2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测16直线与圆锥曲线

考点过关检测16 直线与圆锥曲线

1．[2023·山东滨州期末]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点P(3，m)(m＞0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点．求△OAB面积的最大值．

2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1，－2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知直线l：y＝－x＋m与抛物线C交于A，B两点，在抛物线C上是否存在点Q，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，且|QM|＝|QN|，若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

3.[2023·辽宁实验中学模拟]已知点A(－2，0)，B(2，0)，Q(2，0)，动点P与点A，B连线的斜率之积为－，过点Q的直线l交点P的轨迹于C，D两点，设直线AC和直线BD的斜率分别为k1和k2，记m＝.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)m是否为定值？若是，请求出该值，若不是，请说明理由．

4．[2022·新高考Ⅱ卷]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.

(1)求C的方程；

(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

考点过关检测16　直线与圆锥曲线

1．解析：(1)由右焦点为F(2，0)，可得c＝2，又离心率为，

∴a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由题可知kPF＝＝m，

∴kAB＝－，

故直线AB为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2，

由，可得(3＋m2)y2－4my－2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，

∴|y1－y2|＝＝＝，

∴△OAB面积为S＝×|OF|×|y1－y2|＝，

令t＝＞1，

∴S＝＝≤＝，当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号，

∴△OAB面积的最大值为.

2．解析：(1)∵平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，设抛物线C：y2＝mx(m≠0)，因为经过点P(1，－2)，所以m＝4，故抛物线的方程为y2＝4x.

(2)如图所示：

由可得y2＋4y－4m＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵Δ＝16＋16m＞0，∴m＞－1，且y1·y2＝－4m，y1＋y2＝－4.

设抛物线C上存在点Q(x0，y0)，使得直线QA，QB分别与y轴交于M，N两点，

且|QM|＝|QN|，则y＝4x0，kQM＋kQN＝0.

kQM＋kQN＝kQA＋kQB＝＋＝＋＝＝0，

∴4(y1＋y2)＋8y0＝0，即y0＝＝2，x0＝＝1，

故存在点Q(1，2)，使得|QM|＝|QN|成立．

3．解析：(1)设点P(x，y)，由题意kPA·kPB＝·＝－，

整理得＋＝1(y≠0).

(2)由题意，直线l斜率不为0.设l：x＝ty＋2，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由得(7t2＋8)y2＋28ty－28＝0，

则y1＋y2＝，y1y2＝，所以y1＋y2＝ty1y2.

m＝＝＝

＝＝

＝＝

＝＝＝3－2，所以m为定值3－2.

4．解析：

(1)由题意可得解得所以C的方程为x2－＝1.

(2)当直线PQ斜率不存在时，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直线PQ斜率存在，所以设直线PQ的方程为y＝kx＋b(k≠0).联立得方程组

消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.

则x1＋x2＝，x1x2＝，x1－x2＝＝.

因为x1>x2>0，所以x1x2＝>0，即k2>3.

所以x1－x2＝.

设点M的坐标为(xM，yM)，则yM－y2＝(xM－x2)，yM－y1＝－(xM－x1)，

两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2).

因为y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，

所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，

解得xM＝.

两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2).

因为y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，

所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2b，

解得yM＝＝xM.

所以点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．

选择①②.

因为PQ∥AB，所以kAB＝k.

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则解得xA＝，yA＝ .

同理可得xB＝，yB＝－ .

此时xA＋xB＝，yA＋yB＝.

因为点M在AB上，且其轨迹为直线y＝x，所以

解得xM＝＝，yM＝＝，

所以点M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.

选择①③.

当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2，0)，此时点M不在直线y＝x上，与题设矛盾，故直线AB的斜率存在．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，则

解得xA＝，yA＝ .

同理可得xB＝，yB＝－ .

此时xM＝＝，yM＝＝.由于点M同时在直线y＝x上，故6m＝·2m2，解得k＝m，因此PQ∥AB.

选择②③.因为PQ∥AB，所以kAB＝k.

设直线AB的方程为y＝k(x－2)，并设点A的坐标为(xA，yA)，点B的坐标为(xB，yB)，

则解得xA＝，yA＝ .

同理可得xB＝，yB＝－ .

设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.

因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)上．

将该直线方程与y＝x联立，解得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，所以点M在直线AB上．