高中数学初高衔接教材精编版——第3讲 一元二次方程

第三讲 一元二次方程根与系数的关系

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．

一、一元二次方程的根的判断式

一元二次方程，用配方法将其变形为：

(1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：

(2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：

(3) 当时，右端是负数．因此，方程没有实数根．

由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：

【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

 (1)   (2)   (3)

解：(1) ，∴ 原方程有两个不相等的实数根．

 (2) 原方程可化为：

    ，∴ 原方程有两个相等的实数根．

 (3) 原方程可化为：

    ，∴ 原方程没有实数根．

说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

练：说出下列各方程的根的情况

（1）    （2）    （3）

【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

 (1) 方程有两个不相等的实数根；   (2) 方程有两个相等的实数根

 (3)方程有实数根；      (4) 方程无实数根．

解：

 (1) ；  (2) ；

 (3) ；  (4) ．

二、一元二次方程的根解法

进一步地，在一元二次方程有实数根的前提下，该实数根具体是多？这就涉及到一元二次方程的根的求法

解法一（因式分解法）若可分解为，

那么由可得从而得到或

【典例】解一元二次方程

解：原方程可化为  故

练：解一元二次方程（1） （2） （3）

解法二（配方法）一元二次方程，用配方法将其变形为：

两边开方即可得到方程的根

【典例】解一元二次方程

解：原方程可化为  即 

故 从而 即

练：解一元二次方程（1） （2） （3）

解法三（公式法）对于一元二次方程，

(1) 当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：

(2) 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：

【典例】解一元二次方程

解：由所以原方程有两个不相等的实数根

所以即

练：解一元二次方程（1） （2） （3）

三、一元二次方程的根与系数的关系

 一元二次方程的两个根为：

 所以：，

 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：

 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．

【例3】若是方程的两个根，试求下列各式的值：

 (1) ； (2) ； (3) ；  (4) ．

分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得：

(1)

(2)

(3)

(4)

说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

练：若是方程的两个根，试求下列各式的值

（1）            （2）        (3) ； 

(3) ；      (4) ；  (5)

A    组

1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )

 A．  B． C．   D．

2．若是方程的两个根，则的值为( )

 A．   B．    C．    D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )

 A．   B．    C．   D．

4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )

 A．  B．   C．   D．大小关系不能确定

5．若实数，且满足，则代数式的值为( )

 A．   B．    C．   D．

6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．

8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．

9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．

10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．

11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．

 (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

 (2) 若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．

 (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？

 (2) 当矩形的对角线长是时，求的值．

B    组

1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

 (1) 求的取值范围；

 (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

 (1) 求实数的取值范围；

 (2) 若，求的值．

第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案

A组

1． B 2． A 3．A 4．A 5．A

6．

7． 3  8． 9或   9．

10．   11．正确   12．4

13．

14．

B组

1．  (2) 不存在

2． (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．

3．(1)  ； (2) ．