2023年广东省江门市鹤山市沙坪中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省江门市鹤山市沙坪中学中考数学二模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −3的绝对值是( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2. 台湾省自古以来就是中国领土不可分割的一部分，祖国统一是两岸人民的共同心愿.据统计，2022年台湾省常住人口总数约为23410000人，数据23410000用科学记数法可表示为( )
A. 23.41×106B. 2.341×107C. 0.2341×108D. 2.341×108
3. 如图是一个圆锥，下列平面图形既不是它的三视图，也不是它的侧面展开图的是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 已知一元二次方程x2−3x+1=0的两根分别为m、n，则m+n的值是( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
6. 若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( )
A. 十边形B. 九边形C. 八边形D. 七边形
7. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k>1C. k=1D. k≥0
8. 如图，正比例函数y=−3x与一次函数y=kx+4的图象交于点P(a,3)，则不等式kx+4>−3x的解集为( )
A. x<−1
B. x>−1
C. x>−2
D. x>0
9. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，且AD=8，BC=12，点E为AC中点，则DE的值为( )
A. 5
B. 5.8
C. 6
D. 6.5
10. 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1，PB= 5.下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是 2；③EB⊥ED；④S正方形ABCD=4+ 6.其中正确的结论是( )
A. ①②B. ①④C. ①③④D. ①②③
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 9的平方根是 ．
12. 计算(π−3)0+(12)−3+tan45°= ______ ．
13. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC=112°，则∠BOD= ______ 度
.
14. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共60个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里红球可能是______ 个
.
15. 如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有______ 个正方形．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先化简，再求值：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1，其中a=3．
17. (本小题8.0分)
如图，已知锐角△ABC．
(1)尺规作图.作AC边的垂直平分线交BC于点D；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB=DC，∠B与∠C有什么关系？并说明理由．
18. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交对角线BD于点E，CF平分∠DCB交对角线BD于点F，连接AF，CE．
(1)若∠BCF=50°，求∠ADC的度数；
(2)求证：四边形AECF为平行四边形．
19. (本小题9.0分)
在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？
20. (本小题9.0分)
如图，已知，A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，过A作y轴的垂线交反比例函数y=kx的图象于点D，连接CD，AB/​/CD．
(1)证明：四边形ABCD为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式．
21. (本小题9.0分)
2022年11月12日，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功.为庆祝我国航天事业的蓬勃发展，某校举办以“扮靓太空传递梦想”为主题的绘画大赛，现从中随机抽取部分参赛作品，对其份数和成绩进行整理，制成了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息，解答下列问题：

(1)本次抽取的参赛作品成绩的众数为 分，中位数为 分，并补全条形统计图；
(2)求本次抽取的参赛作品的平均成绩；
(3)若该校共收到900份参赛作品，请估计此次大赛成绩不低于90分的作品有多少份？
22. (本小题12.0分)
如图，已知AB是⊙O直径，且AB=8；C，D是⊙O上的点，OC/​/BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD=30°，过点D作射线交AB延长线于点F．
(1)求∠COA的度数；
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)；
(3)若FD2=FA⋅FB，试证明FD是⊙O的切线．
23. (本小题12.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，过点P作x轴的垂线l，垂线l交BC于点E，AD/​/垂线l，求证△ADM∽△PEM；当PMAM最大时，求点P的坐标及PMAM的最大值；
(3)在(2)的条件下，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−3的绝对值是3．
故选：A．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a的绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是它的相反数−a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2.【答案】B
【解析】解：23410000=2.341×107．
故选：B．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：根据圆锥的特征可知：圆锥的侧面展开后是一个扇形，三视图分别为三角形和圆形，不可能是正方形，
故选：D．
根据圆锥的特征：圆锥的侧面展开后是一个扇形和三视图，据此选择即可．
此题考查了圆锥的侧面展开图，是对圆锥基础知识的掌握情况的了解，应注意平时基础知识的积累．
4.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程x2−3x+1=0的两根分别为m、n，
∴m+n=−ba=3．
故选：A．
根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出m+n的值，由此即可得出结论．
本题考查根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：(n−2)⋅180°=1080°，
∴n=8，
即这个多边形是八边形．
故选：C．
由多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)，可求多边形的边数．
本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握多边形的内角和定理．
7.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1，b=2，c=k，
∴△=b2−4ac=22−4×1×k>0，
∴k<1，
故选：A．
判断一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△=b2−4ac的值的符号，即可求解．
此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．
8.【答案】B
【解析】解：把P(a,3)，代入y=−3x得−3a=3，解得a=−1，则P点坐标为(−1,3)，
所以当x>−1时，kx+4>−3x，
即不等式kx+4>−3x的解集为x>−1．
故选：B．
先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后观察函数图象得到，当x<1时，直线y=2x都在直线y=kx+4的下方，于是可得到不等式2x本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，AD是角平分线，
∴CD=12BC=6，AD⊥BC，
根据勾股定理可得：AC= AD2−CD2=10，
∵点E为AC中点，
∴DE=12AC=5，
故选：A．
根据等腰三角形“三线合一”的性质可得CD=12BC=6，AD⊥BC，根据勾股定理求出AC的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解．
本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
10.【答案】C
【解析】解：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∵在△APD和△AEB中，AE=AP∠EAB=∠PADAB=AD，
∴△APD≌△AEB(SAS)；故①正确；
由△APD≌△AEB得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，则BF的长是点B到直线AE的距离，
在△AEP中，由勾股定理得PE= 2，
在△BEP中，PB= 5，PE= 2，由勾股定理得：BE= 3，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°−45°−90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF= 62，
故②是错误的；
因为△APD≌△AEB，所以∠ADP=∠ABE，而对顶角相等，所以③是正确的；
连接BD，则S△BPD=12PD×BE=32，
所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 62，
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+ 6所以④是正确的；
综上可知，正确的有①③④，
故选：C．
①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所以△EFB是等腰Rt△，故B到直线AE距离为BF= 62，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④连接BD，根据三角形的面积公式得到S△BPD=12PD×BE=32，所以S△ABD=S△APD+S△APB+S△BPD=2+ 62，由此即可判定．
此题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
11.【答案】±3
【解析】
【分析】
直接利用平方根的定义计算即可．
【解答】
解：因为±3的平方是9，
所以9的平方根是±3．
故答案为：±3
【点评】
本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题关键．
12.【答案】10
【解析】解：(π−3)0+(12)−3+tan45°
=1+8+1
=10．
故答案为：10．
任何非零实数的零指数幂都等于1，结合负整数指数幂和特殊角的三角函数值，计算即可．
本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握实数的运算，特殊角的三角函数值是解题关键．
13.【答案】38或98
【解析】解：①当OD在∠AOB内部时，∠BOD=∠COD+∠AOB−∠AOC=90°+60°−112°=38°．
②当OD在∠AOB外部时，∠BOD=360°−∠AOC−60°−90°=98°，
故答案为：38或98．
分两种情形分别求解即可．
本题考查了余角和补角的知识，首先确定这几个角之间的关系，来求出∠BOD的度数．
14.【答案】42
【解析】解：根据题意，袋子中红球的个数约为60×(1−0.3)=42(个)，
故答案为：42．
用球的总个数乘以红球频率的估计值即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15.【答案】91
【解析】解：寻找规律：观察图形发现，
第1幅图有1个正方形，
第2幅图有1+4=5个正方形，
第3幅图有1+4+9=14个正方形，
……，
第n个有：16n(n+1)(2n+1)个正方形，
则第6幅图有16×6(6+1)(2×6+1)=91(个)正方形．
故答案为：91．
观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…从而得到答案．
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细关系图形并找到规律，本题采用了穷举法．
16.【答案】解：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1
=2aa+1−2(a−2)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a−2
=2aa+1−2a−2a+1
=2a+1．
当a=3时，原式=12．
【解析】先根据分式的除法法则进行变形，再根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则算减法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
17.【答案】解：(1)如下图：

(2)∠B=2∠C，
理由如下：
连接AD，
∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=DC，
∴∠C=∠CAD，
∵AB=DC，
∴AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
∴∠B=2∠C．
【解析】(1)根据线段是垂直平分线的作法画图；
(2)理由线段的垂直平分线和等腰三角形的性质证明．
本题考查了基本作图，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DCB=180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF=∠BCF=50°，
∴∠ADC=180°−∠DCF−∠BCF=180°−50°−50°=80°；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，∠BAD=∠DCB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠DCB，
∴∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形得出∠ADC+∠DCB=180°，再根据角平分线的定义得出∠DCB的度数即可求解；
(2)由ASA证明△ABE≌△CDF得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，再根据平行线的判定得出AE/​/CF即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元，
依题意得：x+2y=29002x+y=2800，
解得：x=900y=1000．
答：租用一辆甲型汽车的费用为900元，租用一辆乙型汽车的费用为1000元．
(2)设租用m辆甲型汽车，则租用(6−m)辆乙型汽车，
依题意得：900m+1000(6−m)≤5700，
解得：m≥3．
又∵m，6−m均为非负整数，
∴m=3，4，5，6，
∴该公司至少租用3辆甲型汽车．
【解析】(1)设租用一辆甲型汽车的费用为x元，租用一辆乙型汽车的费用为y元，根据“租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元，租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租用m辆甲型汽车，则租用(6−m)辆乙型汽车，根据总租金=每辆车的租金×租车辆数结合此次租车费用不超过5700元，即可得出关于m的一元一次不等式，结合m，(6−m)均为正整数即可得出至少租用几辆甲型汽车．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
20.【答案】(1)证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，
∴AD/​/BC，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，
∴BC=2−(−3)=5，AO=4，BO=3，CO=2，
在Rt△ABO中，AB= AO2+BO2= 42+32=5，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：过点D作DH⊥x轴于H，

则四边形AOHD是矩形，
∴DH=AO=4，OH=AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5，
∴OH=5，
∴D(5,4)，
∵反比例函数y=kx的图象于点D，
∴4=k5，
∴k=20，
∴此反比例函数的解析式为y=20x；
【解析】(1)根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，再根据勾股定理得到AB= AO2+BO2= 42+32=5，根据菱形的判定定理即可得到结论；
(2)过点D作DH⊥x轴于H，根据矩形的性质得到DH=AO=4，OH=AD根据菱形的性质得到AD=AB=5，求得D(5,4)，待定系数法即可得到结论；
本题是反比例函数的综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
21.【答案】80 80
【解析】解：(1)总人数为3030%=100(人)，则90人的人数为100−30−40−5=25(人)，
∴众数为80，中位数为第50与51个的平均数，即80+802=80，
补全统计图如图，

故答案为：80，80．
(2)平均数为1100(70×30+80×40+90×25+100×5)=80.5(分)；
(3)估计此次大赛成绩不低于90分的作品有900×5+25100=270(份)；
答：估计此次大赛成绩不低于90分的作品有270份．
(1)根据70分的占比与人数求得总人数，进而得出90分的人数，进而补全统计图；
(2)根据平均数的定义进行计算即可求解；
(3)根据样本估计总体，用900乘以90分以上人数的占比即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22.【答案】(1)解：∵OC/​/BD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠COA=∠OCB+∠OBC=60°；
(2)解：如图，连接OD，
∵∠CBD=∠OBC=30°，
∴∠BOD=60°，
∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影=S扇形BOD−S△BOD=60π×16360−12×4× 32×4=83π−4 3；
(3)证明：∵FD2=FA⋅FB，
∴FDAF=BFFD，
又∵∠F=∠F，
∴△DBF∽△ADF，
∴∠FDB=∠DAB，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵OA=OD=OB，
∴∠OAD=∠ODA=∠BDF，
∴∠DBF+∠ODB=∠ADO+∠ODB=∠ADB=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
又∵OD是半径，
∴FD是⊙O的切线．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，即可求得∠COA=60°；
(2)根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论；
(3)通过证明△DBF∽△ADF，可得∠FDB=∠DAB，由余角的性质可得OD⊥DF，可得结论．
本题是圆的综合题，考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，切线的判定，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
得4a−2b+c=036a+6b+c=0c=−3，
解得a=14b=−1c=−3，
∴y=14x2−x−3；
(2)如图，

∵PE/​/AD，
∴∠DAM=EPM，∠ADM=∠PEM，
∴△ADM∽△PEM，
∴MPAM=PEAD，
设直线BC的解析式为y=kx+d，
∴6k+d=0d=−3，
∴k=12d=−3，
∴y=12x−3，
设P(t,14t2−t−3)，则E(t,12t−3)，
∴PE=12t−3−14t2+t+3=−14t2+32t，
∵A(−2,0)，
∴D(−2,−4)，
∴AD=4，
∴MPAM=PEAD=−14t2+32t4=−116t2+38t=−116(t−3)2+916，
∴当t=3时，MPAM有最大值916，
∴P(3,−154)；
(3)∵P(3,−154)，D点在l上，则D(3,t)，
∵C(0,−3)，B(6,0)，
∴BC2=32+62=45，CD2=32+(t+3)2=t2+6t+18，BD2=32+t2=t2+9，
当BC为斜边时，45=t2+9+t2+6t+18，
解得：t=3 52−32或t=−3 52−32，
∴D(3,3 52−32)或D(3,−3 52−32)；
当CD为斜边时，t2+6t+18=t2+9+45，
解得：t=6；
∴D(3,6)，
当BD为斜边时，t2+9=45+t2+6t+18，
解得：t=−9；
∴D(3,−9)，
综上所述：△BCD是直角三角形时，D点坐标为(3,6)或(3,−9)或(3,−3 52−32)或(3,3 52−32)．
【解析】(1)将A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代入y=ax2+bx+c即可求解析式；
(2)由PE//AD，可得△ADM∽△PEM，MPAM=PEAD，则求PFAE的最大值即可；
(3)P(3,−154)，D点在l上，则D(3,t)，C(0,−3)，B(6,0)，勾股定理求得DC，BC，DB，分三种情况讨论，勾股定理即可求解．
本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将MPAM的最大值问题转化为求PFAE的最大值问题是解题的关键．