　 第四讲　直线与圆、圆与圆的位置关系A组基础巩固一、单选题1．(2022·河北保定高三期末)若P(0,1)为圆x2＋2x＋y2－15＝0的弦MN的中点，则直线MN的方程为( A )A．y＝－x＋1  B．y＝x＋1C．y＝2x＋1  D．y＝－2x＋1[解析]　圆x2＋2x＋y2－15＝0的圆心为C(－1,0)，则CP⊥MN.因为kCP＝＝1，所以kMN＝－1，故直线MN的方程为y＝－x＋1.故选A.2．(2023·河南八市质检)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )A．2x＋y－5＝0  B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0  D．x－2y－7＝0[解析]　由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0，选B.3．(2022·广东佛山顺德区模拟)已知点A(－2,0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则·的值为( B )A．－15  B．－9 C．9  D．15[解析]　圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为C(3,0)，半径为3，即||＝3，由圆的几何性质可知AP⊥CP，所以·＝(＋)·＝·－2＝－||2＝－9.故选B.4．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( D )A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x＋4y－12＝0或x＝0[解析]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，半径r＝2，∴圆心C(1,1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝，∵d2＝r2－2，∴＝4－2，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.故选D.5．(2023·江苏南通基地校适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，已知直线ax－y＋2＝0与圆C：x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，若钝角△ABC的面积为，则实数a的值是( A )A．－  B．－ C．  D．[解析]　由圆C：x2＋y2－2x－3＝0，可得圆心坐标为C(1,0)，半径为r＝2，因为钝角△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2sin∠ACB＝，解得sin∠ACB＝，所以∠ACB＝，可得|AB|＝2，又由圆的弦长公式，可得2＝2，解得d＝1，根据点C到直线ax－y＋2＝0的距离公式d＝＝1，解得a＝－.故选A.6．(2022·山东聊城模拟)已知点P在圆C：x2＋y2＝4上，点A(－3,0)，B(0,4)，满足AP⊥BP的点P的个数为( B )A．3  B．2 C．1  D．0[解析]　设点P(x，y)，则x2＋y2＝4，且＝(x＋3，y)，＝(x，y－4)，由AP⊥BP，得·＝x(x＋3)＋y(y－4)＝x2＋y2＋3x－4y＝0，即2＋(y－2)2＝，故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆，则两圆的圆心距为，半径和为＋2＝，半径差为－2＝，有<<，所以两圆相交，满足这样的点P有2个．故选B. 7．(2022·河北唐山一中调研)若直线y＝k(x－2)＋4与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是( C )A．[1，＋∞)  B．C.  D．(－∞，－1][解析]　直线y＝k(x－2)＋4，当x＝2时，y＝4，可得此直线恒过A(2,4)，曲线y＝为圆心在坐标原点，半径为2的半圆，根据题意作出相应的图形，如图所示：当直线y＝ k(x－2)＋4与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离d＝r，∴＝2，即4k2－16k＋16＝4＋4k2，解得：k＝，当直线y＝k(x－2)＋4过点C时，将x＝－2，y＝0代入直线方程得：－4k＋4＝0，解得：k＝1，则直线与曲线有2个交点时k的范围为，故选C.8．(2023·山东烟台一模)过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为( A )A．－5<m<3B．－3<m<5C．m<－5或m>3D．m<－3或m>5[解析]　由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知，圆心M(2,3)，半径为1，∴|MA|＝|MB|＝1，∴四边形PAMB的面积为S＝|PA||MA|＋|PB||MB|＝|PA|＝，∴|PM|＝＝＝2，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则<2，解得－5<m<3.故选A.二、多选题9．(2023·广东广州模拟)已知直线l：x＋y－＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则( BD )A．直线l与圆C相离B．直线l与圆C相交C．圆C上到直线l的距离为1的点共有2个D．圆C上到直线l的距离为1的点共有3个[解析]　由圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝4，可知其圆心坐标为(1，－1)，半径为2，圆心(1，－1)到直线l：x＋y－＝0的距离d＝＝1，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误．故选BD.10．(2022·江苏江阴学情检测)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则( AD )A．两圆有两条公切线B．直线AB的方程为y＝2x＋2C．线段AB的长为D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为＋3[解析]　圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(－2,1)，半径R＝1，对于选项A，且r－R<|OM|＝<r＋R知圆O与圆M相交，有两条公切线，则选项A正确；对于选项B，由联立可得：2x－y＋4＝0，则直线AB的方程为y＝2x＋4，则选项B错误；对于选项C，直线AB的方程为y＝2x＋4，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，则|AB|＝2＝，则选项C错误；对于选项D，圆O上点E，圆M上点F，|EF|的最大值为|MO|＋r＋R＝＋1＋2＝＋3，则选项D正确；综上，选AD.三、填空题11．(2022·天津河北区期末)已知过点(2，－4)的直线与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝5相切，且与直线l：ax－2y＋3＝0垂直，则实数a的值为_－4__.[解析]　显然点A(2，－4)在⊙C上，且kAC＝＝－2.由题意知kAC＝kl，即＝－2，∴a＝－4.12．(2022·全国甲卷)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝ 　.[解析]　双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0,2)，半径r＝1，依题意圆心(0,2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1，解得m＝或m＝－(舍去)．13．(2023·贵州贵阳五校联考)已知圆M：(x－2)2＋y2＝4，直线l：3x－4y＋m＝0.若P∈l，过点P可作两条与圆M分别相切于A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为 　.[解析]　由圆的方程知：圆心M(2,0)，半径r＝2；则在△MPB中，|MB|＝2，∠MPB＝30°，∴|MP|＝4，∴点P在圆(x－2)2＋y2＝16上．∵P∈l，则直线l与圆(x－2)2＋y2＝16存在交点，∴点M到直线l的距离d＝≤4，解得－26≤m≤14，即实数m的取值范围为[－26,14]．14．(2020·浙江高考)已知直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－ 4)2＋y2＝1均相切，则k＝ 　，b＝ －　.[解析]　解法一：由直线与圆相切的充要条件知⇔⇔解法二：如图所示．由图易知，直线y＝kx＋b经过点(2,0)，且倾斜角为30°，从而k＝，且0＝＋b，∴b＝－.四、解答题15．(2023·辽宁大边滨城高中联盟期中)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，求此圆的方程．[解析]　解法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C (3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝＝|a|.又d2＋()2＝r2.∴2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为.∴r2＝2＋()2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y轴相切，∴r2＝a2.②又因为所求圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0.③联立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圆的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.解法三：设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为，半径为.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圆与y轴相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④又圆心到直线x－y＝0的距离为，由已知，得2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圆心在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F＝1或D＝6，E＝2，F＝1.故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.B组能力提升1．(2023·河北石家庄质检)若点P在曲线x2＋y2＝|x|＋|y|上运动，则点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最大值为( A )A．2  B．2C.  D．4[解析]　当x≥0，y≥0时，x2＋y2＝|x|＋|y|⇔2＋2＝2(x≥0，y≥0)，依次讨论x，y的符号知曲线由分别以正方形ABCD的四边为直径的半圆弧组成，如图，所求距离最大值为到直线的距离与之和，即＋＝2.故选A.2．(2023·河南安阳模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4，点M为直线l：x－y＋8＝0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程为( D )A．(x－7)2＋(y－1)2＝4B．(x－1)2＋(y－7)2＝4C．(x－7)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－7)2＝2[解析]　圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4的圆心C(2，6)，半径r＝2，点C到直线l的距离d＝＝2，依题意，CA⊥AM，四边形CAMB周长为2|CA|＋2|AM|＝4＋2≥4＋2＝4＋2＝8，当且仅当CM⊥l时取“＝”，此时直线CM：x＋y－8＝0，由得点M(0,8)，四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM中点(1,7)，半径，方程为(x－1)2＋(y－7)2＝2.故选D.3．(多选题)(2022·湖南考前演练)如图，过点P(－2,0)分别作直线l1与l2，其中直线l1与圆C：(x－2)2＋y2＝4交于不同的两点A，B，直线l2与圆C相切于点Q，则以下说法正确的是( BD )A．直线PQ的方程为y＋x－2＝0B．若M为圆上的动点，则PMmax＝6C．S△BPQ的最大值为8D．若·＝0，则||＝[解析]　设直线PQ的方程为y＝kx＋2k，由直线PQ与圆相切得＝2，解得k＝－，k＝(舍去)，所以直线PQ的方程为y＝－x－，即x＋y＋2＝0，故A错误；M为圆上的动点，则PMmax即当M为圆C与x轴的交点(非原点)时与P连线的长度为6，故B正确；由直线l2与圆C相切于点Q，可得PQ⊥CQ，所以|PQ|＝＝＝2，要使S△BPQ最大，只需点B到PQ的距离最大，易知最大距离d＝CQ＋2＝4，S△BPQ的最大值为×PQ×4＝4，故C错误；若·＝0，则PA⊥AQ，则AB⊥AQ，所以BQ过圆心(2,0)，此时BP＝＝＝2，在直角△BQP中，cos∠PBQ＝＝＝，在直角△ABQ中，|AB|＝BQcos∠PBQ＝4×＝.故D正确．故选BD.4．(多选题)(2023·山东潍坊模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－4，2)，B(2,2)，点P满足＝2，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是( ABD )A．圆C的方程是(x－4)2＋(y－2)2＝16B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为±D．在直线y＝2上存在异于A，B两点D，E，使得＝2[解析]　因为A(－4,2)，B(2,2)，点P满足＝2，设点P(x，y)，则＝2，化简得：x2＋y2－8x－4y＋4＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝16，故A正确；因为AC＝8，R＝4，所以sin＝＝，则＝，解得α＝，故B正确；易知直线的斜率存在，设直线l：kx－y＋4k＋2＝0，因为圆C上恰有三个点到直线l距离为2，则圆心到直线的距离为：d＝＝2，解得k＝±，故C错误；假设存在异于A，B的两点D(m,2)，E(n,2)，则＝2，化简得：x2＋y2＋x－4y＋＝0，因为点P的轨迹方程为：x2＋y2－8x－4y＋4＝0，所以解得或(舍去)．故存在D(12,2)，E(6,2)，故D正确．故选ABD.5．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 　.[解析]　A(－2,3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2,2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，故A′B所在直线即为直线l，∴直线l为y＝x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0；圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意圆心到直线l的距离d＝≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤.