高中数学初高衔接教材精编版——第5讲 二次函数的最值问题

第五讲 二次函数的最值问题

二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当时，求函数的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量的值．

解：作出函数的图象．当时，，当时，．

【例2】当时，求函数的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当时，，当时，．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

 【例3】当时，求函数的取值范围．

解：作出函数在内的图象．

可以看出：当时，，无最大值．

所以，当时，函数的取值范围是．

【例4】当时，求函数的最小值(其中为常数)．

分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数的对称轴为．画出其草图．

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即时： 当时，；

(2) 当对称轴在所给范围之间．即时：

 当时，；

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：

 当时，．

综上所述：

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量(件)与每件的销售价(元)满足一次函数．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件销售价之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为元，

 那么件的销售利润为，又．

 (2) 由(1)知对称轴为，位于的范围内，另抛物线开口向下

 当时，

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

 A    组

1．抛物线，当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象的顶点在轴上；当= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．求下列二次函数的最值：

 (1) ；   (2) ．

4．求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值．

5．对于函数，当时，求的取值范围．

6．求函数的最大值和最小值．

7．已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？

 B    组

1．已知关于的函数在上．

 (1) 当时，求函数的最大值和最小值；

 (2) 当为实数时，求函数的最大值．

2．函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围．

3．设，当时，函数的最小值是，最大值是0，求的值．

4．已知函数在上的最大值为4，求的值．

5．求关于的二次函数在上的最大值(为常数)．

第五讲 二次函数的最值问题答案

A 组

1．4  14或2，

2．

3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值．

4．当时，；当时，．

5．

6．当时，；当或1时，．

7．当时，．

B 组

1．(1) 当时，；当时，．

   (2) 当时，；当时，．

2．．

3．．

4．或．

5．当时，，此时；当时，，此时．