2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测5导数及简单应用

考点过关检测5 导数及简单应用

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝ (　　)

A．－e    B．－1C．1    D．e

2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象可能是(　　)

3．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝(　　)

A．4    B．11C．4或11    D．3或9

4．[2023·河南驻马店模拟]若函数f(x)＝kx－ln x在区间(，＋∞)上单调递增，则k的取值范围为(　　)

A．(，＋∞)    B．[2，＋∞)

C．(，＋∞)    D．[4，＋∞)

5．已知函数f(x)＝x cos x，x∈R，则下列说法正确的有(　　)

A．在区间(0，)上，f(x)无极值点

B．在区间(0，)上，f(x)有两个极值点

C．过(0，0)作y＝f(x)切线，有且仅有2条

D．过(0，0)作y＝f(x)切线，有且仅有3条

6．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a＝f(1)，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a>b>c    B．c>a>b

C．b>a>c    D．a>c>b

7．已知函数f(x)＝a(ln x－1)－x(a∈R)在区间(e，＋∞)内有最值，则实数a的取值范围是(　　)

A．(e，＋∞)    B．(，＋∞)

C．(－∞，e]    D．(－∞，－e)

8．已知函数f(x)＝ln x－ax＋2(a∈R)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)    B．(0，e)

C．(e，＋∞)    D．(－∞，e)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则(　　)

A．x＝－4是函数y＝f(x)的极值点

B．x＝0是函数y＝f(x)的极值点

C．y＝f(x)在区间(－4，1)上单调递增

D．y＝f(x)在x＝1处切线的斜率大于零

10．已知函数f(x)＝x ln (x＋1)，则(　　)

A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增

B．f(x)有极小值

C．f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为＋ln 2

D．f(x)为奇函数

11．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　)

A．f(x)有一个极值点

B．f(x)有一个零点

C．点(0，1)不是曲线y＝f(x)的对称中心

D．直线y＝2x＋3是曲线y＝f(x)的一条切线

12．[2023·湖南永州模拟]对于函数f(x)＝，则(　　)

A．f(x)有极大值，没有极小值

B．f(x)有极小值，没有极大值

C．函数f(x)与y＝－x＋2的图象有两个交点

D．函数g(x)＝f(x)－有两个零点

[答题区]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．[2023·山东德州模拟]曲线f(x)＝ln x＋x＋1在(1，f(1))处的切线方程为____________．

14．已知函数f(x)＝x－x cos x，则f(x)在区间[0，π]上的最大值是________．

15．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，f(8)＝3ln 2，则不等式f(ex)<x的解集为________．

16．[2023·河北石家庄模拟]若∃x∈[0，2]，使不等式(e－1)ln a≥ae1－x＋e(x－1)－x成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是________．

考点过关检测5　导数及简单应用

1．答案：B

解析：由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，可得f′（x）＝2f′（1）＋，所以f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.故选B.

2．答案：B

解析：由函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，

所以当x>1时，f′（x）<0；x＝1时，f′（x）＝0；x<1时，f′（x）>0；

所以当x<0时，y＝－xf′（x）>0，当0<x<1时，y＝－xf′（x）<0，

当x＝0或x＝1 时，y＝－xf′（x）＝0，当x>1时，y＝－xf′（x）>0，

可得选项B符合题意．

3．答案：B

解析：因为f′（x）＝3x2＋6mx＋n，由题有，即，解得或，检验：当时f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，不合题意，舍掉；

当时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋3）（x＋1），令f′（x）>0，得x<－3或x>－1；令f′（x）<0得－3<x<－1.

所以f（x）在（－∞，－3），（－1，＋∞）上单调递增，在（－3，－1）上单调递减，符合题意，则m＋n＝2＋9＝11.

4．答案：B

解析：f′（x）＝k－，因为函数f（x）＝kx－ln x在区间（，＋∞）上单调递增，所以f′（x）＝k－≥0在（，＋∞）上恒成立，即k≥在（，＋∞）上恒成立．因为y＝在（，＋∞）上单调递减，所以当x∈（，＋∞）时，y<2，所以k≥2，则k的取值范围为[2，＋∞）.故选B.

5．答案：C

解析：函数f（x）＝x cos x，x∈R，则f′（x）＝cos x－x sin x＝0，得tan x＝，正切函数y＝tan x和反比例函数y＝的图象在（0，）上只有一个交点，∴f′（x）＝0在x∈（0，）上只有一个解，∴f（x）在（0，）上有且仅有一个极值点，故选项A、B不正确；设y＝f（x）的切点为（t，t cos t），则切线斜率为k＝f′（t）＝cos t－t sin t，

∵切线过（0，0），故可设切线方程为y＝（cos t－t sin t）x，代入切点（t，t cos t）得t2sin t＝0，解得t＝0或t＝kπ（k∈Z），则f′（0）＝1，f′（kπ）＝cos （kπ）＝±1，∴切线方程为y＝±x，∴选项C正确，选项D错误．故选C.

6．答案：A

解析：设g（x）＝，则g′（x）＝<0，∴g（x）为单调递减函数．

∵3>ln 4>1，∴g（3）<g（ln 4）<g（1），即a>b>c.

7．答案：A

解析：f′（x）＝－1＝，其中x>e，当a≤e时，f′（x）<0，故f（x）在（e，＋∞）上单调递减，此时f（x）在（e，＋∞）内无最值．当a>e时，若x∈（e，a），则f′（x）>0，若x∈（a，＋∞），则f′（x）<0，故f（x）在（e，a）上为增函数，在（a，＋∞）上为减函数，故f（x）在x＝a处取最大值．故选A.

8．答案：B

解析：f（x）＝ln x－ax＋2＝0（a∈R）定义域为（0，＋∞），故＝a有两个不同的正实根，即g（x）＝，x∈（0，＋∞）与y＝a两函数有两个交点，其中g′（x）＝＝－，当x>时，g′（x）<0，当0<x<时，g′（x）>0，故g（x）＝在0<x<上单调递增，在x>上单调递减，从而g（x）＝在x＝处取得极大值，也是最大值，g（x）max＝＝e，且当x>时，g（x）＝>0恒成立，当0<x<时，g（x）＝<0恒成立，

画出g（x）＝的图象如图所示．显然要想g（x）＝，x∈（0，＋∞）与y＝a两函数有两个交点，需要满足a∈（0，e），综上：实数a的取值范围是（0，e）.故选B.

9．答案：ACD

解析：根据函数y＝f′（x）的图象可得：当x<－4时，f′（x）<0，当x>－4时，f′（x）≥0（仅在x＝0处有f′（x）＝0），故函数y＝f（x）在（－∞，－4）上单调递减，在（－4，＋∞）上单调递增．所以x＝－4是函数y＝f（x）的极小值点，故选项A正确．x＝0不是函数y＝f（x）的极值点，故选项B不正确．y＝f（x）在区间（－4，1）上单调递增，故选项C正确．由函数y＝f′（x）的图象可得0＝f′（0）<f′（1），所以y＝f（x）在x＝1处切线的斜率大于零，故选项D正确．故选ACD.

10．答案：ABC

解析：函数f（x）＝x ln （x＋1），则f′（x）＝ln （x＋1）＋＝ln （x＋1）－＋1，可得：f′（x）单调递增，且f′（0）＝0，函数的定义域为（－1，＋∞），所以函数f（x）在区间（－1，0）单调递减，在区间（0，＋∞）单调递增，故A选项正确；且f（x）在x＝0处取得极小值，故B选项正确；C选项中，f′（1）＝ln 2＋，所以在x＝1处的切线斜率为ln 2＋，故C选项正确；D选项中，因为函数的定义域不关于原点对称，所以不具备奇偶性，故D选项错误．

11．答案：BD

解析：由题，f′（x）＝3x2－1，令f′（x）>0得x>或x<－，令f′（x）<0得－<x<，所以f（x）在（－∞，－），（，＋∞）上单调递增，（－，）上单调递减，所以x＝±是极值点，故A错误；因f＝1＋>0，f＝1－>0，f（－2）＝－5<0，所以，函数f（x）在（－∞，－）上有一个零点，当x≥时，f（x）≥f>0，即函数f（x）在（，＋∞）上无零点，综上所述，函数f（x）有一个零点，故B正确；令h（x）＝x3－x，该函数的定义域为R，h（－x）＝（－x）3－（－x）＝－x3＋x＝－h（x），则h（x）是奇函数，（0，0）是h（x）的对称中心，将h（x）的图象向上移动一个单位得到f（x）的图象，所以点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心，故C错误；令f′（x）＝3x2－1＝2，可得x＝±1，又f（1）＝f（－1）＝1，当切点为（1，1）时，切线方程为y＝2x－1，当切点为（－1，1）时，切线方程为y＝2x＋3，故D正确．故选BD.

12．答案：AD

解析：f（x）＝，则f′（x）＝＝，因为ex>0在x∈R恒成立．所以当x>0时，f′（x）<0，f（x）在x∈（0，＋∞）单调递减；当x<0时，f′（x）>0，f（x）在x∈（－∞，0）单调递增；所以f（x）在x＝0处有极大值，没有极小值，故A正确，B错误；

根据f（x）的单调性，画出函数f（x）图象，以及y＝－x＋2的图象，如图：

由此可知，函数f（x）与y＝－x＋2的图象只有一个交点，故C错误；

函数g（x）＝f（x）－有两个零点等价于函数f（x）与y＝图象有两个交点，如图所示：

由此可知，函数f（x）与y＝图象有两个交点，即函数g（x）＝f（x）－有两个零点．故D正确．故选AD.

13．答案：2x－y＝0

解析：由题知f（x）＝ln x＋x＋1，∴f（1）＝2，f′（x）＝＋1，∴f′（1）＝2，∴f（x）＝ln x＋x＋1在（1，f（1））处的切线方程为y＝2（x－1）＋2，即2x－y＝0.

14．答案：2π

解析：f′（x）＝1－cos x＋x sin x，当x∈[0，π]时，f′（x）＝1－cos x＋x sin x≥0，

所以函数f（x）在[0，π]上递增，所以f（x）max＝f（π）＝π＋π＝2π.

15．答案：（－∞，3ln 2）

解析：令g（x）＝f（x）－ln x（x>0），则g′（x）＝f′（x）－＝（x>0），因为xf′（x）－1>0，x>0，所以g′（x）>0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增；又因为g（8）＝f（8）－ln 8＝3ln 2－3ln 2＝0.不等式f（ex）<x，即为f（ex）－ln ex<0，即g（ex）<0，所以ex<8，所以x<ln 8＝3ln 2，所以不等式f（ex）<x的解集为：（－∞，3ln 2）.

16．答案：[，e2]

解析：

由题ae1－x＝eln a＋1－x，原式变形：eln a－ln a≥eln a＋1－x＋ex－e－x，移项且两边同时加1得e（ln a＋1－x）＋1≥eln a＋1－x＋ln a＋1－x，令ln a＋1－x＝t，原式可得et＋1≥et＋t，令f（t）＝et＋t，g（t）＝et＋1，因为g（0）＝f（0）＝1，g（1）＝f（1）＝e＋1，由如图图象可知，当f（t）≤g（t）时，可得t∈[0，1]，故0≤ln a＋1－x≤1，所以x－1≤ln a≤x，因为题目中为存在性命题，且x∈[0，2]，所以－1≤ln a≤2，解得≤a≤e2.