高中数学初高衔接教材精编版——第4讲 不等式的解法

第四讲 不 等 式

初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．

一、一元二次不等式及其解法

   1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式．

【例1】解不等式．

分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．

解：原不等式可以化为：，

于是：或

所以，原不等式的解是．

说明：当把一元二次不等式化为的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．

 【例2】解下列不等式：

  (1)     (2)

分析：要先将不等式化为的形式，通常使二次项系数为正数．

解：(1) 原不等式可化为：，即

 于是：

 所以原不等式的解是．

 (2) 原不等式可化为：，即

 于是：

 所以原不等式的解是．

2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)．

以二次函数为例：

(1) 作出图象；

(2) 根据图象容易看到，图象与轴的交点是，即当时，．就是说对应的一元二次方程的两实根是．

(3) 当时，，对应图像位于轴的上方．就是说的解是．

　当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是．

一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

(1) 将二次项系数先化为正数；

(2) 观测相应的二次函数图象．

①如果图象与轴有两个交点，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．

那么(图1)：

②如果图象与轴只有一个交点，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ．

那么(图2)：  

       无解

③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ．

那么(图3)：  取一切实数

       无解

如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理：

(1) 化二次项系数为正；

(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)；

(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解．

【例3】解下列不等式：

 (1)   (2)   (3)

解：(1) 不等式可化为  ∴ 不等式的解是

   (2) 不等式可化为  ∴ 不等式的解是

   (3) 不等式可化为．

【例4】已知对于任意实数，恒为正数，求实数的取值范围．

解：显然不合题意，于是：

【例5】已知关于的不等式的解为，求的值．

分析：对应的一元二次方程的根是和，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．

解：由题意得：

说明：本例也可以根据方程有两根和，用代入法得：，，且注意，从而．

二、简单分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

 (1)     (2)

分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．

   (2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数．

解：(1) 解法(一)

    原不等式可化为：

    解法(二)

    原不等式可化为：．

 (2) ∵

    原不等式可化为：

【例7】解不等式

解：原不等式可化为：

 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．

   (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：

三、含有字母系数的一元二次不等式

一元一次不等式最终可以化为的形式．

(1) 当时，不等式的解为：；

(2) 当时，不等式的解为：；

(3) 当时，不等式化为：；

 ① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解．

【例8】求关于的不等式的解．

解：原不等式可化为：

 (1) 当时，，不等式的解为；

 (2) 当时，．

  ① 时，不等式的解为；

  ② 时，不等式的解为；

  ③ 时，不等式的解为全体实数．

 (3) 当时，不等式无解．

综上所述：当或时，不等式的解为；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为全体实数；当时，不等式无解．

练：解不等式（1）   （2）

【例9】已知关于的不等式的解为，求实数的值．

分析：将不等式整理成的形式，可以考虑只有当时，才有形如的解，从而令．

解：原不等式可化为：．

 所以依题意：．

 A    组

1．解下列不等式：

 (1)       (2)  

 (3)      (4)

2．解下列不等式：

 (1)        (2)

 (3)        (4)

3．解下列不等式：

 (1)      (2)

4．已知不等式的解是，求的值．

5．解关于的不等式．

6．已知关于的不等式的解是，求的值．

7．已知不等式的解是，求不等式的解．

 B    组

1．已知关于的不等式的解是一切实数，求的取值范围．

2．若不等式的解是，求的值．

3．解关于的不等式．

4．取何值时，代数式的值不小于0？

5．已知不等式的解是，其中，求不等式的解．

第四讲 不等式答案

A 组

1．

2．

3．(1) 无解  (2) 全体实数

4．．

5．(1)当时，；(2)当时，；(3) 当时，取全体实数．

6．

7．

B 组

1．

2．

3．(1) 时，；(2) 时，无解；(3) 时，．

4．．

5．．