2023年广东省茂名市茂南区部分学校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省茂名市茂南区部分学校中考数学二模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. |−2|的值等于( )
A. 2B. −12C. 12D. −2
2. 从2019年末开始，一场新型冠状病毒疫情席卷了全世界，面对疫情我国人民在党的领导下团结一心取得了决定性胜利．新冠病毒的直径约为0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为( )
A. 1.2×10−9B. 1.2×10−8C. 12×10−8D. 1.2×10−7
3. 下列运算正确的是( )
A. a+2a=3a2B. a2·a3=a5C. (ab)3=ab3D. (−a3)2=−a6
4. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km(如图).能解释这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边D. 两点确定一条直线
5. 如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (3,−2)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−3,2)
7. 若直线y1=ax+b经过第一、二、四象限，则直线y2=bx+a不经过( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 一次足球联赛实行单循环比赛(每两支球队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是( )
A. 12x(x+1)=15B. 12x(x−1)=15C. x(x+1)=15D. x(x−1)=15
9. 任意下列两个图形不一定相似的是( )
A. 正方形B. 等腰直角三角形C. 矩形D. 等边三角形
10. 如图，函数y=ax2+bx+c经过点(3,0)，对称轴为直线x=1，下列结论：
①b2−4ac>0；②abc>0；③9a−3b+c=0；④5a+b+c=0；⑤若点A(a+1,y1)、B(a+2,y2)在抛物线上，则y1−y2<0.其中结论的正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 把多项式x2−4分解因式得：______．
12. 若 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______ ．
13. 若3xmy与−5x2yn是同类项，则m+n= ______ ．
14. 观察下列各式：
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
…
猜想13+23+33+…+83= ______ ．
15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点A(x,y)，我们把点B(1x,1y)称为点A的“倒数点”.如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A.若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
16. 计算：(2 2−π)0−4cs60°+| 2−2|− 18．
四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AD>AB．
(1)作出∠ABC的平分线交AD于点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证：AB=AE．
18. (本小题8.0分)
已知A=(a−a2a+b)÷a2b2a2−b2．
(1)化简A．
(2)若点P(a,b)在直线y=x−3与反比例y=2x的图象的交点，求A值．
19. (本小题9.0分)
覃老师把微信运动里“好友步数排行榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：
根据信息解答下列问题：
(1)填空：m=______，n=______，并补全条形统计图；
(2)这20名朋友一天行走步数中位数落在______组；(填组别)
(3)覃老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．
20. (本小题9.0分)
某玩具商店用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于1750元利润，那么每套售价至少是多少元？
21. (本小题9.0分)
如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，OP=2，求图中阴影部分的面积．
22. (本小题12.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．
(2)当AD=5，tan∠EDC=52时，求FG的长．
23. (本小题12.0分)
如图，抛物线与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，OB=6，顶点D(2,8)，对称轴交x轴于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知直线CD与对称轴形成的夹角为45°，动点M在对称轴上运动且位于点D下方时，是否存在△DCM和△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若a>0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a<0，则|a|=−a．
【解答】
解：|−2|=2．
故选A．
2.【答案】D
【解析】解：0.00000012=1.2×10−7．
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．利用合并同类项、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．
【解答】
解：A.a+2a=3a，因此选项A不正确；
B.a2·a3=a2+3=a5，因此选项B正确；
C.(ab)3=a3b3，因此选项C不正确；
D.(−a3)2=a6，因此选项D不正确．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
【解答】
解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，AB=AC，BC=6，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD=3，
故选：B．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】A
【解析】解：点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,−2)．
故选：A．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】B
【解析】解：∵直线y1=ax+b经过第一、二、四象限，
∴a<0，b>0，
∴直线y2=bx+a经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
根据直线y1=ax+b经过第一、二、四象限，可以得到a<0，b>0，然后即可得到直线y2=bx+a经过哪个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断a、b的正负，利用一次函数的性质解答．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得：12x(x−1)=15．
故选：B．
根据一次足球联赛实行单循环比赛，计划安排15场比赛，”即可列出相应的方程．
本题由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9.【答案】C
【解析】解：A、因为任意两个正方形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意
B、因为任意两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以B不符合题意；
C、因为任意两个矩形的对应边不一定成比例，对应角相等，不是相似图形，所以C符合题意；
D、因为任意两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，是相似图形，所以A不符合题意；
故选：C．
相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解．
此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ>0，
∴b2−4ac>0，
∴①正确；
②∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴b与a异号，即b<0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，
∴②正确；
③∵抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(−1,0)，
∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x增大而减小，
∴当x=−3时，y>0，
∴9a−3b+c>0，
∴③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
∵抛物线对称轴为x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∴5a+b+c=0，
∴④正确；
⑤∵a>0，
∴1∵抛物线对称轴为x=1，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，
∴y1∴y1−y2<0，
∴⑤正确；
综上所述，①②④⑤正确；
故选：D．
①根据图象与x轴有两个交点，Δ>0即可判断；
②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；
③根据图象可得对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(3,0)，则另一个交点为(−1,0)，再根据抛物线增减性即可判断；
④根据图象抛物线与x轴的一个交点为(3,0)，可得9a+3b+c=0，对称轴为x=1，可得b=−2a，将2b=−4a代入9a+3b+c=0，即可判断；
⑤根据图象可得a>0，即可得出1本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
11.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】解：原式=(x+2)(x−2)，
故答案为：(x+2)(x−2)
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
12.【答案】x≥1
【解析】解：由题意可得 x−1≥0，
∴x−1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
13.【答案】3
【解析】解：∵3xmy与−5x2yn是同类项，
∴m=2，n=1，
∴m+n=2+1=3．
故答案为：3．
根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，得出m，n的值，进而得出答案．
本题主要考查的是同类项的定义，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．
14.【答案】1296
【解析】解：∵13=12，
13+23=32，
13+23+33=62，
13+23+33+43=102，
…
∴第n个等式为：13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2=[n(n+1)2]2=n2(n+1)24，
∴13+23+33+…+83
=82×924
=64×814
=1296．
故答案为：1296．
由所给的等式不难得出第n个等式为：13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2，据此可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
15.【答案】14或32
【解析】
【分析】
设点A的坐标为(m,2m)，由“倒数点”的定义，得点B坐标为(1m,m2)，分析出点B在某个反比例函数上，分两种情况：①点B在ED上，由ED//x轴，得m2=2m，解出m1=2，m2=−2(舍去)，得点B纵坐标为1，此时，S△OBC=12×3×1=32；②点B在DC上，得点B横坐标为3，即1m=3，求出点B纵坐标为：m2=16，此时，S△OBC=12×3×16=14．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，新定义的阅读理解能力，三角形面积的求法．解题关键是理解“倒数点”的定义．
【解答】
解：设点A的坐标为(m,2m)，
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B坐标为(1m,m2)，
∵点B的横纵坐标满足1m⋅m2=12，
∴点B在某个反比例函数上，
∴点B不可能在OE，OC上，
分两种情况：
①点B在ED上，
由ED//x轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，即m2=2m，
∴m1=2，m2=−2(舍去)，
∴点B纵坐标为：m2=1，
此时，S△OBC=12×3×1=32；
②点B在DC上，
由DC//y轴，
∴点B、点C的横坐标相等，即1m=3，
∴m=13，
∴点B纵坐标为：m2=16，
此时，S△OBC=12×3×16=14；
故答案为：14或32．
16.【答案】解：(2 2−π)0−4cs60°+| 2−2|− 18
=1−4×12+2− 2−3 2
=1−2+2−4 2
=1−4 2
【解析】首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式(2 2−π)0−4cs60°+| 2−2|− 18的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
17.【答案】(1)解：如图所示：BE即为∠ABC 的平分线；

(2)证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EAF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EBF=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB．
∴AB=AE．
【解析】(1)以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB，BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B和两弧的交点并延长，交AD 于点 E，BE即为∠ABC 的平分线；
(2)根据角平分线的定义可得∠ABE=∠EAF，根据AD//BC，得到∠EBF=∠AEB，则∠ABE=∠AEB，最后根据等角对等边即可求证．
本题主要考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，以及等角对等边．
18.【答案】解：(1)A=(a−a2a+b)÷a2b2a2−b2
=a2+ab−a2a+b÷a2b2(a+b)(a−b)
=aba+b⋅(a+b)(a−b)a2b2
=a−bab．
(2)∵点P(a,b)在直线y=x−3与反比例y=2x的图象的交点，
∴将点P(a,b)分别代入得，b=a−3b=2a，
∴a−b=3ab=2，
∴A=a−bab=32．
【解析】(1)直接根据分式的混合运算法则计算即可得到答案；
(2)利用待定系数法，可得a−b=3ab=2，然后代入可得答案．
此题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求解是解决此题关键．
19.【答案】0.3 0.1 B
【解析】解：(1)C组人数为20−(2+10+2)=6(人)，
则m=6÷20=0.3，
n=2÷20=0.1，
补全统计图如下：

故答案为：0.3；0.1；
(2)∵C，D组共有6+2=8(人)，
∴这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组；
故答案为：B；
(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，
∴P(甲、乙被同时点赞)=212=16．
(1)分别用C组、D组的频数除以总人数得到m、n的值，再补全统计图即可；
(2)利用中位数的定义进行判断；
(3)画树状图展示12种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：(1)设第一批玩具每套的进价是x元，
根据题意可得：2500x×1.5=4500x+10，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解，且符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元；
(2)设每套售价是y元，250050=50(套)，50×1.5=75(套)，
由题意得：50y+75y−2500−4500≥1750，
解得：y≥70，
答：每套售价至少是70元．
【解析】(1)设第一批玩具每套的进价是x元，由题意：某玩具商店用2500元购进一批儿童玩具，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．列出分式方程，解方程即可；
(2)设每套售价是y元，由题意：这两批玩具每套售价相同，且全部售完后，商店想要获得不低于1750元利润，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
21.【答案】解：(1)CB与⊙O相切．
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵∠CPB=∠APO，
∴∠CBP=∠APO，
在Rt△AOP中，
∵∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，OP=2，
∴∠APO=60°，AP=2OP=4，
∴AO=BO= AP2−OP2= 42−22=2 3，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠A=30°，
∴∠BOP=∠APO−∠OBA=30°=∠OBP，
∴OP=PB=2，
∵∠BPD=∠APO=60°，PC=CB，
∴△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴BC=PB=2，
∴图中阴影部分的面积=S△OBC−S扇形OBD=12×2×2 3−30⋅π⋅(2 3)2360=2 3−π．
【解析】(1)根据等边对等角得∠CPB=∠CBP，根据直角三角形两锐角互余，再进行角的等量代换，得出∠OBC=90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBC是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=2，根据勾股定理得到OB= AP2−OP2=2 3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//BC，
∴∠EFO=∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF=OD，
在△OEF和△OGD中，
∠EFO=∠GDOOF=OD∠EOF=∠GOD，
∴△OEF≌△OGD(ASA)，
∴EF=GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
(2)解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵E是AC的中点，
∴DE=12AC=CE，
∴∠C=∠EDC，
∴tanC=ADCD=tan∠EDC=52，
即5CD=52，
∴CD=2，
∴AC= AD2+CD2= 52+22= 29，
∴DE=12AC= 292，
由(1)可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG=DE= 292．
【解析】(1)由三角形中位线定理得EF//BC，则∠EFO=∠GDO，再证△OEF≌△OGD(ASA)，得EF=GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由直角三角形斜边上的中线性质得DE=12AC=CE，则∠C=∠EDC，再由锐角三角函数定义得CD=2，然后由勾股定理得AC= 29，则DE=12AC= 292，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由顶点D (2,8)设y=a(x−2)2+8，
∵OB=6，
∴B(6,0)，代入得：a(6−2)2+8=0，
解得：a=−12，
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=−12(x−2)2+8=−12x2+2x+6．
(2)存在点M，使得△DCM和△BQC相似，如图：

连接CM，设 M(2,n)，
∵D(2,8)，
∴DM=8−n，
由题知∠CDM=45°，CD= 22+22=2 2，
∵C(0,6)，B(6,0)，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠QBC=45°，BC= 62+62=6 2，
∴∠CDM=∠QBC，BQ=6−2=4，
①当△BQC∽△DCM时，
BQCD=BCDM=42 2=6 28−n，
解得 n=2，
∴M(2,2)，
②当△BQC∽△DMC时，
BQDM=BCDC=48−n=6 22 2，
解得 n=203，
∴M(2,203)，
综上所述，点M的坐标为(2,2)或(2,203)．
【解析】(1)由顶点D (2,8)设y=a(x−2)2+8，再将B点的坐标代入即可；
(2)首先确定B、D是对应顶点，设点M(2,n)，表示△DCM和△BQC的边长，再根据对应边成比例分别列方程即可．
本题考查了二次函数，相似三角形的综合知识，设所求点的坐标，表达出相关的线段长，列方程求解是解题的关键．
组别
步数分组
频率
A
x<5000
0.1
B
5000≤x<10000
0.5
C
10000≤x<15000
m
D
x≥15000
n
合计
1