第07讲 特殊平行四边形 单元综合检测-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

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第07讲 特殊平行四边形 单元综合检测
一、单选题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ）
A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行
C．两条对角线相等 D．两条对角线互相垂直
【答案】C
【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【解析】解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形和菱形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分．
2．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得到，，再进一步求解即可．
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和平行线的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．
3．下列四个命题中，真命题是（    ）
A．对角线垂直且相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理等知识逐项判定即可．
【解析】解：选项，对角线相等且互相垂直的四边形是菱形，若对角线不互相平分，则不是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线互相平分说明是平行四边形，菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题为假命题；
选项，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，为真命题；
故选：．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键．
4．已知矩形的较短边长为6，对角线相交成60°角，则这个矩形的较长边的长是（    ）
A． B． C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质和题中的条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线的长，进而求解即可．
【解析】
如图：AB=6，∠AOB=60°，
∵四边形是矩形，AC，BD是对角线，
∴OA=OB=OC=OD=BD=AC，
在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°，
∴OA=OB=AB=6，BD=2OB=12，
∴BC=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理等内容，熟悉性质是解题的关键．
5．如图，E是矩形的边上一点，，则等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由矩形证得，从而得，再由等腰三角形的性质求出等腰三角形的底角，再由平行线性质得出结论．
【解析】解：四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C
【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出的度数是解题关键．
6．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在正方形中可知∠BAC＝45°，由AB＝AE，进而求出∠ABE，又知∠ABE＋∠EBC＝90°，故能求出∠EBC．
【解析】解：在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握基础知识是解题关键．
7．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得O为的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得的长度，利用勾股定理求得的长，最后由菱形的面积公式求解．
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，即，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得．
8．如图，、、、分别是四边形四条边的中点，顺次连接、、、得四边形，连接、，下列命题不正确的是（　）

A．当四边形是矩形时，四边形是菱形
B．当四边形是菱形时，四边形是矩形
C．当四边形满足时，四边形是菱形
D．当四边形满足，时，四边形是矩形
【答案】C
【分析】先证四边形EFGH是平行四边形；再根据选项条件结合矩形、菱形的判定定理进行判断即可．
【解析】解：，分别是，的中点，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形；
，分别是，的中点，、分别是、中点，
，，
当四边形是矩形时，，
，
四边形是菱形，故A正确，不符合题意；
当四边形是菱形时，，
，，
，
四边形是菱形，故B正确，不符合题意；
当四边形满足时，不能证明四边形是菱形，故C错误，符合题意；
当四边形满足，时，
∵，，
∴AC是BD的垂直平分线，即
∵，
∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°
∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键
9．如图，在矩形中，是延长线上一点，，连接、，过点作于点，为上一点，连接，．若，，则的长为（    ）

A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】先证得△CDE是等腰直角三角形，再进一步说明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,说明三角形BCG为等腰三角形，进而说明GH=BH、∠CHB=90°，再根据直角三角形的性质求得CH=BC=2，进而求得GH=BH=CH=2，最后根据EH=GH+GE求解即可．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠CDA=90°，AD//BC
∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°
∵ED=CD
∴△CDE是等腰直角三角形
∴∠DCE=∠DEC=45°
∴∠CEB=45°-30°=15°
∵EG=CG
∴∠GCE=∠GEB=15°
∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°
∴∠EBC=∠CGB
∴CG=BC=4
∴EG=4
∵CH⊥BE
∴GH=BH,∠CHB=90°
∵∠EBC=30°
∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2
∴EH=GH+EG=4+2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
10．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，
⑤，其中正确的结论有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】由“”可证，可得，故正确；
如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，
，故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确；
如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误；
由三角形的面积公式可求，故正确；
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
如图1，在上截取，连接，

，,，
，
,，
，
，
，
又，，
，
，，
故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，

，，
，，，
，
，，
，
，
又，，
，
，
在中， ，
，
故正确；
，
设，则，
，
如图1，在上截取，连接，

由可得：，
设，则，
，
，
，
，
，
故错误；
如图1，，
，
，
故正确；
正确的结论有，共个．
故选：
【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

二、填空题
11．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________．
【答案】24
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解析】解：如图，当BD=6时，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO=，
∴AC=8，
∴菱形的面积是：BD×AC=×6×8=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_______ (只填写序号)．
【答案】②③或①④
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
【解析】有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；
（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；
综上所述：错误的是：②③或①④．
故答案为②③或①④．
【点睛】本题考查了正方形的判定方法：先判定四边形是菱形，再判定四边形是矩形；或先判定四边形是矩形，再判定四边形是菱形；那么四边形一定是正方形；熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
13．如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是______．

【答案】40
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【解析】∵四边形为矩形，
，，且，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，

．
故答案为：40
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．

【答案】65°/65度
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．

【答案】
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：连接OP，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，在菱形中，E，F，G分别是，，的中点，且，，则菱形的面积是___．

【答案】96
【分析】连接，，交点为，与交于点，与交于点，由三角形中位线定理得出，，，，得出，由勾股定理求出的长，根据菱形的面积公式可得出答案．
【解析】解：如图，连接，，交点为，与交于点，与交于点，

四边形是菱形，
，
，，分别是，，的中点，
，，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，，
菱形的面积是．
故答案为96．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，菱形的面积，根据三角形的中位线定理求出AC和BD的长是解题的关键．
17．如图，点P为矩形ABCD边AD上一点，点E、F分别为PB、PC的中点，若矩形ABCD的面积为6，那么△PEF的面积为________．

【答案】/0.75
【分析】根据中位线的性质以及矩形的性质即可求出答案．
【解析】解：由题意可知：△PBC的高为AB，
∵点E、F分别为PB、PC的中点，
∴2EF=BC，EF∥BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴，
∵S△PBC=BC•AB=×6=3，
∴S△PEF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的综合问题，解题的关键是熟练是运用中位线的性质以及矩形的性质．
18．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点，线段BE，AD，CN之间应满足的等量关系是 _____．

【答案】BE=
【分析】连接CE，证明∠ACN=90°，进而证明BE为AC垂直平分线，得到BF=，EF=CN，即可得到BE =．
【解析】解：连接CE，
∵∠CMN＝90°，CM＝MN，
∴∠MCN=∠MNC=45°，
∵四边形ABCD为正方形 ，
∴∠ACD=∠ACB=∠∠BCD=45°，AB=BC=AD，
∴∠ACN=90°，
∵E为AN中点，
∴ AE=EN=CE=AN，
∴点E在AC垂直平分线上，
∵AB=BC，
∴点B在AC垂直平分线上，
∴BE为AC垂直平分线，
∴BF⊥AC，AF=FC，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠FBC=45°，
∴BF=CF，
∴，
∴BF=，
∵AF=FC，AE=NE，
∴EF为△CAN中位线，
∴EF=CN，
∴BE=BF+EF=．

故答案为：BE=
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，中位线等知识，熟知相关知识，添加辅助线，证明BE为AC垂直平分线是解题关键．

三、解答题
19．如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求：
（1）∠BAD，∠ABC的度数；
（2）AB，AC的长．

【答案】(1) ∠BAD=60°，∠ABC=120°;(2) AB＝6cm，AC=6
【分析】（1）根据∠ACD=30°和菱形的性质求出AD//BC，即可得出答案；
（2）根据菱形的性质求出∠DBC，然后根据三角形内角和定理求出CD即可得到AB，进而求出AC．
【解析】解：（1）∵∠ACD=30°
∴∠BCD=60°（菱形对角线平分对角）
∴∠BAD=60°（菱形对角相等）
∴AD//BC（菱形对边平行）
∴∠ABC=120°（，两直线平行，同旁内角互补）
（2）∵∠ABC=120°
∴∠DBC=60°（菱形对角线平分对角）
∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°（三角形内角和为180°）
∴∠DBC=∠BCD=∠BDC=60°
∴BD=BC=CD=6cm
∴AB=CD=6cm（菱形对边相等）
∵AC⊥BD且AO=CO（菱形对角线互相垂直平分）
∴AO=3 （直角三角形30°角定理）
∴AC=6
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理和30°直角三角形等知识点，能灵活运用菱形的性质进行推理是解此题的关键．
20．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB．

（1）求证：□ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件，使矩形ABCD成为正方形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AB＝AD（答案不唯一）．理由见解析．
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，根据等角对等边可得OB＝OC，然后求出AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：AB＝AD（答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判断，平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质和等腰三角形的判定证得AC＝BD是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．

(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）首先利用去等三角形的性质得出CE，CF的长，再利用勾股定理得出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，
∴BF＝DE＝6，
∵BC＝DC＝8，
∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，
在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质以及勾股定理，正确应用正方形的性质是解题关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
【答案】见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
【解析】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
23．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.

（1）求证：；
（2）求证：；
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE为平行四边形，再根据正方形的性质得到∴，，故可证明四边形AHGF是平行四边形，即可求解；
（2）根据四边形AHGF是平行四边形，得，根据四边形ABCD是矩形，可得 ，再根据平角的性质及等量替换即可证明.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，且E、H分别为AD、BC的中点，
∴，，
∴四边形AHCE为平行四边形，
∴，，
又∵四边形ECGF为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形AHGF是平行四边形，
∴；
（2）证明：∵四边形AHGF是平行四边形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.
24．如图，在中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB．分别交AC、BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE.

（1）求证：四边形AEPQ为菱形：
（2）当点P在线段EF上的什么位置时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半?请说明理
【答案】（1）见解析；（2）P为EF中点时,S菱形AEPQ=12S四边形EFBQ，理由见解析.
【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出结论；
（2）S菱形AEPQ=EP•h，S平行四边形EFBQ=EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP=EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ．
【解析】(1)证明：∵EF∥AB,PQ∥AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形.
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四边形AEPQ为菱形.
(2)P为EF中点时,S菱形AEPQ=S四边形EFBQ
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形.
作EN⊥AB于N，如图所示：

则S菱形AEPQ=EP⋅EN=EF⋅EN=S四边形EFBQ
【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
25．如图，在菱形中，E为对角线上一点，F是延长线上一点，连接，，，，．

（1）求证：；
（2）若点G为的中点，连接，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据菱形的性质，得到AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=60°，然后根据等式的性质求得∠ADE=∠CDF，从而利用ASA定理判定三角形全等，问题得解；
（2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，根据菱形的性质结合（1）中的结论判定△ABE≌△ADE≌△CDF，利用ASA定理判定△BHG≌△EAG，利用SAS定理判定△ABH≌△ACF，从而得到AH=AF，使问题得解．
【解析】解：在菱形ABCD中，∵
∴AD=CD，∠ABC=∠ADC=∠ACD=∠CAD=∠ACB=60°
∴∠DCF=60°
又∵
∴∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF
∴；
（2）过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H
在菱形ABCD中，∠ABE=∠ADE，AB=AD，AE=AE
又由（1）可知△ADE≌△CDF
∴△ABE≌△ADE≌△CDF
∴AE=CF
∵BH∥AC，点G是BE的中点
∴∠H=∠GAE，BG=EG，∠HBG=∠ACB=60°
∴∠ABH=∠ACF=120°
又∵∠AGE=∠HGB
∴△BHG≌△EAG
∴BH=AE=CF，AG=GH
又∵AB=AC
∴△ABH≌△ACF
∴AH=AF=AG+GH=2AG
即．
【点睛】本题考查菱形的性质及三角形全等的判定，正确添加辅助线证明三角形全等是本题的解题关键．
26．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD
【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；
（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；
（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．
【解析】(1)证明：在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中,

∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
27．如图，在中，，E，F分别为，的中点，作于点G，的延长线交的延长线于点H．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，
①求的长．
②如图2，交于点P，记的面积为，的面积为，则的值为________．
【答案】（1）见解析；（2）①12；②
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再根据中点的定义得到AF=BE，可得四边形ABCD是平行四边形，结合AB=AF，可得结论；
（2）①连接AE交BF于点O，由菱形性质可得∠AOB=90°，从而求出菱形ABEF的面积，可得四边形ABCD的面积，根据CG⊥AB可得CG，从而求出AG，证明△AFG≌△DFH，得到AG=DH，在△GCH中利用勾股定理求出GH即可；
②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，求出FK，从而得到△BGF和△BGC的面积，从而分别得出S1和S2，可得S1-S2．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E、F分别为BC、AD中点，
∴AF=AD，BE=BC，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD=2AB，AD=2AF，
∴AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）①连接AE交BF于点O，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB=OF=BE=4，OA=OE=AE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，OA==3,
∴AE=2OA=6，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×6×8=24，
∵E、F分别是BC、AD中点，
∴BE=EC，AF=FD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF，四边形EFDC都是平行四边形，且底和高相等，
∴S四边形ABEF=S四边形EFDC=24，
∴S四边形ABCD=S四边形ABEF+S四边形EFDC=48，
∵CG⊥AB，
∴S四边形ABEF=AB·CG=5CG=48，∠BGC=90°，
∴CG=，
∵AD=BC=2AB=10，
∴BG=，
∴AG=AB-BG=5-=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠GCH=∠BGC=90°，
∵F是AD中点，
∴AF=DF，
在△AFG和△DFH中，
，
∴△AFG≌△DFH（ASA），
∴AG=DH=，
∴CH=CD+DH=5+=，
在Rt△GCH中，GH==12；

②过F作FK⊥AB交BA延长线于K，
∴S四边形ABEF=AB·FK=5FK=24，
∴FK=，
∴S△BGF=BG·FK==，
S△BGC=BG·CG==，
∵S2=S△BGC-S△BGP=-S△BGP，
S1=S△BGF-S△BGP=-S△BGP，
∴S2-S1=-=．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，重点考查了几何图形的推理论证能力，同时也要结合已知条件作出辅助线，扩大运用范围．
28．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．

(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)四边形AEGF的面积为30

【分析】（1）先判定四边形AEGF是平行四边形，证明，由全等三角形的性质得出，由菱形的判定可得出结论；
（2）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案；
（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，证明△，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出AE和AF的长，最后由平行四边形的面积公式可得出答案．
【解析】（1）证明：∵，，
∴四边形AEGF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴四边形AEGF是菱形；

（2）解：过点F作于点H，

∵四边形AEGF为菱形，
∴AC平分，
∴．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴．
∵于点D，于点H，
∴．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，

∴．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴．
又∵，，
∴，
∴，．
又∵，，，
∴，
∴，
设．
又∵，，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰直角三角形中，．
又∵四边形AEGF为平行四边形，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，判定四边形AEGF为菱形是解题的关键．