湖北省黄冈中学2015-2016学年上学期高二期末考试数学理试卷

这是一份湖北省黄冈中学2015-2016学年上学期高二期末考试数学理试卷，共13页。试卷主要包含了已知向量，且与互相垂直，则，“若或，则”的否命题为等内容，欢迎下载使用。
湖北省黄冈中学2015-2016上学期高二期末试卷数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选20人参加志愿活动，某男生被抽到的概率为A．          B．            C．           D．【答案】C【解析】2．已知为平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件               B．必要不充分条件 C．充分必要条件                 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，或与相交.3．已知向量，且与互相垂直，则A．1            B．             C．           D．【答案】D【解析】,因为与互相垂直，所以，解得    4．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中，变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s. 变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是 A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)      B．直线l1和l2有公共点(s，t) C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行       D．直线l1和l2必定重合【答案】B【解析】线性回归直线方程过点.5．“若或，则”的否命题为A．若或，则          B．若且，则     C．若或，则          D．若且，则【答案】D【解析】否命题:条件和结论都否定.6．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1,F2. P是两曲线的一个交点，则的值为   A．3              B．             C．16           D．21【答案】D【解析】7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数（满分10分）茎叶图如右：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A．       B．       C．      D．【答案】D【解析】,8．已知、分别是椭圆的左、右焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为     A．           B．         C．        D．【答案】C【解析】设P为中点，在正三角形中，所以所以9．某人有5把钥匙，其中2把能打开门.现随机取钥匙试着开门，不能开门就扔掉.则恰好在第3次才能开门的概率为     A．            B．           C．            D．【答案】B【解析】10．已知双曲线的一条渐近线方程为.、分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线右支交于A，B两点. 若，则△的周长为     A．18           B．26             C．28           D．36【答案】C【解析】因为渐近线方程为，所以双曲线的方程为.△的周长为11．如图，△ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD.M为平面ABCD内的一动点，且满足MP=MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为（O为正方形ABCD的中心）                                                       A．           B．           C．           D．【答案】A【解析】在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α,平面α与平面ABCD有一个公共点D，则它们有且只有一条过该点的公共直线．取特殊点B，可排除选项B，故选A. 12. 如图，正四面体的顶点在平面内，且直线与平面所成的角为，顶点在平面上的射影为点.当顶点与点的距离最大时，直线与平面所成角的正弦值等于 A.                  B.       C.                 D. 【答案】C【解析】∵四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，∴O、B、A、C四点共面，设此平面为β，∵BO⊥α，BO⊂β，∴β⊥α.  过D作DH⊥平面ABC，垂足为H，设正四面体ABCD的棱长为1，则Rt△HCD中，，∵BO⊥α，直线BC与平面α所成角为45°，∴∠BCO = 45°，结合∠HCB = 30°得∠HCO = 75°，因此，H到平面α的距离等于HCsin75° = ，过D作DE⊥α于E，连结CE，则∠DCE就是直线CD与平面α所成角，∵DH⊥β，α⊥β且DHα，∴DH∥α，由此可得点D到平面α的距离等于点H到平面α的距离，即DE = ，∴Rt△CDE中，sin∠DCE = ，即直线CD与平面α所成角的正弦值等于.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．阅读如图所示的程序，当输入，时，输出       【答案】2468【解析】.14．在半径为的圆周上任取两点，则的概率为          【答案】【解析】如图，选定点A后，以A为正六边形的一个顶点作圆的内接正六边形，则正六边形的边长为半径，当B点落在劣弧上时，有，则所求概率为.15．已知三棱锥的底面为以AB斜边的等腰直角三角形，，设四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 【答案】【解析】如图，设AB的中点为D，连接SD.△是以AB为斜边的等腰直角三角形，面ABC，且SD上任意一点到面ABC的距离都相等，从而点O在SD上.设，则，由，解得.16．已知是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，.当△APF周长最小时，该三角形的面积为       【答案】3【解析】设左焦点为，右焦点为.△APF周长为，当且仅当三点共线，即P位于时，三角形周长最小.此时直线的方程为，代入中，可求得.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50), [50,60),… [80,90), [90,100].  （Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该企业的职工对该部门评分的平均值；  （Ⅱ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.【解析】（Ⅰ）.（Ⅱ）由频率分布直方图可知：在内的人数为（人），在内的人数为（人），设内的两人分别为；内的三人为则从的受访职工中随机抽取2人，基本事件有共10种；其中2人评分都在[40,50)内的基本事件有共1种..所以所求的概率为.18．（本小题满分12分）已知命题，，.  （Ⅰ）若为假命题，求实数a的取值范围；  （Ⅱ）若是的必要不充分条件，求m的取值范围.【解析】①，不满足题意；②，显然成立；③，即综上①②③可知为真或；【也可以从反面考虑，即为假，为真，即，①，满足题意；②，即综上①②可知为真从而，为真或】；或.（Ⅰ）若为真命题，则均为真命题，即为假，为真.即；则当为假命题时，或.（Ⅱ）“是的必要不充分条件”“是的必要不充分条件”令，，即，所以或即或19．（本小题满分12分）在棱长为1的正方体中，分别为和的中点.（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）若点P在正方形ABCD内部及边界上，且平面，求的最小值.【解析】以D为坐标原点，以分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系. 则.（Ⅰ）由图可取面的一个法向量；，设面的法向量为，则，可取.所以，即二面角的余弦值为.（Ⅱ）因为P在正方形ABCD内部及边界上，所以可设，则.因为平面，所以，即，所以，，所以，当时，.20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，准线为l，准线l与坐标轴交于点M.过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，且.  （Ⅰ）求抛物线的标准方程；  （Ⅱ）若点P为该抛物线上的动点，求的最小值.【解析】（Ⅰ）由题可知，焦点F，准线为l：，点M .设直线AB的方程为，联立，消去x可知，.所以解得，所以抛物线的标准方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F，M .设P，则令（时取等号），即有最大值，此时有最小值，且.   综上：的最小值为.21．（本小题满分12分）如图，在梯形中，，点在平面上的射影为点，且，二面角为.  （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；  （Ⅱ）若，求三棱锥的体积.      解：（Ⅰ）方法1：∵，∴点在平面上的射影在线段的中垂线上.设的中点为，连接，∴，∴为二面角的平面角，∴.     在等腰△中，∵，∴.又，∴.在△中，得. 以为原点，分别以平行于，的直线为轴、轴建立空间直角坐标系，则，，∴，.∵轴，故可取一个的平行向量.设平面的法向量是，则 即取.   ∴直线与平面所成角满足，∴直线与平面所成角为.  方法2：过点作，垂足为，连接.过作，垂足为，连接．平面，∴．，∴平面．又平面，∴，又，∴平面．∴就是与平面所成角．∵，∴点在平面上的射影在线段的中垂线上，设的中点为，连接，∴，∴为二面角的平面角，∴.在等腰△中，∵，∴，又，∴.在△中，得，∴.又，，在△中，可得. ∴，∴．∴直线与平面所成角为．   （Ⅱ）设，则，连接.在△中，,又由（Ⅰ）得，， ∴，∴．在△中,，又，∴,得，即.∴三棱锥的体积. 22．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为.过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若，求直线的斜率.【解析】（Ⅰ）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以  ①. 又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，  ②.联立①②得，故的方程为.（Ⅱ）如图，设 因与同向，且，所以，从而，即，于是 ③.设直线的斜率为，则的方程为，由得，由是这个方程的两根， ④.由得，而是这个方程的两根，，⑤.将④、⑤代入③，得，即，所以，解得，即直线的斜率为.