新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案46第八章解析几何第三讲圆的方程

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案46第八章解析几何第三讲圆的方程，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
练案[46]　 第三讲　圆的方程A组基础巩固一、单选题1．(2023·山西临汾模拟)已知直线l过圆x2－2x＋y2＝0的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为( D )A．x－2y＋1＝0  B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0  D．x－2y－1＝0[解析]　由x2－2x＋y2＝0⇒(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为－2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，所以l的方程为：y＝(x－1)，即x－2y－1＝0，故选D.2．(2020·山东高考真题)已知圆心为(－2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是( B )A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋2)2＋(y－1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝4[解析]　根据题意知圆心为(－2,1)，半径为2，故圆的方程为：(x＋2)2＋(y－1)2＝4.故选B.3．(2022·河北保定模拟)过点P(－1,0)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A，B，则过点A，B，C的圆的方程是( A )A．x2＋(y－1)2＝2  B．x2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋y2＝4  D．(x－1)2＋y2＝1[解析]　P，A，B，C四点共圆，圆心为PC的中点(0,1)，半径为|PC|＝＝，则过点A，B，C的圆的方程是x2＋(y－1)2＝2.4．(2023·甘肃兰州诊断)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线y＝x的距离是( D )A.  B．C．1  D．[解析]　由题意可得：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝4，即圆的圆心坐标为(1,0)，因为直线方程为x－y＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝.故选D.5．(2023·四川凉山州质检)已知O为坐标原点，P为⊙C：(x－a)2＋(y－1)2＝2(a>0)上的动点，直线l：x＋y－1＝0，若P到l的最小距离为2，则a的值为( C )A．2  B．4 C．6  D．8[解析]　圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝2(a>0)的圆心坐标C(a,1)，半径为，圆心到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝，要使P到l的最小距离为2，则＝3，即|a|＝6，又a>0，∴a＝6.故选C.6．(2022·神州智达河北联考)已知点P为圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上的动点，O为坐标原点，则向量在向量a＝(2,1)方向上投影的最大值为( B )A.  B．＋1C.－1  D．[解析]　解法一：设P(x，y)，则在a＝(2,1)方向上的投影为u＝(2x＋y)＝.又圆心到直线2x＋y＝0的距离d＝.∴u的最大值为＋1，故选B.解法二：设x－1＝sin θ(0<θ≤2π)，则x＝1＋sin θ，y＝2＋cos θ(0<θ≤2π)，记＝(x，y)，则在a＝(2,1)方向上的投影为u＝(2sin θ＋cos θ＋4)＝(sin(θ＋φ)＋4)≤1＋.故选B.7．(2022·南京盐城一模)已知直线x＋y＋a＝0与⊙C：x2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝( A )A．－4或2  B．－2或4C．－1±  D．－1±[解析]　由题意可知，△ABC为等边三角形，则AB＝AC＝BC＝r＝2，则点C(0,1)到直线x＋y＋a＝0的距离d＝＝＝，解得a＝－4或2，故选A.8．(2023·河南郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( C )A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4C．(x－4)2＋(y－6)2＝4D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4[解析]　设对称圆的圆心为(m，n)，则解得即所求圆的圆心为(4,6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4，故选C.9．(2022·陕西西安质检)已知半径为2的圆经过点(5,12)，则其圆心到原点的距离的最小值为( B )A．10  B．11 C．12  D．13[解析]　因为半径为2的圆经过点(5,12)，所以圆心的轨迹是以点(5,12)为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为－2＝11，故选B. 二、多选题10．若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为( ABC )A．4  B．6C．3＋1  D．8[解析]　直线l：y＝kx－1过定点(0，－1)，又圆心(－3,3)到直线l的距离d的最大值为＝5，∴点P到直线l距离的取值范围为[0,6]．故选ABC.11．(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的值可能是( ABC )A．2  B．3C．6  D．8[解析]　由题意|AB|＝2，又圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为2，∴P到直线距离的取值范围为[，3]，∴S△ABP∈[2,6]，故选ABC.12．(2023·河北沧州模拟)已知点P(2,4)，若过点Q(4，0)的直线l交圆C：(x－6)2＋y2＝9于A，B两点，R是圆C上的动点，则( ABD )A．|AB|的最小值为2B．P到l的距离的最大值为2C.·的最小值为12－2D．|PR|的最大值为4＋3[解析]　如图，当直线l与x轴垂直时，|AB|有最小值，且最小值为2，故A正确；当直线l与PQ垂直时，P到l的距离有最大值，且最大值为|PQ|＝2，故B正确；设R(6＋3cos θ，3sin θ)，则·＝(2，－4)·(4＋3cos θ，3sin θ－4)＝6cos θ－12sin θ＋24＝6cos(θ＋φ)＋24，则·的最小值为24－6，故C错误；当P，C，R三点共线时，|PR|最大，且最大值为|PC|＋r＝4＋3，所以D正确．故选ABD.三、填空题13．(2022·宁夏石嘴山适应性测试)已知直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，且与直线x＋2y＋3＝0垂直，则l的方程为_2x－y＋2＝0__.[解析]　由题意知直线l过圆心且斜率k＝2，故直线l的方程为y－1＝2，即2x－y＋2＝0.14．(2023·广东佛山模拟)已知点A(1,0)，B(3,0)，若·＝2，则点P到直线l：3x－y＋4＝0的距离的最小值为 －　.[解析]　设点P的坐标为(x，y)，∴＝(1－x，－y)，＝(3－x，－y)，∵·＝2，∴(x－2)2＋y2＝3，即P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为的圆，点(2,0)到直线l的最短距离为，则可得点P到直线l的距离的最小值为－.四、解答题15．(2023·河南洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8，7)，圆心S在直线2x－y－4＝0上．(1)求圆S的方程；(2)若直线x＋y－m＝0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围．[解析]　(1)线段AB的中垂线方程为y＝x，由得所以圆S的圆心为S(4，4)，圆S的半径为|SA|＝5，故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝25.(2)由x＋y－m＝0变形得y＝－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理得2x2－2mx＋m2－8m＋7＝0.令Δ＝(－2m)2－8(m2－8m＋7)>0，得8－5<m<8＋5.设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝m，x1x2＝.依题意，得·<0，即x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)<0，即m2－8m＋7<0，解得1<m<7.故实数m的取值范围是{m|8－5<m<8＋5}∩{m|1<m<7}＝{m|1<m<7}．B组能力提升1．(2023·天津和平区模拟)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则圆C的标准方程为_x2＋(y＋2)2＝5__.[解析]　因为圆心坐标为(0，m)，直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，根据圆心和切点的连线与直线2x－y＋3＝0垂直，所以＝－，解得m＝－2，根据两点间的距离公式，可得圆C的半径r＝＝，故圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5.2．(2023·新高考基地校联考)写出一个同时具有下列性质①②的圆的方程为_x2＋y2－2x－2y＝0(答案不唯一，如x2＋y2＋ax＋by＝0(|a|＝|b|≠0)，或(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(|a|＝|b|≠0))__.①经过坐标原点；②被两条坐标轴截得的弦长相等．[解析]　由题意可设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆被两条坐标轴截得的弦长相等，则|a|＝|b|，则可令a＝b＝1，又圆经过坐标原点，解得r＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0.3．(2022·海南海口二中模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( C )A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1[解析]　解法一：由题意知，圆M的半径r为两平行线间距离＝2的一半，∴r＝1，设圆心的坐标为(a，－a－4)，则＝，解得a＝－3，∴圆心坐标为(－3，－1)，∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1，故选C.解法二：与两平行直线距离相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，由得圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线间距离为＝2，∴圆M的半径r＝1，∴圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C.4．(多选题)(2021·全国高考)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)、B(0,2)，则( ACD )A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝3[解析]　圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为＝＝，所以，点P到直线AB的距离的最小值为－4<2，最大值为＋4<10，A选项正确，B选项错误；如图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|＝＝，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝＝3，C、D选项正确．故选ACD.5．(多选题)(2023·河北保定摸底)已知点A(0,2)，B(1，1)，且点P在圆C：(x－2)2＋y2＝4上，C为圆心，则( BCD )A．当∠PAB最大时，△APB的面积为2B．|PA|＋|PB|的最小值为C．|PA|－|PC|的最大值为2D．||PA|－|PB||的最大值为[解析]　由圆C：(x－2)2＋y2＝4的方程可知C(2,0)，因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝＝(当且仅当A、P、B三点依次共线)，所以选项B正确；因为|PA|－|PC|≤|AC|＝＝2(当且仅当A、C、P三点依次共线)，所以选项C正确；因为|PA|－|PB|≤|AB|＝＝(当且仅当A、B、P三点依次共线)，所以选项D正确；当∠PAB最大时，此时直线PA是圆C：(x－2)2＋y2＝4的切线，即直线PA的方程为y＝2或x＝0，当直线PA的方程为y＝2时，△APB的面积为×2×(2－1)＝1，当直线PA的方程为x＝0时，△APB的面积为×2×1＝1，因此选项A不正确，故选BCD.