湖北省黄冈市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（解析版）（理科）

这是一份湖北省黄冈市2016-2017学年高二（上）期末数学试卷（解析版）（理科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2016-2017学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（　　）

A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1，0或1
3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
4．已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（　　）
A．3或 B．3 C． D．±3或
5．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，若G点是△BA1D的重心，且=x+y+z，则x+y+z的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
8．给定下列命题，其中真命题的个数为：（　　）
①已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；
②“矩形的对角线相等”的逆命题；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题；
④如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变．
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如果执行程序框图，如果输出的S=2550，则判断框处为（　　）

A．k≤50？ B．k≥51？ C．k＜50？ D．k＞51？
10．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2=3x B．y2=9x C．y2=x D．y2=x
11．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（　　）

A． B．2 C． D．
12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，其坐标（x，y）也满足+≤2，则a+b取值范围为（　　）
A．（0，2] B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　　．
14．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是　　．
15．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　．

16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，70分）
17．（10分）已知a∈R，设命题p：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在R上单调递增；命题q：函数y=ln（ax2﹣ax+1）的定义域为R，若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．
18．（12分）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数、中位数和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（2）若在愿意生育二孩的且年龄在[30，34），[34，38），[38，42）的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

19．（12分）在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．
（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；
（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．
21．（12分）如图，在四凌锥中P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

22．（12分）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2|ST|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

　

2016-2017学年湖北省黄冈市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．
故：B．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．
　
2．执行如图程序中，若输出y的值为1，则输入x的值为（　　）

A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1，0或1
【考点】伪代码．
【分析】分析程序框图的功能是输出分段函数y=，令y=1，讨论x的取值，求出对应的x值即可．
【解答】解：执行如图程序，是输出分段函数
y=，
令y=1，则当x≥1时，有x2=1，解得x=1；
当x＜1时，有﹣x2+1=1，解得x=0；
所以，输出y的值为1时，输入x的值为0或1．
故选：C．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．
　
3．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==
∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，
∴=0.7×4.5+0.35，
∴m=3，
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．
　
4．已知椭圆+=1（m＞0）的焦距为8，则m的值为（　　）
A．3或 B．3 C． D．±3或
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】分类当当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c=8，则c=4，m2=a2﹣c2=9，则m=3，当m＞5时，焦点在y轴上，c=4，m2=a2+c2=41，则m=，即可求得，m的值．
【解答】解：由当m＜5时，焦点在x轴上，焦距2c=8，则c=4，
由m2=a2﹣c2=9，则m=3，
当m＞5时，焦点在y轴上，由焦距2c=8，则c=4，
由m2=a2+c2=41，则m=，
故m的值为3或，
故选A．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查分类讨论思想，属于基础题．
　
5．已知x，y∈R，则“x+y=1”是“xy≤”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由x+y=1，推出xy≤，判定充分性成立；由xy≤，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可．
【解答】解：∵x，y∈R，当x+y=1时，y=1﹣x，
∴xy=x（1﹣x）=x﹣x2=﹣≤，∴充分性成立；
当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；
∴“x+y=1”是“xy≤”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题．
　
6．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P==，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
　
7．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，若G点是△BA1D的重心，且=x+y+z，则x+y+z的值为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【考点】空间向量的加减法．
【分析】利用空间向量加法法则求解．
【解答】解：2=，， =，
∴=
=
=
=
=，
∵=x+y+z，
∴x+y+z==1．
故选：B．

【点评】本题考查代数式求和，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量加法法则的合理运用．
　
8．给定下列命题，其中真命题的个数为：（　　）
①已知a，b，m∈R，若am2＜bm2，则a＜b；
②“矩形的对角线相等”的逆命题；
③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题；
④如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①由题意m2＞0，根据不等式的性质可得结论；
②，若一个四边形的对角线相等，则这个四边形不一定矩形；
③，“若xy≠0，则x、y都不为0”，为真命题；
④，将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数一定改变．
【解答】解：对于①，由题意m2＞0，根据不等式的性质可得①真命题；
对于②，“矩形的对角线相等”的逆命题是：若一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形，故为假命题；
对于③，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：③“若xy≠0，则x、y都不为0”，为真命题；
对于④，将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数一定改变，故为假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
　
9．如果执行程序框图，如果输出的S=2550，则判断框处为（　　）

A．k≤50？ B．k≥51？ C．k＜50？ D．k＞51？
【考点】程序框图．
【分析】根据题中的框图写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是求正偶数的前n项和．若输出的S=2550，则利用等差数列前n项和公式，得到第n次循环的S=n2+n=2550，从而解出最后一个加数是50，由此结合题意即可得到本题答案．
【解答】解：根据题中的程序框图，可得
该程序经过第一次循环得到S=2，k=2；
然后经过第二次循环得到S=2+4，k=3；
然后经过第三次循环得到S=2+4+6，k=4；
…
设经过第n次循环得到S=2550，则2+4+6+…+2n=n2+n=2550，
解之得n=50，
由此说明，当n＞50时不满足判断框中的条件，则正好输出S=2550
∴判断框应该填入的条件是：k≤50？
故选：A
【点评】本题给出程序框图，求输出的S=2550时应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．
　
10．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（　　）

A．y2=3x B．y2=9x C．y2=x D．y2=x
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，即有（3﹣）（1﹣）=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，
又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，
∴∠NCB=30°，
有|AC|=2|AM|=6，
设|BF|=x，则2x+x+3=6⇒x=1，
而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，
∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．
得y2=3x．
故选A．

【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
　
11．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则点K所形成轨迹的长度为（　　）

A． B．2 C． D．
【考点】轨迹方程．
【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则∠D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．
【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，
则∠D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是1，
如图当E与C重合时，取O为AD′的中点，得到△OAK是直角三角形．
故∠K0D'=，
其所对的弧长为，
故选C．

【点评】本题以平面图形的翻折为载体，考查立体几何中的轨迹问题，考查弧长公式的运用，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变．本题是一个中档题目．
　
12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，其坐标（x，y）也满足+≤2，则a+b取值范围为（　　）
A．（0，2] B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件的可行域，得到a，b的范围，利用不等式的性质求解a+b取值范围即可．
【解答】解：点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a＞0，b＞0）上任意一点，
其坐标（x，y）也满足+≤2，即表示椭圆内部部分，可行域如图：
可得，，
即，
则a+b取值范围：[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查线性规划的应用，不等式的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是　α≤1　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，则a=0，或a＜0，或，进而得到实数a的取值范围．
【解答】解：若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，
则∃x∈R，ax2+2x+1≤0，
当a=0时，y=2x+1为一次函数，满足条件；
当a＜0时，y=ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；
当a＞0时，y=ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，
则函数图象与x轴有交点，即△=4﹣4a≥0，
解得：0＜a≤1
综上可得：实数a的取值范围是：α≤1，
故答案为：α≤1
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了二次函数的图象和性质，难度中档．
　
14．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是　6　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据题意，AC为经过点P的圆的直径，而BD是与AC垂直的弦．因此算出PM的长，利用垂直于弦的直径的性质算出BD长，根据四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，
∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．
∵P（2，2）是该圆内一点，
∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
∵|PM|==，
∴由垂径定理，得|BD|=2．
因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．
故答案为6
【点评】本题给出圆内一点P，求经过点P最长的弦与最短的弦构成的四边形的面积．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和垂直于弦的直径的性质等知识，属于中档题．
　
15．如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为　　．

【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．
【分析】由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．
【解答】解：由已知中的茎叶图可得
甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，
则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90
设污损数字为x
则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X
则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，
当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，
当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，
甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题．
　
16．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为　[，+∞）　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x=c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．
【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），
当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），
则AB=，
将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），
则|CD|=，
∵|AB|≥|CD|，
∴≥•，即b≥c，
则b2=c2﹣a2≥c2，
即c2≥a2，
则e2=≥，
则e≥．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．
　
三、解答题（本大题共6小题，70分）
17．（10分）（2016秋•黄冈期末）已知a∈R，设命题p：指数函数y=ax（a＞0且a≠1）在R上单调递增；命题q：函数y=ln（ax2﹣ax+1）的定义域为R，若“p且q”为假，“p或q”为真，求a的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．
【分析】若“p且q”为假，“p或q”为真，则p与q一真一假，进而可得a的取值范围．
【解答】解：若命题p为真命题，则a＞1，
若命题q为真命题，
则ax2﹣ax+1＞0恒成立，
即a=0或．﹣﹣﹣4分；
所以0≤a＜4…5分
若“p且q”为假，“p或q”为真，则p与q一真一假，
当p真q假时，a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分
当p假q真时，0≤a≤1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分
综上可知，的取值范围为0≤a≤1或a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了一无二次不等式恒成立问题，复合命题，难度中档．
　
18．（12分）（2016秋•黄冈期末）2016年1月1日，我国实施“全面二孩”政策，中国社会科学院在某地随机抽取了150名已婚男性，其中愿意生育二孩的有100名，经统计，该100名男性的年龄情况对应的频率分布直方图如下：
（1）根据频率分布直方图，估计这100名已婚男性的年龄平均值、众数、中位数和样本方差s2（同组数据用区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（2）若在愿意生育二孩的且年龄在[30，34），[34，38），[38，42）的三组已婚男性中，用分层抽样的方法抽取19人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数．
【分析】（1）由频率分布直方图即可计算得解．
（2）求出各个年龄段的频率，即可计算每个年龄段抽取的人数．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）位已婚男性的年龄平均值和样本方差s2分别为：
=24×0.04+28×0.08+32×0.16+36×0.44+40×0.16+44×0.1+48×0.02=35.92≈36，…3分
s2=（﹣12）2×0.04+（﹣8）2+0.08+（﹣4）2×0.16+02×0.44+42×0.16+82×0.1+122×0.02=25.28≈25，…6分
可得：众数为36．…7 分；
中位数为（0.5﹣0.04﹣0.08﹣0.16）÷0.11+34=36，…9分
（2）在年龄段[30，34），[34，38），[38，42）的频率分别为0.04×4=0.16，0.11×4=0.44，0.04×4=0.16，0.16：0.44：0.16=4：11：4，
所以人数分别为4人，11人，4人…12分
【点评】本题主要考查的考点有：1，频率分布直方图，2，中位数，众数，平均数及样本方差公式，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息，准确计算．
　
19．（12分）（2016秋•黄冈期末）在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．
（1）若抽奖规则是从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，当两个球同色时则中奖，求中奖概率；
（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
【考点】几何概型．
【分析】（1）计算所有事件数已经满足条件的事件数，利用古典概型公式求之；
（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．用（x，y）表示每次试验的结果，分别，x，y范围表示满足条件的事件，利用几何概型的概率公式得到所求．
【解答】解：（1）从袋中6个球中无放回的摸出2个，试验的结果共有6×5=30种，中奖的情况分为两种：
（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为2×1=2；
（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为4×3=12．
所以，中奖这个事件包含的基本事件数为14．
因此，中奖概率为．…（6分）
（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟．
用（x，y）表示每次试验的结果，则所有可能结果为Ω={（x，y）|0≤x≤40，20≤y≤60}；
记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为A={（x，y）|x＜y，0≤x≤40，20≤y≤60}．
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD．而事件A所构成区域是正方形内的阴影部分．
根据几何概型公式，得到P（A）==．
所以，甲比乙提前到达的概率为．…（12分）

【点评】本题考查了古典概型和几何概型的概率求法；关键字明确事件的表达方式，利用相关的公式解答．
　
20．（12分）（2016秋•黄冈期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣3上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
（2）若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标的取值范围．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；
（2）设出点C，M的坐标，利用|MA|=2|MO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题设，圆心C在y=x﹣3上，也在直线y=2x﹣4上，2a﹣4=a﹣3，∴a=1，∴C（1，﹣2）．
∴⊙C：（x﹣1）2+（y+2）2=1，
由题，当斜率存在时，过A点切线方程可设为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，则=1，解得：k=﹣，…（4分）
又当斜率不存在时，也与圆相切，∴所求切线为x=0或y=﹣x+3，
即x=0或12x+5y﹣15=0；
（2）设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．
　
21．（12分）（2016秋•黄冈期末）如图，在四凌锥中P﹣ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥AD，能证明PD⊥平面PAB．
（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD．
所以AB⊥PD．
又因为PA⊥AD，所以PD⊥平面PAB．…5分
解：（Ⅱ）取AD的中点O，连结PO，CO，
因为PA=PD，所以PO⊥AD．
又因为PO⊂平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．
因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO．
因为AC=CD，所以CO⊥AD．
如图建立空间直角坐标系．由题意得：
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．
=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，﹣1），=（1，1，﹣1），
设平面的法向量为=（x，y，z），
则，令z=2，得=（1，﹣2，2）．
设线PB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ==．
∴直线与平面所成角的正弦值为．…12分

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
22．（12分）（2015•呼伦贝尔二模）如图，椭圆的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2与x轴垂直的直线与椭圆交于S，T，与抛物线交于C，D两点，且|CD|=2|ST|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于不同两点A和B，且满足+=t（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由焦点F2（1，0），根据，所以，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设过m（2，0）的直线为y=k（x﹣2），与椭圆方程联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，得，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆标准方程，
由题意，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），|CD|=4．
因为，所以．…（2分）
又S，T，，
又c2=1=a2﹣b2，所以．
所以椭圆的标准方程．…
（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）．
由消去y，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，（*）
设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1，x2是方程（*）的两根，
所以△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，即2k2＜1，①…（7分）
且，
由，得
所以，…（9分）
因为点P（x0，y0）在椭圆上，所以，
即=，
再由①，得，
所以t∈（﹣2，2）．…（13分）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．