【解析版】湖北省黄冈中学2012-2013学年高一（下）期中数学试卷（文科）

这是一份【解析版】湖北省黄冈中学2012-2013学年高一（下）期中数学试卷（文科），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2012-2013学年湖北省黄冈中学高一（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置．）
1．（5分）等差数列{an}中，已知a1=3，an=21，d=2，则n=（　　）
　
A．
9
B．
10
C．
11
D．
8

考点：
等差数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n的值．
解答：
解：在等差数列{an}中，由a1=3，an=21，d=2，
且an=a1+（n﹣1）d，所以，
所以n=10．
故选B．
点评：
本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题．
　
2．（5分）在△ABC中，已知a=2，c=，B=，则△ABC的面积为（　　）
　
A．

B．
3
C．

D．


考点：
三角形的面积公式．
专题：
计算题．
分析：
根据三角形的面积公式S=进行计算即可．
解答：
解：∵在△ABC中，已知a=2，c=，B=，
则△ABC的面积为S═==，
故选C．
点评：
本题考查了三角形的面积公式，考查计算能力，属于基础题．
　
3．（5分）sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
两角和与差的余弦函数．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
把所给的式子先提取一个负号，再逆用两角和的余弦公式化为﹣cos60°，从而求得结果．
解答：
解：sin34°sin26°﹣cos34°cos26°=﹣（﹣sin34°sin26°+cos34°cos26°）=﹣cos（34°+26°）=﹣cos60°=﹣，
故选B．
点评：
本题主要考查两角和的余弦公式的逆用，属于基础题．
　
4．（5分）已知{an}是等比数列，则下列数列中也一定是等比数列的是（　　）
　
A．
{an+C}（其中C为常数）
B．

　
C．
{anbn}（其中{bn}为常数数列）
D．


考点：
等比关系的确定．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用等比数列的定义，逐一判断，即可得到结论．
解答：
解：对于A，{an+C}（其中C为常数）可能有项为0，故不一定是等比数列；
对于B，利用等比数列的定义，可知{}的公比是原来公比的倒数，故成立；
对于C，{bn}为常数数列，各项均为0时，不成立；
对于D，∵÷=不一定为常数，故不一定是等比数列，
故选B．
点评：
本题考查等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
5．（5分）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（　　）
　
A．
等腰三角形
B．
直角三角形
　
C．
等腰直角三角形
D．
等腰或直角三角形

考点：
三角形的形状判断．
专题：
计算题．
分析：
利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．
解答：
解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，
则△ABC为等腰或直角三角形．
故选D
点评：
此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．
　
6．（5分）若sin74°=m，则cos8°=（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
半角的三角函数．
专题：
三角函数的求值．
分析：
利用诱导公式可得 sin74°=m=cos16°，再由半角公式可得cos8°=，由此可得结论．
解答：
解：∵sin74°=m=cos16°，
∴cos8°==，
故选C．
点评：
本题主要考查半角公式、诱导公式的应用，属于中档题．
　
7．（5分）等比数列的前2项和，前4项和，前6项的和分别为S，T，R，则（　　）
　
A．
S2+T2=S（T+R）
B．
T2=SR
C．
（S+T）﹣R=T2
D．
S+T=R

考点：
等比数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意，S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入条件，即可求得结论．
解答：
解：∵每相邻两项的和也成等比数列，
∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列
即S，T﹣S，R﹣T成等比数列
∴（T﹣S）2=S（R﹣T）
整理得S2+T2=S（T+R）
故选：A．
点评：
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．
　
8．（5分）同步通讯卫星C在赤道上空3R（R为地球半径）的轨道上，它每24小时绕地球一周，所以它定位于赤道上某一点的上空．如果此点与某地A（北纬60°）在同一条子午线上，则在A观察此卫星的仰角的正切值为（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
与圆有关的比例线段．
专题：
计算题．
分析：
先过点A作圆的切线交BC于D，得到在A观察此卫星的仰角，再在三角形ABC中利用余弦定理求出角BAC的余弦值，再利用三角函数的同角公式得出其正切值，最后利用诱导公式即可求出仰角的正切值．
解答：
解：过点A作圆的切线交BC于D，则在A观察此卫星的仰角就是∠CAD．
在三角形ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=R2+（4R）2﹣2R•4R×=13R2，
∴cos∠BAC===﹣
∴tan∠BAC=﹣2，
则在A观察此卫星的仰角的正切值为tan∠CAD=tan（∠BAC﹣90°）=﹣=．
故选A．

点评：
本题主要考查了与圆有关的比例线段，考查了切线的性质，以及解三角形等基本知识，属于基础题．
　
9．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点．设∠BCP=α，∠DCQ=β，若△APQ的周长为2，则α+β=（　　）

　
A．
15°
B．
30°
C．
45°
D．
60°

考点：
两角和与差的正弦函数．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
延长AB，作BE=DQ，连接CE，则△CDQ≌△CBE，再证明△QCP≌△ECP，即可得到结论．
解答：
解：延长AB，作BE=DQ，连接CE，则△CDQ≌△CBE
∴∠DCQ=∠BCE，DQ=BE，CQ=CE
∴∠QCE=∠BCE+∠BCQ=∠DCQ+∠BCQ=90°
设DQ=x，BP=y，则AQ=a﹣x，AP=a﹣y，PE=DQ+PB=x+y，
PQ=△APQ周长﹣AQ﹣AP=2a﹣（a﹣x）﹣（a﹣y）=x+y
∴△QCP≌△ECP （SSS）
∴∠QCP=∠PCE，
∴∠QCP==45°
∴α+β=45°
故选；C．

点评：
本题考查三角形的全等，考查学生分析问题的能力，属于中档题．
　
10．（5分）下列命题中正确的是（　　）
①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；
②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；
③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；
④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．
　
A．
①②
B．
②③
C．
②④
D．
③④

考点：
命题的真假判断与应用；等差数列的性质；等比数列的性质．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；
②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…为等差数列；
③利用等比数列an=（﹣1）n，判断选项是否正确；
④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．
解答：
解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an=as+at，故错；
②设等差数列an的首项为a1，公差为d，
则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，
同理：S3n﹣S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，
∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），
∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，此选项正确；
③设an=（﹣1）n，则S2=0，S4﹣S2=0，S6﹣S4=0，
∴此数列不是等比数列，此选项错；
④因为an=Sn﹣Sn﹣1=（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）=Aqn﹣Aqn﹣1=（Aq﹣1）×qn﹣1，
所以此数列为首项是Aq﹣1，公比为q的等比数列，则Sn=，
所以B=，A=﹣，∴A+B=0，故正确；
故选C．
点评：
本题考查等差数列与等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置．）
11．（5分）2sin15°cos15°=　　．

考点：
二倍角的正弦．
专题：
三角函数的求值．
分析：
根据式子的特点直接代入倍角的正弦公式求解即可．
解答：
解：原式=sin30°=，
故答案为：．
点评：
本题考查了倍角的正弦公式简单应用，属于基础题．
　
12．（5分）若三个数成等差数列，则m=　5　．

考点：
等差数列的通项公式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
直接由三个数成等差数列，利用等差中项的概念求解m的值．
解答：
解：因三个数成等差数列，
所以．
故答案为5．
点评：
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差中项的概念，是基础的运算题．
　
13．（5分）=　　．

考点：
数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
利用“裂项求和”，即可得出．
解答：
解：∵，
∴原式=…+=．
故答案为．
点评：
熟练掌握“裂项求和”法是解题的关键．
　
14．（5分）在△ABC中，已知，则C=　或　．

考点：
正弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
由A的度数求出sinA的值，再有a，c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可求出C的度数．
解答：
解：∵a=5，c=10，A=，
∴由正弦定理=得：sinC==，
∵c＞a，∴C＞A，
则C=或．
故答案为：或
点评：
此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
　
15．（5分）函数y=sin2x+2sin2x的对称轴方程为x=　　．

考点：
正弦函数的对称性；同角三角函数基本关系的运用．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
依据三角恒等变换，将三角函数整理为，再令，解出x即为所求．
解答：
解：由于函数y=sin2x+2sin2x=sin2x+1﹣cos2x=，
而函数y=sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y=sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为
点评：
本题考察三角恒等变换及三角函数的性质，属于基础题．
　
16．（5分）如图，一艘轮船B在海上以40nmile/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为120°的方向航行，此时轮船B的正南方有一座灯塔A．已知AB=400nmile，则轮船B航行　5　h时距离灯塔A最近．


考点：
解三角形的实际应用．
专题：
解三角形．
分析：
过A作垂线，垂足为C，则AC为最近距离，利用三角函数可得结论．
解答：
解：如图所示，过A作垂线，垂足为C，则AC为最近距离，
∵∠B=60°，AB=400nmile
∴BC=ABcos60°=200nmile，
∴t==5h，
故答案为：5．

点评：
本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于基础题
　
17．（5分）观察以下各等式：
，
，
．
分析上述各式的共同特点，请写出一个能反映一般规律的等式　，其中β=α+30°　．

考点：
归纳推理．
专题：
规律型．
分析：
观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°=…规律应该是sin2α+cos2（30°+α）+sinαcos（30°+α），右边的式子：，写出结果．
解答：
解：观察以下各等式：
，
，
．
分析上述各式的共同特点，左边是二项的正弦和余弦的平方和加上正弦与余弦的积，其中一个角等于另一个加上30°，右边都是．
从而写出一个能反映一般规律的等式 ，其中β=α+30°，
故答案为：，其中β=α+30°．
点评：
本题考查归纳推理，考查观察、分析、归纳的能力，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．
　
三、解答题：（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
18．（12分）已知tanα=，tanβ=，求tan（α+2β）的值．

考点：
两角和与差的正切函数．
专题：
计算题．
分析：
根据正切的和与差公式求出tan2β，然后利用正切的和差公式，将各自的值代入即可求出值，利用特殊角的三角函数值即可求出α+2β的值．
解答：
∵，
∴．
点评：
此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题．求出tan2β的值的关键．
　
19．（12分）如图四边形ABCD中，AB=2，BC=4，CD=3；且∠B=60°，∠C=150°，求边AD的长．


考点：
余弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
连接AC，根据题意求出∠BAC=90°，∠ACB=30°，利用勾股定理求出AC的长，在三角形ACD中，由AC，CD及cos∠ACD的值，利用余弦定理即可求出AD的长．
解答：
解：连接AC，则可知∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴根据勾股定理得：AC=2，
在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠ACD=12+27﹣2×2×3×cos120°=57，
解得：AD=．

点评：
此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
　
20．（13分）已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值以及取得最大值时x的集合．

考点：
二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为f（x）=sin（2x+），再由T=得出答案．
（2）先根据x的范围确定2x+的范围，再由正弦函数的性质可求出最小值．
解答：
解析：f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x=（cos2x﹣sin2x）（cos2x+sin2x）+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+）
（1）最小正周期T==π
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，f（x）在[，上递增，在[，上递减，所以当2x+=时，f（x）取最大值，此时x的集合为{}
点评：
本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再解题．
　
21．（14分）（2009•黄冈模拟）某地正处于地震带上，预计20年后该地将发生地震．当地决定重新选址建设新城区，同时对旧城区进行拆除．已知旧城区的住房总面积为64am2，每年拆除的数量相同；新城区计划用十年建成，第一年建设住房面积2am2，开始几年每年以100%的增长率建设新住房，然后从第五年开始，每年都比上一年减少2am2．
（1）若10年后该地新、旧城区的住房总面积正好比目前翻一番，则每年旧城区拆除的住房面积是多少m2？
（2）设第n（1≤n≤10且n∈N）年新城区的住房总面积为Snm2，求Sn．

考点：
数列的应用；数列的求和．
专题：
综合题．
分析：
（1）10年后新城区的住房总面积为2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．设每年旧城区拆除的数量是x，则84a+（64a﹣10x）=2×64a，由此能求出每年旧城区拆除的住房面积．
（2）设第n年新城区的住房建设面积为an，则所以当1≤n≤4时，Sn=2（2n﹣1）a；
当5≤n≤10时，Sn=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12﹣n）a==（23n﹣n2﹣46）a．由此能求出Sn．
解答：
解：（1）10年后新城区的住房总面积为2a+4a+8a+16a+14a+12a+10a+8a+6a+4a=84a．
设每年旧城区拆除的数量是x，
则84a+（64a﹣10x）=2×64a，
解得x=2a，
即每年旧城区拆除的住房面积是2am2．
（2）设第n年新城区的住房建设面积为an，
则
所以当1≤n≤4时，
Sn=2（2n﹣1）a；
当5≤n≤10时，
Sn=2a+4a+8a+16a+14a+…+2（12﹣n）a
=
=（23n﹣n2﹣46）a．
故
点评：
本题考查数列的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
　
22．（14分）已知数列{an}的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若Sn＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且am﹣1，as﹣1，an﹣1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

考点：
等比关系的确定；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）根据an+1和an关系式进行化简，
（2）先由（1）得出数列{}的通项公式，然后根据分组方法求出Sn，解不等式Sn＜100即可；
（3）假设存在正整数m，s，n，根据等比数列性质得出（am﹣1）•（an﹣1）=（as﹣1）2并化简，再根据a+b≥2，确定是否存在．
解答：
解：（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，（3分）
∴，
∴数列为等比数列．（4分）
（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）
若Sn＜100，则，∴nmax=99．（9分）
（3）假设存在，则m+n=2s，（am﹣1）•（an﹣1）=（as﹣1）2，（10分）
∵，∴．（12分）
化简得：3m+3n=2•3s，（13分）
∵，当且仅当m=n时等号成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
点评：
本题考查了等比数列的性质、前n项和的求法以及不等式的解法，综合性很强，本题要注意a+b≥2运用，本题有一定难度．