广东省珠海市斗门区第一中学2023届高三三模数学试题（含解析）

广东省珠海市斗门区第一中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知，若，则（    ）

A． B． C．2 D．3

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在梯形ABCD中，AC，BD交于点O，，则（    ）

A． B．

C． D．

4．在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数在处取得极大值4，则（    ）

A．8 B． C．2 D．

6．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线LOGO，以下4个函数中 最能拟合该曲线的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（    ）

A．4 B． C． D．2

8．已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（    ）

A．2022年我国对外经济进口总值逐月下降

B．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差

C．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%

D．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1%

10．已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ）

A．若是异面直线，，则.

B．若，则

C．若，则

D．若，则

11．已知函数，下列说法正确的有（    ）

A．在上单调递增

B．若，则

C．函数的图象可以由向右平移个单位得到

D．若函数在上恰有两个极大值点，则

12．已知圆与圆，下列说法正确的是（    ）

A．与的公切线恰有4条

B．与相交弦的方程为

C．与相交弦的弦长为

D．若分别是圆上的动点，则

三、填空题

13．曲线在点处的切线方程是__________（结果用一般式表示）.

14．如图，三个相同的正方形相接，则__________.

15．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种.

16．已知数列的前n项和为，，且，则______．

四、解答题

17．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，，且．

(1)求角的大小；

(2)若的外接圆面积为，求边上的中线长．

18．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)证明：.

19．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下：

以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.

(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；

附：相关系数

(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？并用决定系数验证你的观察所得.

附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.

20．如图，正方体中，直线平面，，.

(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；

(2)设点A与（1）中所作直线确定平面.

①求平面与平面ABCD的夹角的余弦值；

②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.

21．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积等于，记动点的轨迹为．

(1)求的方程；

(2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，求出这条直线方程；若不是，说明理由．

22．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：

1．C

【分析】根据并集的知识求得.

【详解】由于，所以，

此时，满足.

故选：C

2．B

【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】，

所以，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．A

【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.

【详解】如图，由，可得（利用平行关系求得线段比），

则，所以，

故选：A．

4．C

【分析】根据题意，由条件可得对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，即可得到结果.

【详解】因为，，，

即，所以对应的点在以原点为圆心，以为半径的圆上，

且只有选项C中，所以其在圆上，

故选：C

5．B

【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.

【详解】因为，所以，

所以，解得，

经检验，符合题意，所以.

故选：B

6．A

【分析】根据偶函数，排除B项；由，排除C项，由当时，函数，可排除D，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数的单调性，结合，得到A符合题意，即可求解.

【详解】由函数，其定义域为，关于原点对称，

可得，

所以函数为偶函数，所以排除B；

由函数，可得，故排除C；

由函数，当时，可得且，则，

故排除D．

由函数的定义域为 ，关于原点对称，

且，所以为奇函数，图象关于原点对称，

由时，，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，且，所以A项符合题意.

故选：A.

7．D

【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.

【详解】由，

得，

则，

根据抛物线的定义知2，

解得，

代入，

得，

所以的面积为.

故选：D.

8．A

【分析】根据题意，做出其轴截面的图形，结合相似以及基本不等式即可得到结果.

【详解】

圆锥与其内切球的轴截面图如图所示，点为球心，为切点，设内切球的半径为，

圆锥的底面圆的半径为，高为，所以，则，

易知，所以，则，即，

圆锥的体积，当且仅当时，等号成立.

故选:A

9．BC

【分析】利用折线图的特点及方差的意义，结合中位数及第百分位数的定义即可求解.

【详解】对于A ，2022年我国对外经济进口总值累计增长率逐月下降，并不能说明对外经济进口总值逐月下降，故A不正确.

对于B，由图可知，2022我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的波动较大，故B正确.

对于C，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，得中位数为，故C正确.

对于D，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，由，可知80%分位数为第10个数据，即9.6%，故D不正确.

故选：BC.

10．ACD

【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.

【详解】对于A，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且 ，

同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是相交的，n与也是相交的，

即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确；       

设，并且，则有，显然是相交的，错误；

对于B，若，则不成立，错误；

对于C，若，则平面上必然存在一条直线l与n平行，，即，正确；

对于D，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又，正确；

故选:ACD.

11．BD

【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解.

【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不单调，故选项错误；

令，则或，即或，

由，则或，，即或，故选项正确；

向右平移个单位变为故选项错误；

对于，，

在上恰有两个极大值点，即，

即，故选项正确.

故选：

12．BD

【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.

【详解】由已知得圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

，

故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；

做差可得与相交弦的方程为

到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；

若分别是圆上的动点，则，故D正确.

故选：BD

13．

【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程.

【详解】,所以，所以由点斜式可得切线方程为，即，

故答案为：

14．/

【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.

【详解】依题意，，

所以.

故答案为：

15．24

【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可

【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，

当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，

由分类加法原理可知共有种，

故答案为：24

16．

【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公式，然后可算出答案.

【详解】令，

因为，且，

所以，，

所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，

所以，即，

所以，

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，从而得到，再逆用和角余弦公式，即可求解；

（2）先求得的外接圆半径，再根据正弦定理求得，最后利用余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

根据正弦定理可得：，

所以，

所以，

因为，所以.

故.

（2）

如图，取中点，连接，

记的外接圆的半径为，则，解得.

根据正弦定理可得，

因为，所以，即.

根据余弦定理可得：

所以，

故边上的中线长为

18．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算求解可得；

（2）应用错位相减法计算即可.

【详解】（1）因为，所以，

因为是公差为2的等差数列，所以，

所以.

（2），①

所以，②

① -②则，

所以.

19．(1)，相关性较强

(2)答案见解析

【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；

（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模型的拟合度更高.

【详解】（1）由题意，，

∵，∴，

∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.

（2）由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.

由题（1）得线性回归模型的相关系数，

决定系数，

由题意，对数回归模型的决定系数，

∵，∴对数回归模型的拟合度更高.

20．(1)答案见解析；

(2)①；②答案见解析.

【分析】（1）取和中点分别为P、Q，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得平面，进而即得；

（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交于，连接分别交于，进而可得截面.

【详解】（1）由题意，P、Q分别为和的中点吋，有，

证明过程如下：连接，取和中点分别为P、Q，连接，

∵，∴一定过经过点E,∴PQ即为所求作的l.

∵P、Q分别为和的中点，∴P、Q为的中位线，

∴，且PQ过经过点E，

∵正方体的的上底面为正方形.

∴，∵，∴，

又∵正方体的侧棱垂直底面，，

∴，又∵，平面，.

∴平面，∵平面，

∴，即；

（2）①连接AP，AQ，∵正方体中，有AD，DC，DD两两垂直，以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设正方体边长为2，则有，，，，，

所以，，

∵正方体的侧棱垂直底面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.

设平面，即平面APQ的法向量，则，.

∴，，即

令，则，.

∴平面APQ的一个法向量.

，，，

设平面与平面ABCD的夹角的平面角为，

则；

②设直线交于，连接分别交于，连接，则平面即为平面截正方体所得的截面，如图所示.

21．(1)

(2)点在直线上

【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；

（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从而得解.

【详解】（1）解：设，则，得，即，

故轨迹的方程为：．

（2）解：根据题意，直线的斜率不为，

设直线的方程为，

由，消去并整理得，

其中，则或．

设，，则，．

显然，

从而可设直线的方程为①，

直线的方程为②，

所以直线，的交点的坐标满足：．

而

，

因此，，即点在直线上．

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；

（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调性转化为研究恒成立，再求函数最小值即可.

【详解】（1）函数的定义域为，，

所以，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值.

所以，的最小值为.

（2）因为对，恒成立，

所以，即恒成立，

令，

所以，当时，单调递增，

因为

所以，当时，，

恒成立，

当时，由得，即恒成立，

设，

所以，当时，单调递减，当时单调递增，

所以，，

所以，要使恒成立，只需，解得，

因为，由题可知，，

所以，实数的取值范围为

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.