2023年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的纳米刻蚀机已获成功，纳米就是米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式组的解集，在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一个等腰三角形的两条边分别是和，则第三条边的边长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

7.  如图，直线，如图放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列说法正确的是(    )

A. “经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件
B. 已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可投中次
C. 处于中间位置的数一定是中位数
D. 方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小

9.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接交于点，下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  方程的解是______ ．

13.  已知扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角为______度．

14.  在中，，如果，，那么的值是______．

15.  如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是______ ．

16.  个人进行游泳比赛，赛前，，，等名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”，说：“我绝对不会得最后一名”，说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”，说：“那只有我是最后一名”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分

先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．梦想从学习开始，事业从实践起步．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：

本次参与问卷调查的初中生共有______人，将条形统计图补充完整；
扇形统计图中“合格”所对应的百分比为______，“较差”所对应的圆心角度数为______度；
该校某班有名同学名男同学、名女同学在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这名同学中随机选取名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率．

20.  本小题分
如图，菱形的对角线、交于点，过点作，且，连接、．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

21.  本小题分
如图，某中学依山而建，校门处有一坡度：的斜坡，长度为米，在坡顶处看教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处仰望的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点．
求坡顶的高度；
求楼顶的高度．

22.  本小题分
如图，在中，，以腰为直径作半圆，分别交、于点、，连结．

求证：；

若，，求的长．

23.  本小题分
从年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段某商家在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足，设销售这种商品每天的利润为元．
求与之间的函数关系式；
该商家每天想获得元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？
若销售单价不低于元，且每天至少销售件时，求的最大值．

24.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，，，，点为线段的中点，过点作直线平行于轴交线段于点，动点从点出发沿射线以每秒个单位的速度运动，过点作直线垂足为，过、、三点作圆，交线段于点，连接，，设点运动的时间为秒．
求经过、、三点的抛物线表达式；
当与相似时，求的值；
当的外接圆与线段有公共点时，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，在线段上找一点，把分成和两段，且满足，则我们称点为线段的品质点，他们的比们叫做品质数，记为即：显然，品质数与线段的长度无关，是一个定值．

求的值；
如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点与坐标原点重合，边、分别在轴、轴上，点为线段中点，连接，点为线段上一点，使得沿所在直线折叠后点与上的点重合求证：是线段的品质点；
在的条件下，如图，已知点为线段上一动点，一次函数经过点，并与过点的反比例函数分别交于，两点其中，若为线段的品质点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得，的相反数是．
故选：．
根据相反数定义直接求值即可得到答案．
本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不能合并，故A不符合题意；
B.，故B不符合题意；
C.，故C符合题意；
D.，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可．
本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，得；
由，得
，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

6.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
，
不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为，底边长为时，
等腰三角形的三边长分别为，，，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是，
故选：．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为，底边长为时，当等腰三角形的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：为三角形的外角，
，
，
，
，，
．
故选：．
由三角形外角性质求出的度数，再由与平行，利用两直线平行同旁内角互补，得到的度数，根据与的度数求出的度数即可．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中位数、方差、随机事件以及概率，关键是掌握中位数、随机事件的定义，掌握概率和方差的意义．根据概率的意义以及中位数的定义、方差的意义分别分析得出答案．
【解答】
解：、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投次一定可投中次，说法错误；
C、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；
D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：原方程整理得：，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即，
解得：，
故选：．
先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
，故A正确；
，故B错误；
由旋转知，，故C错误；
，，
与不平行，故D错误，
故选：．
根据旋转的性质得，，，可知是等边三角形，再逐一判断即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．
先提公因式，再利用平方差公式即可进行因式分解．
【解答】
解：原式，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设扇形的圆心角为．
则有，
解得，
故答案为
利用扇形的面积公式：计算即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
，
，
故答案为：．
先由勾股定理求出的长，再根据正弦对边斜边计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，点是斜边的中点，
，
平分，
，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用三角形的中位线定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质、三角形的中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及三角形的中位线定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如果错，则为第一，为第二，为最后一名，所以是错的．
如果错，则最后，也错，出现矛盾；
如果错，则是第一或最后一名，与第一、最后，矛盾；
如果错，其他都对的话，则没有最后一名；
故答案为：．
分别假设每个人的预测错误，进而分别分析得出答案．
此题主要考查了推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】分别根据负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则，绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
，
当时，
原式

． 

【解析】利用平方差公式、单项式乘多项式及完全平方公式去括号，再合并同类项化简后，再将的值代入计算可得．
本题主要考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】     

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
抽取的学生中良好的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：

故答案为：；

扇形统计图中“合格”所对应的百分比为：；
“较差”所对应的圆心角度数为．
故答案为：，；

画树状图如图：

共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，
则所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的概率为．
根据优秀的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出良好的人数，再将条形统计图补充完整即可；
用合格的人数除以总人数求出合格的人数，用乘以“较差”的人数所占的百分比求出“较差”所对应的圆心角度数；
画树状图，共有个等可能的结果，所选两位同学恰好是名男同学和名女同学的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图和条形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由得：四边形是矩形，
，，
在中，由勾股定理得：． 

【解析】由菱形的性质得，，推出，即可得出四边形是平行四边形，又由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，，易证是等边三角形，得出，由勾股定理求出，则，由矩形的性质得出，，再由勾股定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：过点作，过点作，

：，
，
米，
设米，米，
，
，
米，
则坡顶的高度是米；
设为米，则米，
，
米，
，
，
解得，
米，
米，
答：的长度为米． 

【解析】过点作，过点作，由的坡度和长即可求出；
由，根据、、米解三角形求出，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角和俯角问题，解直角三角形的应用坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，，
为半圆的直径，
，
，
，
，
；
，，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意，有：，
化简，得：，
根据，解得：，
即函数关系为：，；
令，可得：，
解得：，或者，
当时，销量：件；
当时，销量：件；
销量越高，越有利于减少库存，
即为了减少库存，将销售单价应定为元；
根据题意有：，解得：，
将化为顶点式为：，
，
当时，函数值随着的增大而减小，
，
当时，函数值最大，最大为：．
答：此时的最大值为元． 

【解析】根据销售件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；
令，可得：，解方程即可求解；
根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着的增大而减小，问题随之得解．
本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：设经过点、、三点的抛物线解析式为，
把点代入得：，
解得：，
抛物线解析式为；
由题意得：，
，，，
，，，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，
∽，
与相似时，与相似，
当∽时，，
，
；
当∽时，，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或；
取的中点，如图，

点为线段的中点，
，
直线，垂足为，轴，
，，
，，
，
由中点坐标公式得：，
当与轴相切时，则的半径为，
，
由勾股定理得，，即，
解得：．
当经过点时，，
∽，
，
，
，
，
此时，
满足条件的的值为． 

【解析】由题意可设经过点、、三点的抛物线解析式为，然后把点的坐标代入求解即可；
如图，首先证明∽，推出与相似时，与相似，分两种情形：当∽时，，当∽时，，分别构建方程求解即可；
取的中点，求出当与轴相切时，当经过点时，的值，即可判断．
本题主要考查二次函数、圆的基本性质与切线定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数、圆的基本性质与切线定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：设，，则，
，
，
，
，
，
解得：舍去或，经检验是原方程的解，
；

证明：如图所示，连接，

正方形的边长为，
依题意，，，
，
折叠，
，，
，
设，则，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
是线段的品质点；

解：，，
，
代入，，
反比例函数解析式为，
联立，消去得，，
设，的横坐标为，，则，是的两个根，
，，
，
如图所示，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，

，
，
为线段的品质点，，
，
，
即，
设，则，，
，
，，
，
点为线段上一动点，一次函数经过点，
由可得，
，
，则，
，，
，
；
又，，
，
综上所述，． 

【解析】设，，则，根据题意建立方程即可求解；
连接，设，则，，在中，，在中，，解方程得出，则，即可得证；
依题意得出，反比例函数解析式为，立，消去得，，设，的横坐标为，，则，是的两个根，则，，得出，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据平行线分线段成比例得出，进而得出，即，设，则，，得出，根据点为线段上一动点，一次函数经过点，得出，进而即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，坐标与图象，平行线分线段成比例，反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，不等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．