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2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷
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这是一份2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷
一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
3．（3分）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
4．（3分）将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
5．（3分）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
6．（3分）已知方方的铅笔数量是圆圆的两倍，若圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，则可列方程为（ ）
A．2x+1＝3（x﹣1） B．2x﹣1＝3（x+1）
C．3（2x﹣1）＝x+1 D．3（2x+1）＝x﹣1
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）如图，AB⊥OA于点A，AB交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，且AC：BC＝1：3，若S△AOB＝4，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
9．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
10．（3分）y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），点（x0，y0）是函数图象上任意一点，（ ）
A．若t＜0，则y0＜﹣（x1﹣x2）2
B．若t≥0，则y0＞﹣（x1﹣x2）2
C．若t＜0，则y0≤﹣（x1﹣x2）2
D．若t≥0，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）说明命题“若x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是 ．
13．（4分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
14．（4分）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 ．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣3）0+tan60°；
（2）化简：+．
18．（8分）为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，A：完全知晓，B：知晓，C：基本知晓，D：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名家长；图2中D选项所对应的圆心角度数为 ；请补齐条形统计图；
（2）已知D选项中男女家长数相同，若从D选项家长中随机抽取2名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长恰好是一男一女的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
20．（10分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
21．（10分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
22．（12分）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：n＞﹣．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：31240000＝3.124×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可．
【解答】解：两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离，
所以l1与l2间的距离是线段 PB 的长度．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离定义是解题的关键．
4．（3分）将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝2x2﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律：上加下减是解题的关键．
5．（3分）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
6．（3分）已知方方的铅笔数量是圆圆的两倍，若圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，则可列方程为（ ）
A．2x+1＝3（x﹣1） B．2x﹣1＝3（x+1）
C．3（2x﹣1）＝x+1 D．3（2x+1）＝x﹣1
【分析】根据方方的铅笔数量是圆圆的两倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，可以得到方方的铅笔为2x只，再根据圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：2x+1＝3（x﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由圆周角定理得∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝40°，再由直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）如图，AB⊥OA于点A，AB交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，且AC：BC＝1：3，若S△AOB＝4，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC＝S△AOB＝1，再根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC＝|k|＝1，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥OA，AC：BC＝1：3，
∴AC：AB＝1：4，
∴S△AOC＝S△AOB＝1，
而S△AOC＝|k|＝1，
又∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积是定值|k|．
9．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
10．（3分）y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），点（x0，y0）是函数图象上任意一点，（ ）
A．若t＜0，则y0＜﹣（x1﹣x2）2
B．若t≥0，则y0＞﹣（x1﹣x2）2
C．若t＜0，则y0≤﹣（x1﹣x2）2
D．若t≥0，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
【分析】将对称轴公式为x＝，代入y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），得到最小值y＝﹣（x1﹣x2）2+t，从而可以得到答案．
【解答】解：对称轴公式为x＝，将其代入y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），
∴y的最小值为a（﹣x1）（﹣x2）+t＝﹣（x1﹣x2）2+t，
∵a＞0，
∴顶点处为最小值，
∵点（x0，y0）是函数图象上任意一点．
∴y0≥﹣（x1﹣x2）2+t，
即A、B选项都不对，
若t≥0时，y0≥﹣（x1﹣x2）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）说明命题“若x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是 ﹣3（答案不唯一） ．
【分析】当x＝﹣3时，满足x＞﹣4，但不能得到x2＞16，于是x＝﹣3可作为说明命题“x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝﹣3．
故答案为﹣3，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．（4分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
【分析】判断平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据概率的意义求解即可．
【解答】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这5个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、圆共3个，
因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的意义，平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，理解概率的意义，掌握平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，是正确解答的前提．
14．（4分）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 8或2 ．
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝10求出半径OA的长，再根据垂径定理求出AM的长，然后根据勾股定理求出OM的长，分两种情况求出DM即可．
【解答】解：①连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径CD＝10，
∴OA＝5，
∵弦AB＝8，AB⊥CD，
∴AM＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，
∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；
②连接OA，如图所示：
同①得：OM＝3，
∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；
综上所述，DM的长为8或2，
故答案为：8或2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论．
15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 ．
【分析】延长NF交CD于点H，利用折叠性质得出∠A＝∠DFH，从而判断NH⊥CD，再设出DM，分别表示出各个线段的长度即可求解．
【解答】解：如图，延长NF交CD于点H，
∵EF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠FDH＝90°，
∵四边形AMNB沿MN翻折，
∴∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，AB＝EF，AM＝EM，
∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝∠DFH，
∴∠DFH+∠FDH＝90°，
∴∠DHF＝90°，
∴NH⊥CD，
设DM＝4k，
∵tanA＝，
∴tanE＝，
∴DE＝3k，EM＝5k，
∴CD＝AD＝AM+DM＝EM+DM＝9k，DF＝EF﹣DE＝AD﹣DE＝6k，
∵tan∠DFH＝tanA＝，
∴sin∠DFH＝，
∴DH＝k，
∴CH＝CD﹣DH＝k，
∵cosC＝cosA＝，
∴CN＝7k，
∴BN＝BC﹣CN＝2k，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出NH⊥CD．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣3）0+tan60°；
（2）化简：+．
【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1+
＝1．
（2）原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的加减运算、绝对值的性质、零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
18．（8分）为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，A：完全知晓，B：知晓，C：基本知晓，D：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 50 名家长；图2中D选项所对应的圆心角度数为 28.8° ；请补齐条形统计图；
（2）已知D选项中男女家长数相同，若从D选项家长中随机抽取2名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出共调查的家长人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取家长恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）共调查的家长人数为：11÷22%＝50（名），
∴B的人数为：50×40%＝20（名），
∴D的人数为：50﹣11﹣20﹣15＝4（名），
∴图2中D选项所对应的圆心角度数为：360°×＝28.8°，
故答案为：50，28.8°，
补齐条形统计图如下：
（2）由题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取家长恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取家长恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
【分析】（1）证出∠BAD＝∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（10分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
【分析】（1）根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），可以求得m的值；
（2）①根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，得到关于m的不等式组，从而求得m的取值范围；
②根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限得出1﹣2m＞0，再根据一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过点P（2，0），
∴0＝（1﹣2m）×2+m+1，
解得，m＝1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得，﹣1＜m＜；
②∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21．（10分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解决本题的关键．
22．（12分）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：n＞﹣．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用已知条件可得方程（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，则Δ＝0，解含有b的方程即可得出结论；
（3）由题意可得当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，列出不等式即可得出结论．
【解答】（1）解：∵函数y1的图象经过点（1，0），
∴（1﹣a）2+a﹣1＝0，
解得：a＝0或1，
∴函数y1的表达式为y1＝x2﹣1或﹣2x+1；
（2）解：∵若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴方程（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
∴x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
解得：b＝﹣；
（3）证明：∵x0＞2a，
∴＞a，
∵抛物线的对称轴为直线x＝a，抛物线开口方向向上，
∴x＝0和x＝2a时的函数值相同，
∴由图象可知当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，
即：n＞a2+a﹣1，
∵，
∴a2+a﹣1≥﹣，
∴n＞﹣．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，抛物线的解析式与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；
（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，
（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：连接AC，BC，
∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
（3）解：∵△CAG∽△FAC，
∴＝，
∴AC2＝AG•AF＝48，
∴AC＝4，
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，
∴AE＝＝6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴AB＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点评】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷
一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
3．（3分）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
4．（3分）将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
5．（3分）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
6．（3分）已知方方的铅笔数量是圆圆的两倍，若圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，则可列方程为（ ）
A．2x+1＝3（x﹣1） B．2x﹣1＝3（x+1）
C．3（2x﹣1）＝x+1 D．3（2x+1）＝x﹣1
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）如图，AB⊥OA于点A，AB交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，且AC：BC＝1：3，若S△AOB＝4，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
9．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
10．（3分）y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），点（x0，y0）是函数图象上任意一点，（ ）
A．若t＜0，则y0＜﹣（x1﹣x2）2
B．若t≥0，则y0＞﹣（x1﹣x2）2
C．若t＜0，则y0≤﹣（x1﹣x2）2
D．若t≥0，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ ．
12．（4分）说明命题“若x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是 ．
13．（4分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
14．（4分）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．
15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 ．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣3）0+tan60°；
（2）化简：+．
18．（8分）为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，A：完全知晓，B：知晓，C：基本知晓，D：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 名家长；图2中D选项所对应的圆心角度数为 ；请补齐条形统计图；
（2）已知D选项中男女家长数相同，若从D选项家长中随机抽取2名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长恰好是一男一女的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
20．（10分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
21．（10分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
22．（12分）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：n＞﹣．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
2022年浙江省杭州市西湖区三墩中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2022的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．2022 D．﹣2022
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】解：2022的倒数是，
故选：B．
【点评】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
2．（3分）截至2021年2月3日24时，全国累计报告重点人群接种新冠病毒疫苗31240000剂次，则数据31240000用科学记数法表示为（ ）
A．3.124×106 B．3.124×107 C．31.24×106 D．0.3124×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：31240000＝3.124×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）如图，直线l1∥l2，其中P在l1上，A、B、C、D在l2上，且PB⊥l2，则l1与l2间的距离是（ ）
A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度
【分析】根据平行线之间的距离定义解答即可．
【解答】解：两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离，
所以l1与l2间的距离是线段 PB 的长度．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离定义是解题的关键．
4．（3分）将二次函数图象y＝2x2向下平移3个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ）
A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x+3）2 D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝2x2﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律：上加下减是解题的关键．
5．（3分）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关．
故选：A．
【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．
6．（3分）已知方方的铅笔数量是圆圆的两倍，若圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，则可列方程为（ ）
A．2x+1＝3（x﹣1） B．2x﹣1＝3（x+1）
C．3（2x﹣1）＝x+1 D．3（2x+1）＝x﹣1
【分析】根据方方的铅笔数量是圆圆的两倍，设圆圆原本的铅笔数量为x只，可以得到方方的铅笔为2x只，再根据圆圆拿出1只铅笔给方方，则方方的铅笔数量是圆圆的3倍，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：2x+1＝3（x﹣1），
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由圆周角定理得∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝40°，再由直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝40°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．（3分）如图，AB⊥OA于点A，AB交反比例函数y＝（x＜0）的图象于点C，且AC：BC＝1：3，若S△AOB＝4，则k＝（ ）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【分析】连接OC，如图，利用三角形面积公式得到S△AOC＝S△AOB＝1，再根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOC＝|k|＝1，然后利用反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥OA，AC：BC＝1：3，
∴AC：AB＝1：4，
∴S△AOC＝S△AOB＝1，
而S△AOC＝|k|＝1，
又∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的三角形的面积是定值|k|．
9．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠EAD＝α，∠ACB＝β，则∠B的度数为（ ）
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【分析】先根据等腰三角形的性质，用β的代数式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代数式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可表示出∠B的度数．
【解答】解：由题意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，
＝2α﹣β．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点．解决本题的关键是熟练掌握和运用等腰三角形的性质．
10．（3分）y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），点（x0，y0）是函数图象上任意一点，（ ）
A．若t＜0，则y0＜﹣（x1﹣x2）2
B．若t≥0，则y0＞﹣（x1﹣x2）2
C．若t＜0，则y0≤﹣（x1﹣x2）2
D．若t≥0，则y0≥﹣（x1﹣x2）2
【分析】将对称轴公式为x＝，代入y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），得到最小值y＝﹣（x1﹣x2）2+t，从而可以得到答案．
【解答】解：对称轴公式为x＝，将其代入y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）+t（a＞0），
∴y的最小值为a（﹣x1）（﹣x2）+t＝﹣（x1﹣x2）2+t，
∵a＞0，
∴顶点处为最小值，
∵点（x0，y0）是函数图象上任意一点．
∴y0≥﹣（x1﹣x2）2+t，
即A、B选项都不对，
若t≥0时，y0≥﹣（x1﹣x2）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：a3﹣a＝ a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故答案为：a（a+1）（a﹣1）
【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）说明命题“若x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是 ﹣3（答案不唯一） ．
【分析】当x＝﹣3时，满足x＞﹣4，但不能得到x2＞16，于是x＝﹣3可作为说明命题“x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例．
【解答】解：说明命题“x＞﹣4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝﹣3．
故答案为﹣3，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
13．（4分）如果在五张完全相同的卡片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于 ．
【分析】判断平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中既是轴对称图形又是中心对称图形，再根据概率的意义求解即可．
【解答】解：在平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆这5个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、圆共3个，
因此从平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆中任意抽取一个，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的意义，平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，理解概率的意义，掌握平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、圆的对称性，是正确解答的前提．
14．（4分）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 8或2 ．
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝10求出半径OA的长，再根据垂径定理求出AM的长，然后根据勾股定理求出OM的长，分两种情况求出DM即可．
【解答】解：①连接OA，如图所示：
∵⊙O的直径CD＝10，
∴OA＝5，
∵弦AB＝8，AB⊥CD，
∴AM＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM＝＝＝3，
∴DM＝OD+OM＝5+3＝8；
②连接OA，如图所示：
同①得：OM＝3，
∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2；
综上所述，DM的长为8或2，
故答案为：8或2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键，注意分类讨论．
15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 ．
【分析】延长NF交CD于点H，利用折叠性质得出∠A＝∠DFH，从而判断NH⊥CD，再设出DM，分别表示出各个线段的长度即可求解．
【解答】解：如图，延长NF交CD于点H，
∵EF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠FDH＝90°，
∵四边形AMNB沿MN翻折，
∴∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，AB＝EF，AM＝EM，
∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝∠DFH，
∴∠DFH+∠FDH＝90°，
∴∠DHF＝90°，
∴NH⊥CD，
设DM＝4k，
∵tanA＝，
∴tanE＝，
∴DE＝3k，EM＝5k，
∴CD＝AD＝AM+DM＝EM+DM＝9k，DF＝EF﹣DE＝AD﹣DE＝6k，
∵tan∠DFH＝tanA＝，
∴sin∠DFH＝，
∴DH＝k，
∴CH＝CD﹣DH＝k，
∵cosC＝cosA＝，
∴CN＝7k，
∴BN＝BC﹣CN＝2k，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出NH⊥CD．
三、解答题（本题有7小题，共66分）
17．（6分）（1）计算：|﹣2|﹣（π﹣3）0+tan60°；
（2）化简：+．
【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣1+
＝1．
（2）原式＝
＝1．
【点评】本题考查分式的加减运算、绝对值的性质、零指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
18．（8分）为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，A：完全知晓，B：知晓，C：基本知晓，D：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）共调查了 50 名家长；图2中D选项所对应的圆心角度数为 28.8° ；请补齐条形统计图；
（2）已知D选项中男女家长数相同，若从D选项家长中随机抽取2名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出共调查的家长人数，即可解决问题；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取家长恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）共调查的家长人数为：11÷22%＝50（名），
∴B的人数为：50×40%＝20（名），
∴D的人数为：50﹣11﹣20﹣15＝4（名），
∴图2中D选项所对应的圆心角度数为：360°×＝28.8°，
故答案为：50，28.8°，
补齐条形统计图如下：
（2）由题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取家长恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽取家长恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
【分析】（1）证出∠BAD＝∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（10分）已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1；
（1）若一次函数图象经过点P（2，0），求m的值；
（2）若一次函数的图象经过第一、二、三象限；
①求m的取值范围；
②若点M（a﹣1，y1），N（a，y2），在该一次函数的图象上，比较y1和y2大小．
【分析】（1）根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1图象经过点P（2，0），可以求得m的值；
（2）①根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，得到关于m的不等式组，从而求得m的取值范围；
②根据一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限得出1﹣2m＞0，再根据一次函数的性质，可以判断y1和y2的大小关系．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过点P（2，0），
∴0＝（1﹣2m）×2+m+1，
解得，m＝1，
即m的值是1；
（2）①∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴，
解得，﹣1＜m＜；
②∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、三象限，
∴1﹣2m＞0，
∴该函数y随x的增大而增大，
∵点M（a﹣1，y1），N（a，y2）在该一次函数的图象上，a﹣1＜a，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
21．（10分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解决本题的关键．
22．（12分）在平面直角坐标系内，二次函数y1＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y1的图象经过点（1，0），求函数y1的表达式；
（2）若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，求b的值；
（3）已知（x0，n）（x0＞0）在函数y1的图象上，当x0＞2a时，求证：n＞﹣．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用已知条件可得方程（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，则Δ＝0，解含有b的方程即可得出结论；
（3）由题意可得当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，列出不等式即可得出结论．
【解答】（1）解：∵函数y1的图象经过点（1，0），
∴（1﹣a）2+a﹣1＝0，
解得：a＝0或1，
∴函数y1的表达式为y1＝x2﹣1或﹣2x+1；
（2）解：∵若y1的图象与一次函数y2＝x+b（b为常数）的图象有且仅有一个交点，
∴方程（x﹣a）2+a﹣1＝x+b有两个相等的实数根，
∴x2﹣（2a+1）x+a2+a﹣b﹣1＝0，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4（a2+a﹣b﹣1）＝0，
解得：b＝﹣；
（3）证明：∵x0＞2a，
∴＞a，
∵抛物线的对称轴为直线x＝a，抛物线开口方向向上，
∴x＝0和x＝2a时的函数值相同，
∴由图象可知当x＝0时的函数值小于当x＝x0时的函数值，
即：n＞a2+a﹣1，
∵，
∴a2+a﹣1≥﹣，
∴n＞﹣．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，抛物线的解析式与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD＝∠FGC；
（2）求证：△CAG∽△FAC；
（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；
（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，
（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴AC＝AD，
∴∠3＝∠ADC，
∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠ADC，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；
（2）解：连接AC，BC，
∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，
∴∠FCG＝∠DAG，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADG＝∠F，
∵∠ADG＝∠ACG，
∴∠ACG＝∠F，
∵∠CAG＝∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
（3）解：∵△CAG∽△FAC，
∴＝，
∴AC2＝AG•AF＝48，
∴AC＝4，
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，
∴AE＝＝6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC2＝AE•AB，
∴AB＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点评】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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