2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测10数列的基本计算

考点过关检测10 数列的基本计算

一、单项选择题

1．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个数列的公比为(　　)

A．    B．C．    D．

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠0，S2＝a4，则＝(　　)

A．1    B．C．    D．

3．[2022·全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　)

A．14    B．12

C．6    D．3

4．[2023·山东青岛二中模拟]已知公差为1的等差数列{an}中，a2、a4、a5成等比数列，若该数列的前n项和Sn＝0，则n＝(　　)

A．10    B．11

C．12    D．13

5．在等比数列{an}中，若a2a9＝8，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝(　　)

A．5    B．10

C．15    D．20

6．[2023·辽宁鞍山一中模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为(　　)

A．17    B．15

C．13    D．11

7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2S3，3S5，4S6成等差数列，则数列{an}的公比q＝(　　)

A．1或－    B．－1或

C．－1或2    D．1或－2

8．[2023·安徽巢湖一中模拟]已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝2n，bn＝2n，现从数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列{cn}，则数列{cn}的前150项之和为(　　)

A．23 804    B．23 946

C．24 100    D．24 612

二、多项选择题

9．设数列{an}为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是(　　)

A．{2an}    B．{a}

C．{2an}    D．{log2|an|}

10．[2023·黑龙江佳木斯一中模拟]已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则下列结论正确的是(　　)

A．|a9|>a8

B．公差d<0

C．当n＝8时Sn最大

D．使Sn>0的n的最大值为16

11．各项均为正数的等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1>1，公比q≠1，下列命题正确的是(　　)

A．若T5＝T9，则必有T7是Tn中最小的项

B．若T5＝T9，则必有T14＝1

C．若T6>T7，则必有T7>T8

D．若T6>T7，则必有T5>T6

12．[2023·山东烟台模拟]已知数列{cn}，对任意的n∈N*都有>cn＋1，则称数列{cn}为“差增数列”，下列结论正确的是(　　)

A．若an＝n2，则数列{an}为差增数列

B．若an＝2n，则数列{an}为差增数列

C．若数列{an}为差增数列，an∈N*，且a1＝a2＝1，m∈N*，am≥742，则m的最小值为39

D．若数列{an}为差增数列，an∈N*，且a1＝1，a2＝2，{an}的前n项和为Sn，当Sn最小时，an＝

[答题区]

三、填空题

13．[2023·河北唐山模拟]记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a1a4＝a5，则an＝________．

14．在数列{an}中，a3＝3，3an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和，则S4＝________．

15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，＝，求＝________．

16．依次将一数列的每相邻两项之积及原数列首尾项(仍为新数列的首尾项)，构造新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，2，2；第2次得到数列1，2，22，2；第3次得到数列1，2，23，23，2；依次构造，第n(n∈N*)次得到数列1，a1，a2，…，ak，2；记bn＝1·a1·a2·…·ak·2，则b4＝________，设数列{bn}的前n项积为Hn，则Hn＝________．

考点过关检测10　数列的基本计算

1．答案：C

解析：由题意可得构成的等比数列为{an}，其公比为q，则a1＝2，an＋2＝6，

所以an＋2＝2qn＋1＝6，解得q＝.

故选C.

2．答案：B

解析：因为{an}为等差数列，所以S2＝a4，

则2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，

所以＝＝＝.

故选B.

3．答案：D

解析：设等比数列{an}的公比为q.由题意知，两式相除，得＝4，解得q＝.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.

4．答案：B

解析：由已知a＝a2a5，

则（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋4），解得a1＝－5，

故Sn＝na1＋＝＝0，因为n∈N*，解得n＝11.

故选B.

5．答案：C

解析：因为a2a9＝8，所以a1a2a3…a10＝85＝215，

所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝log2（a1a2a3…a10）＝15.故选C.

6．答案：A

解析：∵Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，

∴（an－3＋a4）＋（an－2＋a3）＋（an－1＋a2）＋（an＋a1）＝4（a1＋an）＝8，∴a1＋an＝2，

∴Sn＝＝17，解得n＝17.

故选A.

7．答案：A

解析：2S3，3S5，4S6成等差数列，6S5＝2S3＋4S6，

∴6（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）

＝2（a1＋a2＋a3）＋4（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6）

∴6a4＋6a5＝4a4＋4a5＋4a6，

∴4a6－2a5－2a4＝0，∴2q2－q－1＝0，

∴q＝1或－.

故选A.

8．答案：D

解析：因为a150＝300，28＝256<300，29＝512>300，故数列{an}的前150项中包含{bn}的前8项，故数列{cn}的前150项包含{an}的前158项排除与{bn}公共的8项．

记数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，c1＋c2＋…＋c150＝S158－T8＝－＝24 612.

故选D.

9．答案：AB

解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q.

对于A，2an＝2a1qn－1，

所以数列{2an}是公比为q的等比数列；

对于B，a＝aq2n－2＝a（q2）n－1，所以数列{a}是公比为q2的等比数列；

对于C，＝，所以当n≥2时，

，

不是一个非零常数，所以数列{2an}不是等比数列；

对于D，当n≥2时，＝，不是一个非零常数，

所以数列{log2|an|}不是等比数列．

故选AB.

10．答案：ABC

解析：根据等差数列的性质知，

a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0，

又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0，

所以d＝a9－a8<0，B项正确；

又a8＋a9<0，所以a8<－a9＝|a9|，A项正确；

根据a8>0，a9<0，d<0可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当n＝8时Sn最大，C项正确；

S15＝×15＝15a8>0，S16＝×15＝×15<0，所以使Sn>0的n的最大值为15.

故选ABC.

11．答案：BC

解析：正项等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>1，公比q≠1，当T5＝T9时，a6a7a8a9＝1，而a6a9＝a7a8，则a7a8＝1，即aq13＝1，而a1>1，有0<q<1，数列{an}单调递减，因此数列{an}前7项均大于1，从第8项起均小于1，必有T7是Tn中最大的项，A不正确；

由选项A知，T14＝a1a14·a2a13·a3a12·a4a11·a5a10·a6a9·a7a8＝（a7a8）7＝1，B正确；

当T6>T7时，a1q6＝a7<1，而a1>1，则0<q<1，数列{an}单调递减，0<a8<a7<1，有T8＝a8T7<T7，C正确；

因T6＝a6T5，由C选项知，0<q<1，数列{an}单调递减，而a6与1的大小关系不确定，D不正确．

故选BC.

12．答案：ABD

解析：A选项：＝＝n2＋2n＋2＝（n＋1）2＋1>（n＋1）2＝an＋1，则数列{an}为差增数列，A正确；

B选项：＝＝×2n＋1>2n＋1＝an＋1，则数列{an}为差增数列，B正确；

C选项：当a3＝724时，数列{an}满足差增数列，所以m最小值为3，C错；

D选项：当Sn最小时，要求数列{an}的每一项都要最小，又a1＝1，a2＝2，则a3＝4，a4＝7，a5＝11，a6＝16，a7＝21…，整理得a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，a6－a5＝5，a7－a6＝6，所以an－an－1＝n－1，

an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1

＝（n－1）＋（n－2）＋…＋1＋1＝＋1＝，D正确．

故选ABD.

13．答案：3－n

解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），

由得：，

解得：，

∴an＝2－（n－1）＝3－n.

14．答案：40

解析：由题知3an＋1＝an，则＝，

∴数列{an}是以q＝为公比，

a1＝＝27为首项的等比数列，则S4＝＝40.

15．答案：

解析：由题意S2n－1＝＝（2n－1）an，同理T2n－1＝（2n－1）bn，

所以＝，

所以＝＝＝.

16．答案：216　

解析：第四次构造得到的数列为1，2，24，26，24，2，故b4＝216.

因为bn＝1·a1·a2·…·ak·2，所以由数列的构造方式可得bn＋1＝（bn）2，

所以lg bn＋1＝2lg bn，因为lg b1＝2lg 2，

所以数列{lg bn}是首项为2lg 2，公比为2的等比数列，

所以lg bn＝2（lg 2）·2n－1＝2n lg 2＝lg，所以bn＝，

所以Hn＝b1b2…bn＝22··…＝＝2＝－2.