湖北省黄冈市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题

黄冈市2013年春高一期末考试数学试题

一、选择题（10*5=50分）

1．过点且与直线垂直的直线方程是（   ）

A．   B．    C．   D．

2．设，给出下列三个结论：①；②；③，其中所有的正确结论的序号是（   ）

A．①       B．①②     C．②③     D．①②③

3．已知不等式的解集是 ，不等式的解集是，不等式的解集是，那么(   )

A．      B．       C．      D．

4．在中，角的对边为，且，则此三角形为（   ）

A．等腰三角形                  B．直角三角形  

C．等腰三角形或直角三角形      D．等腰直角三角形

5．等比数列前项，前项，前项的和分别为，则（   ）

A．      B．    C．     D．

6． 已知变量满足约束条件， 则的最大值为（  ）

A．16     B．32      C．4       D．2

7． 已知数列满足， 则该数列前2013项的和等于（   ）

A．1340    B．1341     C．1342     D．1343

8． 设为三条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是（   ）

(1)若，则；          (2) 若，则；

(3)若，则；    (4) 若,则．

 A． 1      B．  2       C．  3        D．  4 

9． 一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（   ）

A．    B．      C．      D．

10． 曲线与直线有二个交点，则的取值范围是（  ）

A．或     B．       C．或      D．

二、填空题（5*5=25分）

11． 已知实数满足 ,那么的最小值为_______；

12．一个直径为厘米的园柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高厘米，则此球的半径为________厘米；

13．在中，，则_______；

14．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是_____；它的外接球的体积是_____；

15．将正奇数排列如下表（第行共个奇数），其中第行第个数表示为．例如,若,则_______．

三、解答题（共6题）

16．（本小题12分）已知两定点，直线过原点，且，点（在第一象限）和点都在上，且，如果和的交点在轴上，求点的坐标。

17．（本小题12分）已知为等比数列，其前项和为，且

（1）求的值及数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

18．（本小题12分）设中的内角所对的边分别为且．

（1）当 时，求角的度数；

（2）求面积的最大值．

19．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点。已知．求:

（1）的面积；

（2）异面直线与所成的角的大小；

（3）求三棱锥的体积．

20．（本小题13分）围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，（利用的旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元 ，设利用的旧墙的长度为,修建此矩形场地围墙的总费用为元。

（1）将表示为的函数；

（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小？并求出最小总费用．

21．（本小题14分）已知函数，且的图像经过点，，数列为等差数列；

（1）求数列的通项公式；

（2）当为奇数时，设，是否存在自然数和，使得不等式恒成立？若存在，求出的最小值 ；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、   CDCCD  BCAAA

二、11.      12。12    13.       14.       15.62

17.解：（Ⅰ）当时，.

当时，.……………………………………………3分

因为是等比数列，

所以，即.

所以数列的通项公式为.…………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.

则.            ①

.  ②

①-②得

.

所以.………………………………………………12分

18.解：（Ⅰ）因为，所以.              

因为，，由正弦定理可得.  …………………4分

因为，所以是锐角，

所以.                                    ……………………6分

（Ⅱ）因为的面积，            ……………………7分

所以当最大时，的面积最大.

因为，所以.   ……………………9分

因为，所以，         

所以，（当时等号成立）

所以面积的最大值为.  ……………………12分

（3）由（1）知AD⊥平面PAB，EF⊥平面PAB, EF=

VP-ABE= VE-PAB=22=

20.解 (1)设矩形的另一边长为m，则，由已知得，得.所以.……………6分

(2) .当且仅当时，等号成立.即当，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. ……………13分

21．（本小题满分14分）

解：（I）由题意得……………………1分

    令

    令   

    设等差数列{an}的公差为d，则……3分

                            ……………………4分

易知：使恒成立的m的最大值为0，M的最小值为2，

M-m的最小值为2。               ……………14分