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2022-2023学年河北省邢台市七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河北省邢台市七年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省邢台市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共14个小题，每小题3分，共42分）
1．计算x6÷x3的结果是（ ）
A．x3 B．x2 C．2x D．3x
2．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．对于两个方程组，说法正确的是（ ）
①，②
A．①是二元一次方程组
B．②是二元一次方程组
C．①、②均是二元一次方程组
D．①、②均不是二元一次方程组
4．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．a3•a3＝2a3
6．如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ）
A．BC B．BF C．BE D．CE
7．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）
8．依据图中所表的数据，可以判定该同学的跳远成绩是（ ）
A．7m B．6.9m C．6.2m D．2m
9．用代入法解方程组时，将①代入②得（ ）
A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6
10．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
11．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
12．数据40000﹣1用科学记数法表示为（ ）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
13．在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．下面是甲、乙两个同学解方程组的解题思路：
甲同学：①+②，得9x+9y＝54③．③×①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③．由③，得x＝2y．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确
B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确
D．甲、乙两同学的思路都正确
14．某花店在母亲节的账目记录显示，5月7日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元（记录正确）；5月8号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，收入518元；对于5月8号的记录，下列说法正确的是（ ）
A．记录正确
B．记录不正确，少记录了10元
C．记录不正确，多记录了10元
D．条件不足，无法判断
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中16小题第一空2分，第二空1分；17小题每空1分。）
15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 ．
16．如图所示，一个大长方形被分成三个小长方形，则由图中的数据可得S＝ ，h＝ ．
17．【试题呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法，请将方法一、二补充完整：
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13
【方法运用】若，则＝ ．
三、解答题（本大题共七个小题，满分分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）
18．已知是方程2x﹣3y+a＝0的解，
（1）求a的值．
（2）请将方程2x﹣3y+a＝0变形为用x的代数式表示y．
19．如图，直线AB和直线CD相交于O点，OE⊥OD，OF平分∠AOE，∠BOD＝26°．
（1）写出∠COB的邻补角．
（2）求∠COF的度数．
20．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：（1）92﹣72的结果是8的几倍？
（2）设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），说明它们的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是 的倍数．
21．下面是嘉淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得6x﹣2y＝8⋯③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，嘉淇同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
22．如图是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表平面镜，并且AB与CD平行，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．请对离开潜望镜的光线MN与进入潜望镜的光线EF平行说明理由．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请用含m的代数式分别表示S1，S2．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
24．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
参考答案
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算x6÷x3的结果是（ ）
A．x3 B．x2 C．2x D．3x
【分析】根据am÷an＝am﹣n即可得到答案．
解：x6÷x3＝x6﹣3＝x3．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的运算：am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n为正整数）．
2．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的特征，“F”型判断即可．
解：如图，与∠1是同位角的为：∠2，
故选：A．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
3．对于两个方程组，说法正确的是（ ）
①，②
A．①是二元一次方程组
B．②是二元一次方程组
C．①、②均是二元一次方程组
D．①、②均不是二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可
解：①、②均不是二元一次方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
4．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．a3•a3＝2a3
【分析】根据同底数幂的运算法则和合并同类项的运算法则，一次计算各个选项，即可进行解答．
解：A、a2⋅a3＝a5，故A不正确，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B正确，符合题意；
C、a2，a3不是同类项，不可加减，故C不正确，不符合题意；
D、a3⋅a3＝a6，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的运算法则以及合并同类项的运算法则，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
6．如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ）
A．BC B．BF C．BE D．CE
【分析】根据平移的概念判断即可．
解：∵△ABC沿射线BC平移得到△DEF，
∴点B与点E是对应点，点C与点F是对应点，
∴线段BE、CF可表示平移距离，
故选：C．
【点评】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键．
7．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，判定即可．
解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝[﹣（x+y）][﹣（x﹣y）]＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝[﹣（x﹣y）]（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式运算，故此选项符合题意；
C、（y+x）（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
D、（y﹣x）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算是解题的关键．
8．依据图中所表的数据，可以判定该同学的跳远成绩是（ ）
A．7m B．6.9m C．6.2m D．2m
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
解：根据图中所示的数据，可以判定该同学的跳远成绩是6.2m．
故选：C．
【点评】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
9．用代入法解方程组时，将①代入②得（ ）
A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6
【分析】根据代入消元法，把②中的y换成2x﹣3即可．
解：①代入②得，x﹣2（2x﹣3）＝6，
即x﹣4x+6＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了代入消元法解方程组，把方程中的未知数换为另一个未知数的代数式即可，比较简单．
10．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
解：A、如图，两个角都是30°，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是30°，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
12．数据40000﹣1用科学记数法表示为（ ）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：40000﹣1＝0.000025＝2.5×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．下面是甲、乙两个同学解方程组的解题思路：
甲同学：①+②，得9x+9y＝54③．③×①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③．由③，得x＝2y．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确
B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确
D．甲、乙两同学的思路都正确
【分析】①+②得出9x+9y＝54③，③×得出2x+2y＝12④，④﹣①得出﹣3y＝﹣6，即可判断同学甲的解法；①×2得出4x+10y＝36③，②﹣③得出3x﹣6y＝0，求出x＝2y，即可判断乙同学的解法．
解：甲、乙两同学的思路都正确，
理由是：，
①+②得：9x+9y＝54③，
③×得：2x+2y＝12④，
④﹣①得：﹣3y＝﹣6，故甲同学正确；
，
①×2得：4x+10y＝36③，
②﹣③得：3x﹣6y＝0，
解得：x＝2y，
把x＝2y代入方程组的任意一个方程，即可得出一元一次方程，故乙同学正确；
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．某花店在母亲节的账目记录显示，5月7日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元（记录正确）；5月8号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，收入518元；对于5月8号的记录，下列说法正确的是（ ）
A．记录正确
B．记录不正确，少记录了10元
C．记录不正确，多记录了10元
D．条件不足，无法判断
【分析】设康乃馨的单价为x元，百合花的单价为y元，根据“5月7日卖出39支康乃馨和21支百合花，收入396元（记录正确）”，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出13x+7y＝132，将其代入52x+28y＝4（13x+7y）中即可求出5月8日的实际收入，将其与记录比较后即可得出结论．
解：设康乃馨的单价为x元，百合花的单价为y元，
依题意得：39x+21y＝396，
∴13x+7y＝132，
∴52x+28y＝4（13x+7y）＝4×132＝528．
∵528≠518，518﹣528＝﹣10（元），
∴5月8日的记录不正确，少记录了10元．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中16小题第一空2分，第二空1分；17小题每空1分。）
15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等． ．
【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
16．如图所示，一个大长方形被分成三个小长方形，则由图中的数据可得S＝ 74 ，h＝ 7 ．
【分析】根据矩形的面积公式列式计算即可．
解：由图可知S＝15h﹣31＝17h﹣45，
解得h＝7，
∴S＝15h﹣31＝15×7﹣31＝74．
故答案为：74，7．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地列出方程是解题的关键．
17．【试题呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法，请将方法一、二补充完整：
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝ 19
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣ 4ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13
【方法运用】若，则＝ 12 ．
【分析】例题讲解：根据题中给出的完全平方公式的区别进行解答即可；
方法运用：根据＝（a+）2﹣4解答即可．
解：例题讲解，
方法一：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝13；
方法二：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13．
方法运用：
∵，
∴（a+）2＝16，
∴＝（a+）2﹣4＝16﹣4＝12．
故答案为：19，4ab，12．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，根据题中给出的完全平方公式之间的关系求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共七个小题，满分分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）
18．已知是方程2x﹣3y+a＝0的解，
（1）求a的值．
（2）请将方程2x﹣3y+a＝0变形为用x的代数式表示y．
【分析】（1）将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）将a＝8代入原方程，整理后，即可用还含x的代数式表示y．
解：（1）将代入原方程得：2×（﹣1）﹣3×2+a＝0，
解得：a＝8，
∴a的值为8；
（2）当a＝8时，原方程为2x﹣3y+8＝0，
∴y＝x+．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
19．如图，直线AB和直线CD相交于O点，OE⊥OD，OF平分∠AOE，∠BOD＝26°．
（1）写出∠COB的邻补角．
（2）求∠COF的度数．
【分析】（1）由邻补角的概念，即可解决问题；
（2）由对顶角的概念，垂直的定义，角平分线定义，即可计算．
解：（1）∠COB的邻补角是∠AOC，∠BOD；
（2）∵OE⊥OD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝26°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝116°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝58°，
∵∠COF＝∠AOF﹣∠AOC，
∴∠COF＝58°﹣26°＝32°．
【点评】本题考查邻补角，对顶角的概念，角平分线的的定义，垂直的定义，关键是掌握并熟练应用以上概念．
20．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：（1）92﹣72的结果是8的几倍？
（2）设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），说明它们的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是 4 的倍数．
【分析】（1）通过计算92﹣72＝32即可得出答案；
（2）应用因式分解的方法计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，据此可得出结论；
延伸：首先设两个连续的偶数分别为：2n+2，2n，再计算（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），据此可得出答案．
解：（1）∵92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32＝8×4，
∴92﹣72是8的4倍．
（2）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，
∴两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的倍数．
延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：2n+2，2n，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1），
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数．
故答案为：4．
【点评】【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
21．下面是嘉淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得6x﹣2y＝8⋯③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元 法，以上求解步骤中，嘉淇同学第 四 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，马小虎同学第四步开始出现错误．
故答案为：加减消元，四；
（2）①×2，得6x﹣2y＝8③，
②﹣③，得﹣y＝2，
解得y＝﹣2．
将y＝﹣2代入①，得x＝．
所以，原方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解本题的关键是对解二元一次方程组的解法的掌握．
22．如图是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表平面镜，并且AB与CD平行，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．请对离开潜望镜的光线MN与进入潜望镜的光线EF平行说明理由．
【分析】首先根据AB∥CD得出∠2＝∠3，再结合已知条件可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，然后根据的平角的意义可得出∠5＝∠6，最后根据平行线判定即可得出答案．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠5＝∠6．
∴MN∥EF．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请用含m的代数式分别表示S1，S2．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可；
（2）结合（1）列出相应的式子，再进行运算即可．
解：（1）S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7；
；
（2）设该正方形的边长为a，
根据题意得：4a＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），
4a＝2m+14+2m+2+2m+8+2m+4，
4a＝8m+28，
a＝2m+7，
S3＝（2m+7）2，
∴S3﹣2（S1+S2）
＝（2m+7）2﹣2（m2+8m+7+m2+6m+8）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19，
答：S3 与 2（S1+S2） 的差是常数19．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 64 张，B型板材 38 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，
所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8，
所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个，
所以，
解得．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
2022-2023学年河北省邢台市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共14个小题，每小题3分，共42分）
1．计算x6÷x3的结果是（ ）
A．x3 B．x2 C．2x D．3x
2．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．对于两个方程组，说法正确的是（ ）
①，②
A．①是二元一次方程组
B．②是二元一次方程组
C．①、②均是二元一次方程组
D．①、②均不是二元一次方程组
4．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．a3•a3＝2a3
6．如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ）
A．BC B．BF C．BE D．CE
7．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）
8．依据图中所表的数据，可以判定该同学的跳远成绩是（ ）
A．7m B．6.9m C．6.2m D．2m
9．用代入法解方程组时，将①代入②得（ ）
A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6
10．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
11．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
12．数据40000﹣1用科学记数法表示为（ ）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
13．在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．下面是甲、乙两个同学解方程组的解题思路：
甲同学：①+②，得9x+9y＝54③．③×①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③．由③，得x＝2y．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确
B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确
D．甲、乙两同学的思路都正确
14．某花店在母亲节的账目记录显示，5月7日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元（记录正确）；5月8号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，收入518元；对于5月8号的记录，下列说法正确的是（ ）
A．记录正确
B．记录不正确，少记录了10元
C．记录不正确，多记录了10元
D．条件不足，无法判断
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中16小题第一空2分，第二空1分；17小题每空1分。）
15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 ．
16．如图所示，一个大长方形被分成三个小长方形，则由图中的数据可得S＝ ，h＝ ．
17．【试题呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法，请将方法一、二补充完整：
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13
【方法运用】若，则＝ ．
三、解答题（本大题共七个小题，满分分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）
18．已知是方程2x﹣3y+a＝0的解，
（1）求a的值．
（2）请将方程2x﹣3y+a＝0变形为用x的代数式表示y．
19．如图，直线AB和直线CD相交于O点，OE⊥OD，OF平分∠AOE，∠BOD＝26°．
（1）写出∠COB的邻补角．
（2）求∠COF的度数．
20．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：（1）92﹣72的结果是8的几倍？
（2）设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），说明它们的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是 的倍数．
21．下面是嘉淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得6x﹣2y＝8⋯③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，嘉淇同学第 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
22．如图是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表平面镜，并且AB与CD平行，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．请对离开潜望镜的光线MN与进入潜望镜的光线EF平行说明理由．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请用含m的代数式分别表示S1，S2．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
24．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
参考答案
一、选择题（本大题共14个小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算x6÷x3的结果是（ ）
A．x3 B．x2 C．2x D．3x
【分析】根据am÷an＝am﹣n即可得到答案．
解：x6÷x3＝x6﹣3＝x3．
故选：A．
【点评】本题考查了幂的运算：am÷an＝am﹣n（a≠0，m、n为正整数）．
2．如图，∠1的同位角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【分析】根据同位角的特征，“F”型判断即可．
解：如图，与∠1是同位角的为：∠2，
故选：A．
【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握它们的特征是解题的关键．
3．对于两个方程组，说法正确的是（ ）
①，②
A．①是二元一次方程组
B．②是二元一次方程组
C．①、②均是二元一次方程组
D．①、②均不是二元一次方程组
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可
解：①、②均不是二元一次方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
4．如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【分析】根据从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等即可得出答案．
解：表示这两条平行线间距离的线段有无数条，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，掌握从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，平行线间的距离处处相等是解题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a3＝a5 D．a3•a3＝2a3
【分析】根据同底数幂的运算法则和合并同类项的运算法则，一次计算各个选项，即可进行解答．
解：A、a2⋅a3＝a5，故A不正确，不符合题意；
B、（a2）3＝a6，故B正确，符合题意；
C、a2，a3不是同类项，不可加减，故C不正确，不符合题意；
D、a3⋅a3＝a6，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的运算法则以及合并同类项的运算法则，解题的关键是掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
6．如图，将△ABC沿射线BC平移得到△DEF，则下列线段的长度中表示平移距离的是（ ）
A．BC B．BF C．BE D．CE
【分析】根据平移的概念判断即可．
解：∵△ABC沿射线BC平移得到△DEF，
∴点B与点E是对应点，点C与点F是对应点，
∴线段BE、CF可表示平移距离，
故选：C．
【点评】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键．
7．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（y+x）（x﹣y） D．（y﹣x）（x+y）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，判定即可．
解：A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝[﹣（x+y）][﹣（x﹣y）]＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
B、（﹣x+y）（x﹣y）＝[﹣（x﹣y）]（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，不能用平方差公式运算，故此选项符合题意；
C、（y+x）（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
D、（y﹣x）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2，能用平方差公式运算，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，即可用平方差公式计算是解题的关键．
8．依据图中所表的数据，可以判定该同学的跳远成绩是（ ）
A．7m B．6.9m C．6.2m D．2m
【分析】由垂线段的性质：垂线段最短，即可得到答案．
解：根据图中所示的数据，可以判定该同学的跳远成绩是6.2m．
故选：C．
【点评】本题考查垂线段的性质，关键是掌握垂线段最短．
9．用代入法解方程组时，将①代入②得（ ）
A．x﹣4x+3＝6 B．x﹣4x+6＝6 C．x﹣2x+3＝6 D．x﹣4x﹣3＝6
【分析】根据代入消元法，把②中的y换成2x﹣3即可．
解：①代入②得，x﹣2（2x﹣3）＝6，
即x﹣4x+6＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了代入消元法解方程组，把方程中的未知数换为另一个未知数的代数式即可，比较简单．
10．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
解：A、如图，两个角都是30°，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是30°，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
12．数据40000﹣1用科学记数法表示为（ ）
A．﹣4×104 B．﹣4×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣5
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：40000﹣1＝0.000025＝2.5×10﹣5．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．下面是甲、乙两个同学解方程组的解题思路：
甲同学：①+②，得9x+9y＝54③．③×①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②﹣①×2，得3x﹣6y＝0③．由③，得x＝2y．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确
B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确
D．甲、乙两同学的思路都正确
【分析】①+②得出9x+9y＝54③，③×得出2x+2y＝12④，④﹣①得出﹣3y＝﹣6，即可判断同学甲的解法；①×2得出4x+10y＝36③，②﹣③得出3x﹣6y＝0，求出x＝2y，即可判断乙同学的解法．
解：甲、乙两同学的思路都正确，
理由是：，
①+②得：9x+9y＝54③，
③×得：2x+2y＝12④，
④﹣①得：﹣3y＝﹣6，故甲同学正确；
，
①×2得：4x+10y＝36③，
②﹣③得：3x﹣6y＝0，
解得：x＝2y，
把x＝2y代入方程组的任意一个方程，即可得出一元一次方程，故乙同学正确；
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．某花店在母亲节的账目记录显示，5月7日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元（记录正确）；5月8号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，收入518元；对于5月8号的记录，下列说法正确的是（ ）
A．记录正确
B．记录不正确，少记录了10元
C．记录不正确，多记录了10元
D．条件不足，无法判断
【分析】设康乃馨的单价为x元，百合花的单价为y元，根据“5月7日卖出39支康乃馨和21支百合花，收入396元（记录正确）”，即可得出关于x，y的二元一次方程，化简后可得出13x+7y＝132，将其代入52x+28y＝4（13x+7y）中即可求出5月8日的实际收入，将其与记录比较后即可得出结论．
解：设康乃馨的单价为x元，百合花的单价为y元，
依题意得：39x+21y＝396，
∴13x+7y＝132，
∴52x+28y＝4（13x+7y）＝4×132＝528．
∵528≠518，518﹣528＝﹣10（元），
∴5月8日的记录不正确，少记录了10元．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中16小题第一空2分，第二空1分；17小题每空1分。）
15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为 如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等． ．
【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论部分写在那么的后面即可．
解：命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角为相等的角的余角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
16．如图所示，一个大长方形被分成三个小长方形，则由图中的数据可得S＝ 74 ，h＝ 7 ．
【分析】根据矩形的面积公式列式计算即可．
解：由图可知S＝15h﹣31＝17h﹣45，
解得h＝7，
∴S＝15h﹣31＝15×7﹣31＝74．
故答案为：74，7．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地列出方程是解题的关键．
17．【试题呈现】已知a+b＝5，ab＝3，求（a﹣b）2的值．
【例题讲解】同学们探究出解这道题的两种方法，请将方法一、二补充完整：
方法一
方法二
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝ 19
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
∴（a﹣b）2＝13
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣ 4ab
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13
【方法运用】若，则＝ 12 ．
【分析】例题讲解：根据题中给出的完全平方公式的区别进行解答即可；
方法运用：根据＝（a+）2﹣4解答即可．
解：例题讲解，
方法一：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19，
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝13；
方法二：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝13．
方法运用：
∵，
∴（a+）2＝16，
∴＝（a+）2﹣4＝16﹣4＝12．
故答案为：19，4ab，12．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及完全平方公式，根据题中给出的完全平方公式之间的关系求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共七个小题，满分分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明）
18．已知是方程2x﹣3y+a＝0的解，
（1）求a的值．
（2）请将方程2x﹣3y+a＝0变形为用x的代数式表示y．
【分析】（1）将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；
（2）将a＝8代入原方程，整理后，即可用还含x的代数式表示y．
解：（1）将代入原方程得：2×（﹣1）﹣3×2+a＝0，
解得：a＝8，
∴a的值为8；
（2）当a＝8时，原方程为2x﹣3y+8＝0，
∴y＝x+．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
19．如图，直线AB和直线CD相交于O点，OE⊥OD，OF平分∠AOE，∠BOD＝26°．
（1）写出∠COB的邻补角．
（2）求∠COF的度数．
【分析】（1）由邻补角的概念，即可解决问题；
（2）由对顶角的概念，垂直的定义，角平分线定义，即可计算．
解：（1）∠COB的邻补角是∠AOC，∠BOD；
（2）∵OE⊥OD，
∴∠COE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝26°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝116°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝58°，
∵∠COF＝∠AOF﹣∠AOC，
∴∠COF＝58°﹣26°＝32°．
【点评】本题考查邻补角，对顶角的概念，角平分线的的定义，垂直的定义，关键是掌握并熟练应用以上概念．
20．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数．
验证：（1）92﹣72的结果是8的几倍？
（2）设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），说明它们的平方差是8的倍数；
延伸：两个连续偶数的平方差是 4 的倍数．
【分析】（1）通过计算92﹣72＝32即可得出答案；
（2）应用因式分解的方法计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，据此可得出结论；
延伸：首先设两个连续的偶数分别为：2n+2，2n，再计算（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），据此可得出答案．
解：（1）∵92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝32＝8×4，
∴92﹣72是8的4倍．
（2）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n，
∴两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的倍数．
延伸：两个连续偶数的平方差是4的倍数．
理由如下：
设两个连续的偶数分别为：2n+2，2n，
∵（2n+2）2﹣（2n）2＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝4（2n+1），
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数．
故答案为：4．
【点评】【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式．
21．下面是嘉淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得6x﹣2y＝8⋯③第一步；
②﹣③，得﹣y＝2第二步；
y＝﹣2．第三步；
将y＝﹣2代入①，得x＝2．第四步；
所以，原方程组的解为第五步；
（1）这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元 法，以上求解步骤中，嘉淇同学第 四 步开始出现错误．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，以上求解步骤中，马小虎同学第四步开始出现错误．
故答案为：加减消元，四；
（2）①×2，得6x﹣2y＝8③，
②﹣③，得﹣y＝2，
解得y＝﹣2．
将y＝﹣2代入①，得x＝．
所以，原方程组的解为．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解本题的关键是对解二元一次方程组的解法的掌握．
22．如图是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表平面镜，并且AB与CD平行，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．请对离开潜望镜的光线MN与进入潜望镜的光线EF平行说明理由．
【分析】首先根据AB∥CD得出∠2＝∠3，再结合已知条件可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，然后根据的平角的意义可得出∠5＝∠6，最后根据平行线判定即可得出答案．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠5＝∠6．
∴MN∥EF．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补．
23．甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请用含m的代数式分别表示S1，S2．
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可；
（2）结合（1）列出相应的式子，再进行运算即可．
解：（1）S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7；
；
（2）设该正方形的边长为a，
根据题意得：4a＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），
4a＝2m+14+2m+2+2m+8+2m+4，
4a＝8m+28，
a＝2m+7，
S3＝（2m+7）2，
∴S3﹣2（S1+S2）
＝（2m+7）2﹣2（m2+8m+7+m2+6m+8）
＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30
＝19，
答：S3 与 2（S1+S2） 的差是常数19．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
24．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值；
（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材 64 张，B型板材 38 张；
②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值．
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
解：（1）由题意得：，
解得：，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4，
所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8，
所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张），
故答案为：64，38；
②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个，
所以，
解得．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．
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