2023年天津市东丽区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市东丽区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一年之中地球与太阳之间的距离随时间的变化而变化，地球与太阳之间的平均距离为，将用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，几何体的左视图是(    )

 

A.  B.
C.  D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，四边形是正方形，点为原点，点的坐标是，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知抛物线是常数，经过点，其对称轴为直线有下列结论：
；
；
若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______ ．

14.  计算的结果等于______．

15.  一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“”“”“”“”“”“”掷小正方体后，观察朝上一面的数字，出现“”的概率是______ ．

16.  直线与轴的交点坐标为______．

17.  如图，正方形的边长是，对角线的交点为，点在边上且，，连接，则 ______ ．

18.  如图，在网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点，以格点为圆心，为直径作圆，点在圆上．
Ⅰ线段的长等于______ ；
Ⅱ请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在上找出一点，使，并简要说明画图方法不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上分别表示出来；

 

20.  本小题分
某校为了解学生一周课外阅读的时间单位：，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制出如下统计图和图，请根据图中提供的信息，回答下列问题：

Ⅰ本次接受调查的学生数为______ ，图中的的值为______ ；
Ⅱ求统计的这组数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
如图，是的直径，点为上一点，和过的切线互相垂直，垂足为，切线交的延长线于点．
Ⅰ若，求的度数；
Ⅱ若，，求的长．

22.  本小题分
在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度如图，在处用高米的测倾器测得建筑物顶部的仰角为，向建筑物的方向前进米到达处，在处测得建筑物顶部的仰角为，求建筑物的高约为多少米？结果精确到米，
 

23.  本小题分
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知小明家、社区阅览室、博物馆依次在同一条直线上，社区阅览室离小明家，博物馆离小明家小明从家出发，匀速步行了到社区阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到博物馆：在博物馆停留后，匀速骑行了返回家给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
社区阅览室到博物馆的距离为______ ；
小明从博物馆返回家的速度为______ ；
当小明离家的距离为时，他离开家的时间为______
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，矩形的坐标分别为点，点，点，点，动点从出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称图形，设点的运动时间为．
Ⅰ如图，若，求的长；
Ⅱ如图，若点恰好落在上时，求点的坐标；
Ⅲ是否存在异于图的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的值？若不存在，请说明理由．

 

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点．
Ⅰ求抛物线解析式及顶点的坐标；
Ⅱ为抛物线对称轴上一点，为轴上一点，且，当点在线段上含端点运动时，求的取值范围，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
．
故选：．
原式先算绝对值，再算乘法即可求出值．
此题考查了有理数的乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
本题求角的余弦函数值，需要记住．
本题考查了特殊角的三角函数值．特殊角有、、，记住它们的正弦、余弦、正切值是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

5.【答案】 

【解析】解：几何体左视图为：
．
故选：．
应用简单组合体的三视图的判定方法进行判定即可得出答案．
本题主要考查了简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的判定方法进行求解是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了估算无理数大小，正确把握最接近的有理数是解题关键．
直接利用二次根式的性质得出的取值范围．
【解答】
解：，
的值在和之间．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：原式

，
故选：．
根据同分母分式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查分式的运算，掌握分式加减法的计算方法以及因式分解是正确解答的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，点的坐标是，
，
点的坐标为，
故选：．
根据正方形的性质得出，进而解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：
把代入，可得：，
解得，
把代入，可得，
原方程组的解是．
故选：．
应用代入消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
点，，都在反比例函数的图象上，且，
，
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
，，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，其对称轴为直线，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，
故正确；
抛物线经过点，对称轴为直线，
抛物线经过点关于直线的对称点，
抛物线与直线的交点为，，
关于的一元二次方程的两根分别为，，
故正确．
故选：．
由，则根据对称轴为直线得出，由经过点，即可求得，即可判断；由，即可得出，即可判断；根据函数对称性以及函数与方程的关系，即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
根据合并同类项法则进行计算即可．
本题考查同类项、合并同类项，掌握合并同类项法则是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为．
利用平方差公式求解．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

15.【答案】 

【解析】解：掷小正方体后共有种等可能结果，其中朝上一面的数字出现“”的有种结果，
朝上一面的数字出现“”的概率是，
故答案为：．
直接由概率公式求解即可．
本题主要考查了概率公式，掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线与轴交点坐标是．
故答案为：．
令，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在上截取，

在正方形，，，，，，、分别平分、，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
在中，根据勾股定理，得，
故答案为：．
在上截取，根据正方形性质，得，，，再根据同角的余角相等，得，从而证明≌，进而得到；在中，根据勾股定理，得，再根据等面积法求出，再通过两次勾股定理的应用得出．
本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
 

18.【答案】  取格点，连接，，，并延长，交于点，则点即为所求 

【解析】解：；
如下图，取格点，连接，，，并延长，交于点，则点即为所求．

根据勾股定理求解；
取格点，连接，，，由勾股定理可得，则四边形为菱形，可得，延长，于点，即可，则点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图、圆周角定理、勾股定理、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集表示在数轴上如下：

故答案为：Ⅰ；Ⅱ．
根据解一元一次不等式的步骤，解出每个不等式，再把解集表示在数轴上即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ本次接受调查的学生数为：，
，即；
故答案为：，；
Ⅱ这组数据的平均数是：；
众数是，
中位数是：．
Ⅰ用的人数除以可以求得本次调查的学生人数，再用的人数除以本次调查的学生人数可得的值；
Ⅱ根据统计图中的数据可以求得这组数据的平均数和众数、中位数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：Ⅰ连接，

为的切线，
，
，
又，
，
，
，
，
；
Ⅱ连接，

，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】Ⅰ连接，由切线的性质得出，求出，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案；
Ⅱ连接，证明为等边三角形，得出，求出的长，由直角三角形的性质可求出答案．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，设米，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：．
米，
则米．
答：建筑物的高约为米． 

【解析】设米，分别在和中，表示出和的长度，然后根据米，求出的值，继而可求出建筑物的高度．
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．
 

23.【答案】          或 

【解析】解：Ⅰ从图象可知，小明从家到社区阅览室的速度为：，
当时，；
由图象知．当时，；当时，；
故答案为：，，；
Ⅱ由图象知，社区阅览室到博物馆的距离为；
小明从博物馆返回家的速度为；
小明从舍去阅览室到博物馆走了，
小明行走所用时间为，
故小明离家的距离为时，他离开家的时间为；
当小明从博物馆返回家时，行走用时，
此时小明距家，离开家的时间为，
综上，当小明离家的距离为时，他离开家的时间为或．
故答案为：；；或；
Ⅲ当时，；
当时，；
当时，设，
把，代入解析式得：，
解得，
，
综上所述，当时，关于的函数解析式为．
Ⅰ观察函数图象即可得答案；
Ⅱ社区阅览室离小明家，博物馆离小明家可得答案；
用路程除以时间可得速度；
分两种情况，分别可得小明离家距离为时，他离开贾的时间；
Ⅲ分段求出函数关系式即可．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

24.【答案】解：Ⅰ，，
，
在中，
，，
；
Ⅱ，，，
，，
在中，
，
若点恰好落在上的处，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
点的坐标为；
Ⅲ分两种情况：
当时，
此时又有两种情况：
点在上，如图所示：

由题意，得：，
在中，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
点在延长线上，如图所示：

由题意，得：，
在中，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
当时，如图所示：

由题意，得：，
则四边形为正方形，
，即；
综上所述，在异于图的时刻，使得是直角三角形，符合题意的值为或或． 

【解析】Ⅰ根据坐标确定的长，由确定的长，再根据勾股定理即可求出的长；
Ⅱ先求出，用的代数式表示，，再在中，利用勾股定理列方程求出的值，即可求出点的坐标；
Ⅲ分情况讨论，当时，点在上，点在延长线上；当时，分别画出图形，利用勾股定理列方程，或利用正方形的性质求出的值即可．
本题是四边形综合题，以平面直角坐标系为背景，主要考查矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理、分类讨论等知识；熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：Ⅰ抛物线与轴交于点，，
，
解得，
，
令，则，
，
，
顶点；
Ⅱ由知，抛物线的对称轴为直线，顶点为，，
设，
则，
，
，
，
，
，
化简得：，
，
当时，有最小值，
当时，；当时，．
当时，有最大值为．
的取值范围为． 

【解析】Ⅰ利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进一步求得点和顶点的坐标；
Ⅱ设，先根据各点坐标求出，，，根据，由勾股定理得出关于的代数式，再根据函数的性质和的取值范围求出的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是对二次函数性质的应用．