专题02 整式的乘法与因式分解——2023年河南省中考数学模拟题分项选编

2023年河南省中考数学模拟题分项选编

专题02  整式的乘法与因式分解

一、单选题

1．（2023·河南洛阳·统考三模）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2023·河南南阳·统考二模）下列选项的括号内填入，等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

3．（2023·河南开封·一模）运算结果为a6的式子（　　）

A．  B． C．  D．

4．（2023·河南新乡·统考二模）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

5．（2023·河南安阳·统考二模）下列各式计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

6．（2023·河南许昌·统考一模）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

7．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）下列运算正确的是（　　）

A．5m+2m=7m2

B．﹣2m2•m3=2m5

C．（﹣a2b）3=﹣a6b3

D．（b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2

8．（2023·河南商丘·统考一模）下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

9．（2023·河南南阳·统考一模）多项式因式分解的结果是（　　）

A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2

二、填空题

10．（2023·河南焦作·一模）已知，则的值为______．

11．（2023·河南开封·统考模拟预测）因式分解：_____．

12．（2023·河南南阳·统考一模）因式分解：_____．

13．（2023·河南南阳·统考二模）一个二次二项式分解后其中的一个因式为，请写出一个满足条件的二次二项式______．

14．（2023·河南许昌·统考二模）分解因式：________．

15．（2023·河南信阳·校考一模）分解因式：________．

16．（2023·河南洛阳·统考一模）因式分解：______．

三、解答题

17．（2023·河南驻马店·校联考二模）计算或化简：

（1）

（2）（2a+3b）（3b﹣2a）﹣（3b﹣a）2

18．（2023·河南周口·统考二模）如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，故4，12，20都是神秘数．

(1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”_________

(2)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗?为什么?

(3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值?若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

19．（2023·河南郑州·郑州外国语中学校考二模）若一个整数能表示成，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为，再如，是整数），所以也是“完美数”．

(1)请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；

(2)已知，是整数，为常数）要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由；

(3)如果数m，n都是“完美数”，试说明也是“完美数”．

20．（2023·河南新乡·校考二模）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为这两个连续偶数构造的“巧数”，如：，，，因此4，12，20这三个数都是“巧数”．

(1)请你判断，28______（填“是”或“不是”）“巧数”；

(2)设两个连续偶数为和（其中n为正整数），请判断由这两个连续偶数构造的“巧数”是否为4的倍数，并证明你的结论；（提示：对“”因式分解）

(3)请直接写出小于101的最大“巧数”．

参考答案

1．C

【分析】根据整式的运算法则逐项进行判断即可得出答案．

【详解】A、和不是同类项不能合并，此选项错误，故选项A不符合题意；

B、，此选项错误，故选项B不符合题意；

C、，此选项正确，故选项C符合题意；

D、，此选项错误，故选项D不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了整式的运算，涉及合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等知识，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．

2．D

【分析】把代入各项，然后利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．

【详解】解：A、，原选项计算错误，故A不符合题意；

B、，原选项计算错误，故B不符合题意；

C、，原选项计算错误，故C不符合题意；

D、，计算正确，故D符合题意；

故选：D．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键对相应的运算法则的掌握．

3．B

【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行逐项运算即可作出判断．

【详解】解：A、，故A不符合题意；

B、，故B符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、与-a不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

4．C

【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，平方差公式，进行计算后判断即可．

【详解】A、与不是同类项，无法进行合并，故选项A错误；

B、，故选项B错误；

C、，故选项C正确；

D、，故选项D错误，

故选C．

【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．

5．C

【分析】根据单项式乘以单项式，积的乘方，平方差公式和合并同类项的计算法则求解即可．

【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；

B、，原式计算错误，不符合题意；

C、，原式计算正确，符合题意；

D、，原式计算错误，不符合题意；

故选C．

【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，平方差公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．

6．D

【分析】根据单项式乘单项式，积的乘方的性质，合并同类项的法则和平方差公式，对各选项计算后求解．

【详解】解：A、，故本选项不符合题意；

B、，故本选项不符合题意；

C、不能合并，故本选项不符合题意；

D、，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查单项式乘单项式，幂的乘方和积的乘方的性质，合并同类项的法则和平方差公式，熟练掌握运算法则是关键．

7．C

【详解】试题分析：选项 A，根据合并同类项法则可得5m+2m=（5+2）m=7m，错误；选项B，依据单项式乘单项式法则可得﹣2m2•m3=﹣2m5，错误；选项C，根据积的乘方法则可得（﹣a2b）3=﹣a6b3，正确；选项D，根据平方差公式可得（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，错误．故答案选C．

考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式．

8．C

【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式逐一判断即可．

【详解】解：，故选项A错误；

，故选项B错误；

，故选项C正确；

，故选项D错误，

故选：C．

【点睛】本题考查了有理数的加减、乘除法则，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式是解题的关键．

9．D

【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．

【详解】解：．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．

10．

【分析】先逆用同底数幂相除，再将整体代入即可求解．

【详解】∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，掌握同底数幂相除的运算法则是解答本题的关键．

11．

【分析】用完全平方公式分解即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．

12．

【分析】利用提取公因式法因式分解解题．

【详解】解：原式．

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解，掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．

13．（答案不唯一）

【分析】根据因式分解的结果，乘以一个单项式即可求解．

【详解】解：∵，

∴出一个满足条件的二次二项式可以是：（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了因式分解与整式乘法的联系，掌握因式分解是解题的关键．

14．/

【分析】直接根据平方差公式因式分解即可求解．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．

15．/

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式计算即可．

【详解】解：原式

故答案为：．

【点睛】本题考查分解因式的方法，提公因式法和公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．

16．

【分析】利用提公因式法因式分解即可．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

17．（1）5；（2）﹣5a2+6ab．

【分析】（1）先逐项化简，再根据有理数的加减法计算即可；

（2）先根据平方差和完全平方公式计算，再合并同类项即可.

【详解】（1）原式＝4+﹣+1

＝5；

（2）原式＝9b2﹣4a2﹣9b2+6ab﹣a2

＝﹣5a2+6ab．

【点睛】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，正确化简各数是解（1）的关键，正确掌握平方差和完全平方公式是解（2）的关键.

18．(1)28

(2)能够被4整除，理由见解析

(3)两个相邻的“神秘数”之差是定值8

【分析】（1）根据“神秘数”的定义写出一个“神秘数”即可；

（2）根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“神秘数”，利用平方差公式化简即可判断；

（3）利用“神秘数”的定义和（2）中结论即可得出结论．

【详解】（1）解：∵，

∴28是“神秘数”，

故答案为：28；

（2）解：能够被4整除，理由为：

根据定义，两个连续偶数为和（k为非负整数），构造的“神秘数”为，

∵

，

∴构造的“神秘数”能够被4整除；

（3）解：根据（2）中结论，设两个相邻的“神秘数”为，，

∵

，

∴两个相邻的“神秘数”之差是定值8．

【点睛】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的关键．

19．(1)8，不是

(2)，理由见解析

(3)见解析

【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；

（2）利用配方法，将配成完美数，可求的值，

（3）根据完全平方公式，可证明是“完美数”．

【详解】（1），

是完美数，

，

是完美数；

（2），

时，是完美数；

（3）设，，，，，为整数），

是完美数．

【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．

20．(1)是

(2)是，理由见解析

(3)100

【分析】（1）根据巧数的定义即可得出答案；

（2）利用平方差公式展开计算即可；

（3）根据巧数的定义进行解答便可．

【详解】（1）解：∵28=82-62，

∴36是“巧数”，

故答案为：是；

（2）解：两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数，理由如下：

（2n）2-（2n-2）2

=（2n+2n-2）（2n-2n+2）

=2（4n-2）

=4（2n-1），

∵n为正整数，

∴2n-1一定为正整数，

∴4（2n-1）一定能被4整除，

∴由这两个连续偶数构造的“巧数”是4的倍数；

（3）解：∵282-262=108，262-242=100，242-222=92，

∴小于101的最大“巧数”是100．

【点睛】本题考查了实数的新定义问题，因式分解的应用，掌握巧数的定义是解题的关键．