2024版新教材高考数学复习特训卷考点过关检测19离散型随机变量及其分布

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考点过关检测19 离散型随机变量及其分布1．[2022·全国甲卷]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．         2．[2021·新高考Ⅰ卷]某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．           3．某城市为了了解高中生的身高情况，从某次全市高中生体检中抽取了一所学校的n名学生的身高数据，整理分组成区间[140，150]，(150，160]，(160，170]，(170，180]，(180，190]，单位：厘米，并画出了频率分布直方图如图，已知从左到右前三个小组频率之比为2∶3∶4，其中第二小组有15人．(1)求样本频数n的值；(2)以此校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市所有高中学生(人数很多)中任选三人，设X表示身高超过160厘米的学生人数，求X的分布列及期望；(3)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查．数据如下表：  认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计262450试通过计算说明在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．附： α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.         4．[2023·山东济南模拟]数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了n(n∈N＋)件商品．(1)若n＝10，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列；(2)抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2.若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.998 4，求n的最小值．     考点过关检测19　离散型随机变量及其分布1．解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为p＝P(ABC＋BC＋AC＋AB)＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8)＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6.(2)由题意得，X的所有可能取值为0，10，20，30.易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则P(X＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P(X＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06则E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.2．解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.P＝1－0.8＝0.2；P＝0.8＝0.32；P＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.P＝1－0.6＝0.4；P＝0.6＝0.12；P＝0.8×0.6＝0.48.所以E＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．3．解析：(1)设前三个小组的频率分别为p1，p2，p3，由条件得，解得p1＝，p2＝，p3＝，由p2＝＝⇒n＝60.(2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为p＝p3＋(0.005＋0.020)×10＝，X可取0，1，2，3，P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C·＝，P(X＝2)＝C·＝，P(X＝3)＝C＝，故分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(3)χ2＝≈5.059>5.024，查表知P(χ2≥5.024)＝0.025，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系．4．解析：(1)由题意知，X的取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为X015P(2)记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，则P(A)＝1－0.2n－C×0.2n－1×0.8＝1－(1＋4n)·0.2n，由题意，1－(1＋4n)·0.2n≥0.998 4，所以(1＋4n)·0.2n≤0.001 6，即(1＋4n)·0.2n－4≤1，设f(n)＝(1＋4n)·0.2n－4，则f(n＋1)－f(n)＝(5＋4n)·0.2n－3－(1＋4n)·0.2n－4＝－16n·0.2n－3<0，所以f(n＋1)<f(n)，则f(n)递减，因为f(5)＝21×0.2＝4.2>1，f(6)＝25×0.04＝1，所以当n≥6时，f(n)≤1成立，故n的最小值为6.