湖北省黄冈市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（文）试题

黄冈市2015-2016学年度春季高二期末考试数学试题（文科）

考试时间：120分钟

一、选择题:

1．复数（i为虚数单位）的模等于（　　）

A.               B.2              C.            D.

2．下表是某厂1—4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为＝－0．7x＋a，则a等于(　 　)

A．10．5         B．5．15         C．5．2         D．5．25

3．①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，

则(a·b)c＝a(b·c)”；

②在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，猜想an＝2n－2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；[来源:Z|xx|k.Com]

上述三个推理中，正确的个数为(　　)

A．0      B．1      C．2       D．3

4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面(　　)

A．各正三角形内一点           B．各正三角形的某高线上的点

C．各正三角形的中心           D．各正三角形外的某点

5．已知全集，集合，集合，则（   ）

A．              B．     

 C．          D．

6．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，则（    ）

A.-3         B.-2           C.3          D.2

[来源:Z,xx,k.Com]

7．下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（    ）

①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；

②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。

A、（1）（2）（4）   B、（4）（2）（3）   C、（4）（1）（3）  D、（4）（1）（2）

8．已知函数是上的偶函数，且在区间是单调递增的，是锐角的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 

A.         B.

 C.       D.

9．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧。若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）

A.y＝x2       B.       C.       D.y=x-2

10．已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（   ）

A.           B.          C.          D.

11．已知函数，则函数的零点个数为（    ）

A．1           B．2             C．3             D．4

12．曲线在处的切线倾斜角是（    ）

A.                B.               C.                 D.

二、填空题:

13．若函数的定义域为.当时，的最大值为__________.

14．在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是    ．

15．在处有极大值，则常数的值为_____

16．在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，则下列结论正确的为          

①2014；②-1；③；④命题“整数满足，则”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数属于同一类”的充要条件是“”

三、解答题:

17．已知为复数，为纯虚数，，且,求复数.

18．已知定义在上的奇函数，当时，

（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。

19．已知函数是上的增函数，

（1）若，且，求证

（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论。[来源:Z#xx#k.Com]

20．某厂拟在2014年通过广告促销活动推销产品.经调查测算，产品的年销售量（假定年产量=年销售量）万件与年广告费用万元满足关系式：（为常数）.若不做广告，则产品的年销售量恰好为1万件.已知2014年生产该产品时，该厂需要先固定投入8万元，并且预计生产每1万件该产品时，需再投入4万元，每件产品的销售价格定为每件产品所需的年平均成本的1.5倍（每件产品的成本包括固定投入和生产再投入两部分，不包括广告促销费用）.

（1）将2014年该厂的年销售利润（万元）表示为年广告促销费用（万元）的函数；

（2）2014年广告促销费用投入多少万元时，该厂将获利最大？

21．已知函数，

（1）若，求函数的零点；

（2）若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间．

[来源:Z,xx,k.Com]

22．选修4-1：几何证明选讲

如图是直径，是切线，交于点

（1）若D为中点，求证：是切线；

（2）若，求的大小．

23．已知曲线的参数方程是，直线的参数方程为，

（1）求曲线与直线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值。

24．

设函数．

（1）若，解不等式；

（2）如果，，求的取值范围．

参考答案

1．A解：∵复数==1﹣i，

∴||=|1﹣i|==，

故选：A．[来源:学科网]

点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义．

2．D因为回归直线方程过样本中心点，而此题的样本中心点为即，将样本中心点代入回归直线方程得

考点：回归分析的基本思想及应用

3．①显然错误,向量没有结合律; ②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列, 所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.

考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.

4．C  试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，故选C．

考点：类比推理.

5．A由有，所以集合，；当时，，所以集合,则,故选A.

考点：集合间的运算.

6．C由函数是奇函数，得，；由，得；由，得，即，所以是以3为周期的周期函数；所以

.

故选C.  考点：函数的奇偶性和周期性.

7．D 试题分析：(1)离开家不久返回，则与家的距离先变大，后变小为o,再变大;(2)途中遇堵车，则有一段时间 的距离保持不变；（3）速度是越来越大，切线的斜率是越来越大，图象是越来越陡.

考点：函数的应用.

8．C对于A，由于不能确定sinA、sinB的大小，故不能确定f（sinA）与f（sinB）的大小，故A不正确；对于B，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，∴，得，注意到不等式的两边都是锐角，两边取正弦，得，即sinA＞cosB，又∵f（x）定义在（-1，1）上的偶函数，且在区间（-1，0）上单调递增，∴f（x）在（0，1）上是减函数，由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正确；对于C，∵A，B，C是锐角三角形△ABC的三个内角，，得，注意到不等式的两边都是锐角，两边取余弦，得，即，∵f（x）在（0，1）上是减函数，由，可得，得C正确；对于D，由对B的证明可得，故D不正确；

故选C. 考点：函数的奇偶性与单调性；解三角形．

9．B由图像知，幂函数 的性质为：（1）函数的定义域为；（2）当时，，且；当时，，且；所以可能是.故选B.  考点：幂函数的图像和性质.

10．C 由题，对称轴为：.则，。

结合图形

考点：二次函数的单调性及数形结合思想。

11．B  由求的零点，即可转化为与图象的交点个数，

坐标系分别画出两个函数与的图象可得：

交点由2个。

考点：函数与零点及数形结合思想。

12．D  ，所以直线的斜率为，倾斜角为   考点：函数导数的几何意义

13．.  由题意知：函数的定义域为；函数；令，则；所以当且仅当时，.

考点：指数函数和对数函数的定义域和值域；二次函数的最值.

14．由二次函数图像知：当时，，即；当时，，即；综上实数的取值范围是

考点：二次函数图像与性质

15．2  试题分析：，由函数在处有极大值可得

考点：函数导数与极值

16．①②③⑤  由题意，可知所以①正确故②正确，任何整数除以4所得的余数只有0，1,2,3四种情况，所以③正确④原命题正确，逆命题不对比如a=3,b=16，显然⑤正确 .

考点：考察学生对新概念的理解.

17． 设，则=为纯虚数，所以

，因为，所以；又。解得  所以

考点：1复数的计算；2复数的模长。

18．（1）设x<0,则-x>0, ．  3分

又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)．

于是x<0时   5分

所以  6分

（2）要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, （画出图象得2分）

结合f(x)的图象知   10分

所以故实数a的取值范围是(1,3]．  12分

考点：函数奇偶性，函数单调性.

19．（1）因为，   2分

又，  4分

所以  6分

（2）（1）中命题的逆命题是：“已知函数是上的增函数，

若，则”为真命题.用反证法证明如下：  7分

假设  10分

这与已知矛盾  11分

所以逆命题为真命题。  12分

考点：1，函数单调性2，函数奇偶性.

20．试题解析：．（1）由题意得当时即∴

∴

∴

∴所求的函数解析式为

（2）由（1）得

∵∴∴

当且仅当即时取等号.

∴当2014年广告促销费用投入1万元时，该将获利最大.

考点：函数模型的选择与应用

21．解：（1）若，则，   1分

由=0，得，                         2分

解得，                              4分

∴当时，函数的零点是1.        5分

（2）已知函数

①当时，，由得，

∴当时，函数在区间上恰有一个零点.               6分

当时，                              7分

②若，则，由（1）知函数的零点是，

∴当时，函数在区间上恰有一个零点.                    8分

③若，则,

由,

解得，即 ,                           10分

∴函数在区间上必有一个零点.

要使函数在区间上恰有一个零点.

必须 ，或 ,  11分

解得 ,    13分

又∵或,∴或,

综合①②③得，的取值范围是．                      12分

考点：函数的零点，一元二次方程根的分布.

22．解：（1）当时，．由，得，

（ⅰ）时，不等式化为，即．

不等式组的解集为．

（ⅱ）当时，不等式化为，不可能成立．

不等式组的解集为．

（ⅲ）当时，不等式化为，即．

不等式组的解集为．

综上得，的解集为．

（2）若，不满足题设条件．

若的最小值为．

若的最小值为．

所以的充要条件是，从而的取值范围为．

考点：1、绝对值不等式的解法；2、分类讨论的思想．

23．（1）由得，

得，曲线的普通方程为：；

由得代入得，

所以直线的普通方程为．

（2）  圆心到直线的距离为，

所以由勾股定理得，

解之得，或．

考点：1．直线的参数方程与普通方程的互化；2．圆的弦长问题．

24． （1）连接，由已知得，，在中，由已知得，∴．

连结，∴是圆的切线． 

（2）设，由已知得，，由射影定理可得，，∴，解得，∴．

考点：1．切线的判定；2．圆周角定理．