湖北省黄冈市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

这是一份湖北省黄冈市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题
1．抛物线y=4x2的准线方程是（　　）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣
2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
A．08 B．07 C．02 D．01
3．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（　　）

A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④
4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．15
5．下列说法错误的是（　　）
A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题
B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题
D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题
6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（　　）
A．154 B．153 C．152 D．151
7．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充条件 D．既非充分条件也非必要条件
8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）


一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z

A．24 B．18 C．16 D．12
9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　　）
A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
10．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）

A． B． C． D．
11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A．bf（b）≤af（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤bf（b） D．af（b）≤bf（a）
12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
　
二、填空题
13．三进制数121（3）化为十进制数为　　　　　　．
14．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　　　　　　．
15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=　　　　　　　．
16．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为　　　　　　（写出所有真命题的序号）
　
三、解答题
17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：
酒精含量（mg/100ml）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
3
4
1
4
2
3
2
1
（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．

18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点．
（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．
（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）
20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．
22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2
（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．
　

2015-2016学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．抛物线y=4x2的准线方程是（　　）
A．y=1 B．y=﹣1 C．y= D．y=﹣
【分析】将抛物线化成标准方程得x2=y，算出2p=且焦点在y轴上，进而得到=，可得该抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线y=4x2化成标准方程，可得x2=y，
∴抛物线焦点在y轴上且2p=，得=，
因此抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣．
故选：D
【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及其基本概念等知识，属于基础题．
　
2．总体编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是（　　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
A．08 B．07 C．02 D．01
【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．
可知对应的数值为08，02，14，07，01，
则第5个个体的编号为01．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．
　
3．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制）如图所示．
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学的平均分比乙同学低；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（　　）

A．③④ B．①②④ C．②④ D．①③④
【分析】由茎叶图数据，求出甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．
【解答】解：根据茎叶图数据知，
①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，
∴甲的中位数小于乙的中位数；
②甲同学的平均分是==81，
乙同学的平均分是==85，
∴乙的平均分高；
③甲同学的平均分是=81乙同学的平均分是=85，
∴甲比乙同学低；
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
∴正确的说法是③④．
故选：A．
【点评】本题考查了利用茎叶图分析数据的平均数，中位数和方差的问题，是基础题．
　
4．当输入x=﹣4时，如图的程序运行的结果是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．15
【分析】由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=﹣4，代入可得答案．
【解答】解：由已知中的程序语句可得：
该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，
∵x=﹣4＜3，
故y=（﹣4）2﹣1=15，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．
　
5．下列说法错误的是（　　）
A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题
B．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题
D．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题
【分析】通过对选项判断命题的真假，找出错误命题即可．
【解答】解：若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题，满足命题的真假的判断，是正确的．
命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，所以不一定得到m＞0，所以B错．
命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为：若a≤b，则ac2≤bc2，显然是真命题．
若命题“￢p∨q”为假命题，则p是真命题，￢q是真命题，则“p∧￢q”为真命题，正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．
　
6．一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：
年龄x
6
7
8
9
身高y
118
126
136
144
由散点图可知，身高y与年龄x之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生10岁时的身高为（　　）
A．154 B．153 C．152 D．151
【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生10岁时的身高．
【解答】解：由题意， =7.5， =131
代入线性回归直线方程为，131=8.8×7.5+，可得=65，
∴
∴x=10时， =153
故选B．
【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题．
　
7．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0；q：x=x0是f（x）的极值点，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充条件 D．既非充分条件也非必要条件
【分析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系．
【解答】解：根据函数极值的定义可知，函数x=x0为函数y=f（x）的极值点，f′（x）=0一定成立．
但当f′（x）=0时，函数不一定取得极值，
比如函数f（x）=x3．函数导数f′（x）=3x2，
当x=0时，f′（x）=0，但函数f（x）=x3单调递增，没有极值．
则p是q的必要不充分条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及函数取得极值与函数导数之间的关系，要求正确理解导数和极值之间的关系．
　
8．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（　　）


一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z

A．24 B．18 C．16 D．12
【分析】根据题意先计算二年级女生的人数，则可算出三年级的学生人数，根据抽取比例再计算在三年级抽取的学生人数．
【解答】解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，
即总体中各个年级的人数比例为3：3：2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．
故选C．
【点评】本题考查分层抽样知识，属基本题．
　
9．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（　　）
A．5x2﹣=1 B．5x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（﹣1，0），从而得出左焦点为F（﹣1，0），再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和a、b、c的平方关系建立方程组，解出a、b的值即可得到该双曲线的方程．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴2p=4，得抛物线的焦点为（﹣1，0）．
∵双曲线的一个焦点与抛物y2=﹣4x的焦点重合，
∴双曲线的左焦点为F（﹣1，0），
设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），可得a2+b2=1…①
∵双曲线的离心率等，∴ =，即…②
由①②联解，得a2=，b2=，
∴该双曲线的方程为5x2﹣=1．
故选B．
【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键．
　
10．已知：a，b，c为集合A={1，2，3，4，5}中三个不同的数，通过如框图给出的一个算法输出一个整数a，则输出的数a=4的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，由于输出的数为4，故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，计算出从5个数中取三个的取法总数和所取的数最大为4的取法个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：由程序框图知，输入a、b、c三数，输出其中的最大数，
由于输出的数为4，
故问题为从集合A中任取三个数，求最大数为4的概率，
从集合A中任取三个数有=10种取法，
其中最大数为4时，表示从1，2，3中任取2两个数，有=3种取法，
故概率P=．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，古典概型，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．
　
11．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A．bf（b）≤af（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤bf（b） D．af（b）≤bf（a）
【分析】先构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．
【解答】解：设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），
则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，
∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，
∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数来判断函数的单调性，恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
　
12．过原点的直线与双曲线（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．利用kPMkPN=，化简，结合平方差法求解双曲线C的离心率．
【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（x2，y2）．
由kPMkPN=，可得：，即，即，
又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，
所以，，所以，
所以c2=a2+b2=，所以双曲线C的离心率为e===．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力．
　
二、填空题
13．三进制数121（3）化为十进制数为　16　．
【分析】利用累加权重法，即可将三进制数转化为十进制，从而得解．
【解答】解：由题意，121（3）=1×32+2×31+1×30=16
故答案为：16
【点评】本题考查三进制与十进制之间的转化，熟练掌握三进制与十进制之间的转化法则，是解题的关键．
　
14．若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　﹣1≤a≤3　．
【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解
【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”
即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，
∴﹣1≤a≤3
故答案是﹣1≤a≤3
【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．
　
15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=　6　．
【分析】将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．
【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）
令x=2得
f′（2）=﹣12
∴f′（x）=6x﹣24
∴f′（5）=30﹣24=6
故答案为：6
【点评】本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．
　
16．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为　①②　（写出所有真命题的序号）
【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：①双曲线=1的焦点坐标为（±5，0），椭圆=1的焦点坐标为（±5，0），所以双曲线=1与椭圆=1有相同的焦点，正确；
②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，
由抛物线的定义可得： ==半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切，正确．
③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；
④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由，可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．
故答案为：①②．
【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．
　
三、解答题
17．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：
酒精含量（mg/100ml）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
3
4
1
4
2
3
2
1
（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；
（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．

【分析】（1）计算酒精含量（mg/100ml）在各小组中的，绘制出频率分布直方图即可；
（2）计算检测数据中酒精含量在80mg/100ml（含80）以上的频率，
根据频率分布直方图中小矩形图最高的底边的中点是众数，
再计算数据的平均数值．
【解答】解：（1）酒精含量（mg/100ml）在[20，30）的为=0.015，
在[30，40）的为=0.020，
在[40，50）的为=0.005，
在[50，60）的为=0.20，
在[60，70）的为=0.010，
在[70，80）的为=0.015，
在[80，90）的为=0.010，
在[90，100]的为=0.005；
绘制出酒精含量检测数据的频率分布直方图如图所示：
…
（2）检测数据中醉酒驾驶（酒精含量在80mg/100ml（含80）以上时）的频率是
；…
根据频率分布直方图，小矩形图最高的是[30，40）和[50，60），
估计检测数据中酒精含量的众数是35与55；…
估计检测数据中酒精含量的平均数是
0.015×10×25+0.020×10×35+0.005×10×45+0.020×10×55
+0.010×10×65+0.015×10×75+0.010×10×85+0.005×10×95=55．…
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数与众数的计算问题，是基础题目．
　
18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】由题意可得q是命题p的充分不必要条件，设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}，B={x|}，则由题意可得B⊊A，化简A、B，根据区间端点间的大小关系，
求得实数a的取值范围．
【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，∴命题 q是命题p的充分不必要条件．
设A={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a＞0}={x|a＜x＜3a}，B={x|}={x|2＜x≤3}，则由题意可得B⊊A．
∴，解得 1＜a≤2，
故实数a的取值范围为（1，2]．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．
　
19．某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A、B、C刚好是边长为3cm的等边三角形的三个顶点．
（Ⅰ） 该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[7.5，8.5）内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[9.5，10.5）内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a和b）进行技术分析．求事件“|a﹣b|＞1”的概率．
（Ⅱ）第四次射击时，该运动员瞄准△ABC区域射击（不会打到△ABC外），则此次射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）
【分析】（Ⅰ）利用列举法得到所有事件个数，以及满足条件的事件个数，利用古典概型个数求概率；
（Ⅱ）由题意，所求为几何概型概率，所以只要明确三角形区域面积以及射击的着弹点距A、B、C的距离都超过1cm区域面积，利用几何概型公式解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）前三次射击成绩依次记为x1，x2，x3，后三次成绩依次记为y1，y2，y3，从这6次射击成绩中随机抽取两个，
基本事件是：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y2，y3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，
{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}，}，{x3，y1}，{x3，y2}，{x3，y3}，共15个 …
其中可使|a﹣b|＞1发生的是后9个基本事件．故．…
（Ⅱ）因为着弹点若与A、B、C的距离都超过1cm，则着弹点就不能落在分别以A，B，C为中心，半径为1cm的三个扇形区域内，只能落在扇形外．…
因为 …
部分的面积为，…
故所求概率为P=．…
【点评】本题考查了古典概型和几何概型概率求法；明确概率模型，利用相关的公式解答是关键．
　
20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
【分析】设小正方形的边长为xcm，则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，高为xcm，运用长方体的体积公式可得无盖的小盒子的容积，求得导数和单调区间，可得极大值，即为最大值，以及最大值点．
【解答】解：设小正方形的边长为xcm，
则盒子底面长为（8﹣2x）cm，宽为（5﹣2x）cm，
可得体积V=（8﹣2x）（5﹣2x）x=4x3﹣26x2+40x，（0＜x＜），
V′=12x2﹣52x+40，令V′=0，
可得x=1或x=（舍去），
当0＜x＜1时，导数V′＞0，函数V递增；
当1＜x＜时，导数V′＜0，函数V递减．
可得函数V在x=1处取得极大值，且为最大值18．
即小正方形边长为1cm时，盒子容积最大为18cm3．
【点评】本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求出体积的函数式和导数是解题的关键，属于中档题．
　
21．已知两点，若一动点Q在运动过程中总满足|AQ|+|CQ|=4，O为坐标原点．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程．
（2）设过点B（0，﹣2）的直线与E交于M，N两点，当△OMN的面积为1时，求此直线的方程．
【分析】（1）由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，由此能求出点Q的轨迹E的方程．
（2）设直线为：y=kx﹣2，将y=kx﹣2代入椭圆方程，（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线方程．
【解答】解：（1）由题意知|PQ|=|AQ|，又∵|CP|=|CQ|+|PQ|=4…
∴|CQ|+|AQ|=4》|AC|=2，
由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，…
2a=4，即a=2，2c=2，即c=，
∴b2=4﹣3=1，
∴点Q的轨迹E的方程为．…
（2）由题意知所求的直线不可能垂直于x轴，所以可设直线为：y=kx﹣2，…
M（x1，y1），N（x2，y2），
将y=kx﹣2代入（1+4k2）x2﹣．
∴…
|x1﹣x2|===1．…
解得k=，满足△＞0．∴﹣2．…
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式的合理运用．
　
22．函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2
（1）如果函数g（x）单调减区间为（，1），求函数g（x）解析式；
（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）图象过点p（1，1）的切线方程；
（3）若∃x0∈（0，+∞），使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，求实数a取值范围．
【分析】（1）求g（x）的导数，利用函数g（x）单调减区间为（，1），即是方程g'（x）=0的两个根．然后解a即可．
（2）利用导数的几何意义求切线方程．（3）将不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵g'（x）=3x2+2ax﹣1，若函数g（x）单调减区间为（，1），由g'（x）=3x2+2ax﹣1＜0，解为，
∴是方程g'（x）=0的两个根，
∴，
∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2…
（2）设切点为（x0，y0），则切线方程为，将（1，1）代入
得．
所以切线方程为y=﹣x+2或y=1…
（3）要使关于x的不等式2f（x）≥g′（x）+2成立，即2xlnx≥3x2+2ax﹣1+2成立．
所以2ax≤2xlnx﹣3x2﹣1，在x＞0时有解，所以最大值，
令，则，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单减．
∴x=1时，h（x）max=﹣4，
∴2a≤﹣4，
即a≤﹣2…
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数和函数单调性，最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立问题，则需要转化为最值恒成立．
　

第二节　重要的体内能源——油脂
课时训练3　重要的体内能源——油脂

一、油脂的组成、分类和结构
1.下列物质属于油脂的是(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　
A.
B.
C.
D.
解析:油脂是高级脂肪酸的甘油酯,A、B项中不是高级脂肪酸所形成的酯(不是高级脂肪酸),D项中不是甘油酯。
答案:C
2.我们通常说的“油”指的是植物油和动物油,属于酯类,下列“油”属于酯类的是(　　)
①豆油　②酱油　③羊油　④甘油　⑤重油(石油分馏产品)
A.①③ B.②④⑤
C.②③ D.①④
解析:酱油的成分相当复杂,一般认为其中含有氨基酸、有机酸、一些糖类及乙醇等;甘油即丙三醇,属于醇类;重油是石油分馏产品,属于矿物油。
答案:A
3.下列物质属于油脂的是(　　)
①　②
③　④润滑油　⑤花生油　⑥石蜡
A.①② B.④⑤
C.①⑤ D.①③
解析:油脂是甘油与高级脂肪酸形成的酯。而润滑油和石蜡属于烃,②③虽属酯类但不是甘油与高级脂肪酸生成的酯。
答案:C
4.下列关于油、脂和酯的比较,正确的是(　　)
A.油是不饱和高级脂肪酸的单甘油酯,是纯净物
B.脂是高级脂肪酸的混甘油酯
C.油和脂是由于所含的饱和烃基或不饱和烃基相对含量的不同引起熔点的不同而互相区分的
D.脂是高级脂肪酸中所含饱和烃基较大的混甘油酯,脂属于酯类
解析:依据油、脂、酯的区别与联系可知,油不一定是单甘油酯,A项错;脂可以是单甘油酯,也可以是混甘油酯,B、D项错。
答案:C
5.油脂的结构式可表示为,天然油脂中,R1、R2、R3相同和不相同的分子同时存在。
(1)当R1、R2、R3相同时,这种油脂称为　　　　　;当R1、R2、R3不同时,这种油脂称为　　　　　。 
(2)若某种天然油脂完全皂化后只得到两种高级脂肪酸钠,那么在这种天然油脂中存在的三甘油酯共有　　　　　种沸点不同的分子。 
(3)若某种天然油脂完全皂化后只得到三种高级脂肪酸钠,那么在这种天然油脂中存在的三甘油酯共有　　　　　种沸点不同的分子。 
解析:(1)R1、R2、R3相同时,称单甘油酯;R1、R2、R3不同时,称为混甘油酯。(2)若R基只有两种时,用R1、R2表示,其组合方式有:①(R1、R1、R1);②(R2、R2、R2);③(R1、R2、R2);④(R2、R1、R1);⑤(R2、R1、R2);⑥(R1、R2、R1),共6种。同理类推可得出(3)为18种。
答案:(1)单甘油酯　混甘油酯　(2)6　(3)18
二、油脂的性质
6.下列说法正确的是(　　)
A.油脂的皂化反应是取代反应
B.油脂的水解反应就是皂化反应
C.油脂不能使酸性高锰酸钾溶液褪色
D.单甘油酯是纯净物,混甘油酯是混合物
解析:油脂在碱性条件下的水解反应为皂化反应,水解反应也是取代反应,因此A项正确,B项错误;有些油脂的烃基是不饱和的,能使酸性高锰酸钾溶液褪色,因此C项错误;单甘油酯和混甘油酯如果指明具体的一种,则都是纯净物,如果笼统地说油脂就是混合物,故D项错误。
答案:A
7.下列关于油脂的叙述不正确的是(　　)
A.油脂属于酯类
B.没有固定的熔、沸点
C.是高级脂肪酸的甘油酯
D.都不能使溴水褪色
解析:从油脂的定义、结构来看,油脂是高级脂肪酸的甘油酯,高级脂肪酸有多种,故生成的酯分子有多种,即油脂是混合物;不饱和高级脂肪酸甘油酯可使溴水褪色。
答案:D
8.变质的油脂有难闻的哈喇味,这是因为发生了(　　)
A.氧化反应 B.加成反应
C.取代反应 D.水解反应
解析:动植物油脂中,都含有油酸。由于油酸中含有碳碳双键,在空气中放置时间久了,由于氧化而产生过氧化物和醛类等,使油脂变质,带有一种难闻的哈喇味,这种油脂就不能食用了。
答案:A
9.公元前,古埃及国王胡夫的一位厨师不小心把刚熬好的羊油碰翻在灶坑旁,与草木灰混在了一起。当他将羊油和草木灰的混合物用手捧出去后,洗手时发现洗得特别干净。下列解释正确的是(　　)
A.羊油是一种有机溶剂,溶解了厨师手上的油污
B.草木灰呈碱性,与羊油发生中和反应
C.羊油与草木灰中的物质发生了加成反应
D.羊油在碱性的草木灰(主要成分K2CO3)的作用下发生了皂化反应
解析:草木灰的主要成分是K2CO3,水溶液呈碱性。羊油属于油脂,在碱性条件下可发生水解反应生成高级脂肪酸钾和甘油,高级脂肪酸钾和肥皂结构相似,具有去油污能力。
答案:D
10.硬脂酸甘油酯在碱性条件下水解的装置如图所示。进行皂化反应时的步骤如下:

(1)在圆底烧瓶中装入7~8 g硬脂酸甘油酯,然后加入2~3 g的氢氧化钠、5 mL水、10 mL酒精。加入酒精的作用为　　　　　　　　　　　　;加入NaOH溶液的作用是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 
(2)隔着石棉网给反应混合物加热约10 min,皂化反应基本完成。证明皂化反应进行完全的方法是
 
　。 
(3)皂化反应完成后,加入饱和NaCl溶液的作用是
 
　。 
(4)图中长玻璃导管的作用为 
　。 
(5)写出该反应的化学方程式: 
　。 
解析:(1)实验时为了便于硬脂酸甘油酯和NaOH溶液充分混合均匀,反应彻底,常加入一定量的乙醇作溶剂。(4)图中长玻璃导管的作用,除导气外还兼有冷凝回流的作用,以提高原料的利用率。(2)把一滴混合物加到水中,在液体表面不形成油层,证明皂化反应进行完全。(3)皂化反应完成后,加入饱和NaCl溶液的作用是使高级脂肪酸钠发生凝聚而从混合液中析出。
答案:(1)使硬脂酸甘油酯和NaOH溶液混合均匀　催化作用
(2)把一滴混合物加到水中,在液面上不形成油层
(3)使高级脂肪酸钠发生凝聚而从混合液中析出
(4)导气兼冷凝回流
(5)+3NaOH3C17H35COONa+
三、油脂在人体内的功能与转化
11.下列关于油脂在体内变化的叙述中正确的是(　　)
A.油脂主要是在大肠中被消化吸收
B.油脂在体内直接氧化产生热量
C.多吃动物脂肪比多吃植物油有利
D.有些脂肪酸是人体必需的,但在人体内却不能合成
解析:油脂是在人体小肠中被消化吸收的,故A项错误;食物中的油脂在代谢过程中,首先水解为高级脂肪酸和甘油,高级脂肪酸经氧化释放出热量,故B项错误;吃油脂最好选择水解产物富含不饱和高级脂肪酸,特别是含必需脂肪酸的植物油,故C项错误。故选D。
答案:D
12.关于油脂在人体中的生理功能的理解中错误的是 (　　)
A.油脂在人体内的水解、氧化可释放能量,所以油脂可为人体提供能量
B.为人体合成其他化合物提供原料
C.保持体温、保护内脏器官
D.促进水溶性维生素B族、维生素C等的吸收
解析:油脂在人体内水解生成脂肪酸,脂肪酸氧化释放能量,A项正确;油脂也能为细胞膜、神经、脑组织提供原料,B项正确;脂肪不导热可保持体温,C项正确;油脂能溶解维生素A、D、E、K等,但不能促进维生素B族、维生素C等的吸收,D项错误。
答案:D
13.下列说法错误的是(　　)
A.油脂在人体内通过酶的参与可水解为高级脂肪酸和甘油
B.油脂主要在小肠中消化吸收
C.磷脂对人体吸收维生素A、E是有利的
D.同质量的脂肪在体内氧化时放出的能量比糖类和蛋白质高得多,故脂肪是人体提供能量的主要物质
解析:同质量的脂肪在体内氧化时放出的热量比糖类和蛋白质高,但其提供的能量只占日需总热量的20%~25%。人体提供能量的主要物质是糖类(淀粉),所以D项错误。
答案:D

(建议用时:30分钟)
1.人体所需的热量,来自脂肪的比来自葡萄糖的(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　
A.多 B.少
C.相等 D.不确定
解析:人体所需热量的60%~70%来自葡萄糖氧化,20%~25%来自脂肪氧化。
答案:B
2.油脂水解后的一种共同产物是(　　)
A.硬脂酸 B.甘油
C.软脂酸 D.油酸
解析:油脂水解得到高级脂肪酸和甘油,甘油是共同的产物。
答案:B
3.有关人体内脂肪的用途说法不正确的是(　　)
A.在体内氧化供能
B.作为人对外界环境的屏障,防止人体热量过多散失
C.帮助脂溶性维生素的吸收
D.使人看上去臃肿肥胖,因此毫无作用
解析:脂肪的主要作用是在体内氧化提供人体活动的热量,A正确;皮下脂肪可作为垫衬,同时还有保温作用,B正确;按相似相溶原理,脂溶性维生素易溶于脂肪,C正确。
答案:D
4.下列物质既不能发生水解反应,又不能发生还原反应的是(　　)
A.豆油
B.葡萄糖
C.纤维素
D.硬脂酸(C17H35COOH)
答案:D
5.下列关于油脂的说法不正确的是(　　)
A.油脂在小肠内的消化产物是硬脂酸和甘油
B.天然油脂大多是由混甘油酯分子构成的混合物
C.脂肪里的饱和烃基的相对含量较大,熔点较高
D.油脂的主要成分是高级脂肪酸的甘油酯,属于酯类
解析:油脂在小肠内消化产物是高级脂肪酸和甘油,不一定是硬脂酸,A错;天然油脂是混合物,多数是混甘油酯,B正确;饱和烃基的相对含量越大,熔点越高,所以脂肪熔点比油的高,呈固态,C正确;油脂的主要成分是高级脂肪酸的甘油酯,D正确。
答案:A
6.下列关于油脂的叙述中错误的是(　　)
A.从溴水中提取溴可用植物油作萃取剂
B.用热的纯碱溶液去油污效果更好
C.硬水使肥皂去污能力减弱是因为发生了沉淀反应
D.用热的纯碱溶液可区别植物油和矿物油
解析:植物油中含不饱和键,可与溴发生加成反应,A项错误;温度越高,纯碱溶液的水解程度越大,碱性越强,油污的水解速率越快,B项正确;硬水中的钙、镁离子易与肥皂反应生成难溶于水的高级脂肪酸钙、高级脂肪酸镁,C项正确;植物油为油脂,在热碱溶液中水解,产物均溶于水,而矿物油主要为烃类,不与碱反应,液体仍为两层,D项正确。
答案:A
7.将硬脂酸甘油酯与氢氧化钠溶液共热进行皂化反应,能把硬脂酸钠和甘油从混合物中分离出来的操作有:①盐析;②过滤;③蒸馏;④分液;⑤结晶。其中正确的是(　　)
A.①②③ B.①③④⑤
C.②③④ D.①②④⑤
解析:硬脂酸钠与甘油互溶,要从溶液中分离,先利用硬脂酸钠在饱和氯化钠溶液中溶解度降低发生盐析,分离固体与液体混合物得到硬脂肪酸钠固体;滤液中含有甘油、氯化钠,而甘油沸点低,可采用蒸馏的方法得到甘油。
答案:A
8.油脂是油和脂肪的总称,它是多种高级脂肪酸的甘油酯。油脂既是重要的食物,又是重要的化工原料。油脂的以下性质和用途与其含有的不饱和双键()有关的是(　　)
A.适量摄入油脂,有助于人体吸收多种脂溶性维生素和胡萝卜素
B.利用油脂在碱性条件下的水解,可以生产甘油和肥皂
C.植物油通过氢化可以制造植物奶油(人造奶油)
D.脂肪是机体组织里储存能量的重要物质
解析:A、B、D三项是油脂的共性,与结构中是否含有不饱和双键无关。C中的“氢化”就是与H2的加成反应,是不饱和双键的性质。
答案:C
9.某天然油脂10 g,需1.8 g NaOH才能完成皂化,又知1 kg该油脂进行催化加氢时需12 g H2才能完全硬化。试推断1 mol该油脂平均含碳碳双键的物质的量为(　　)
A.2 mol B.3 mol
C.4 mol D.5 mol
解析:先根据NaOH的量求出参加皂化反应的该天然油脂的物质的量,进一步求出该天然油脂的摩尔质量,然后求出发生氢化反应时油脂与H2的物质的量之比,从而确定所含的碳碳双键数目。
设发生反应的油脂的相对分子质量为M。
~3NaOH
　M　　　120 g·mol-1
　　　10 g　　1.8 g

M=g·mol-1
n(天然油脂)∶n(H2)==1∶4
答案:C
10.判断正误(正确的在括号内打“√”,错误的在括号内打“×”)。
(1)单甘油酯是纯净物,混甘油酯是混合物。 (　　)
(2)油脂没有固定的熔、沸点。(　　)
(3)油脂都不能使溴水褪色。(　　)
(4)食用油属于酯类,石蜡油属于烃类。(　　)
(5)精制的牛油是纯净物。(　　)
答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
11.(1)从油脂A的结构简式
分析,它可能发生的化学反应有:
①从饱和性看,它能发生　　　　　反应,例如与氢气反应的化学方程式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 
②从酯的性质看,它能发生　　　　　反应,该反应的化学方程式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 
(2)列举硬化油的性质和用途:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 
解析:

答案:(1)①加成　+4H2
②水解(或取代)　+3NaOH+C17H33COONa+C15H29COONa+C17H31COONa
(2)硬化油性质稳定,不易变质,便于运输;可用于制造肥皂、甘油、脂肪酸、人造奶油
12.一种有机物的结构简式为:

(1)该有机物中含有的官能团是　　　　　　(填名称)。 
(2)该有机物的类别是　　　　　　(填字母序号,下同)。 
A.烯烃
B.酯
C.油脂
D.高分子化合物
E.混合甘油酯
(3)该有机物与水混合后　　　　　　　　。 
A.与水互溶
B.不溶于水,水在上层
C.不溶于水,水在下层
(4)该物质是否有固定熔、沸点　　　　　　　　(填“是”或“否”)。 
(5)与该物质能发生反应的物质有　　　　　　　　　　。 
A.NaOH溶液 B.碘水
C.乙醇 D.乙酸
E.H2
写出属于取代反应的化学方程式:　　　　　　　　　　　　　　　　　。 
解析:(3)因该有机物为油脂,油脂都难溶于水,密度比水小。(5)根据该油脂中含有的官能团判断它能与I2、H2发生加成反应,能在NaOH溶液中发生水解反应生成高级脂肪酸钠和甘油。
答案:(1)碳碳双键和酯基　(2)BC　(3)C　(4)是
(5)ABE
+
3NaOH3CH3(CH2)7CHCH(CH2)7COONa+