上海2020-2021学年上海中学高三上学期期中仿真密卷

数学学科

（满分150分，考试时间120分钟）   

一、填空题（本大题满分48分，每小题4分）

1．若，且，则=________

2．直线的方程为，则的一个方向向量是_______

3．等差数列中,,  则=_______________

4．的三边所对角分别是,若，则=_________

5．已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则=_________

6．把10本书随机地排在书架上，则其中指定的3本书排在一起的概率是_________（结果用分数表示）

7．设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是       ．

8. 数列的前项和为，且记

，则的值是__________

9．设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值范围为_____________

10．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在，此时圆上一点的位置在，圆在轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于时，的坐标为________．

11．设实数满足：,则取得最小值时，       

12．已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。

二、选择题（本大题满分20分，每小题5分）

13．已知，则“”是“恒成立”的 （     ）

（A）充分不必要条件         （B）必要不充分条件 

（C）充要条件                  （D）既不充分也不必要条件

14．函数的图像如下图，则（     ）

A、

B、

C、            

D、

15．函数则函数是（）

（A）奇函数但不是偶函数            （B）偶函数但不是奇函数  

（C）既是奇函数又是偶函数          （D）既不是奇函数又不是偶函数

16．设是有理数，集合，在下列集合中：

（1） （2） （3） （4）

与相同的集合是（  ）

（A）4个         （B）3个          （C）2个           （D）1个

三、解答题（本大题满分72分）

17．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）

    已知在正四棱锥－中（如图），高为1，其体积为4，求异面直线与所成角的大小.

18．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）

已知函数．

（1）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；

（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.

19．（本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分）

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东方向，距A地海里处的点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．

⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；

⑵问：①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到小时）

20．（本题满分14分，第一小题4分，第二小题5分，第三小题5分）

已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和单调性；

（3）当，时，关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围.

21．（本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）

对于数列，若存在常数对任意恒有：

, 则称是-数列.

（1）首项为1，公比为的等比数列是否是-数列？请说明理由.

（2）若数列是-数列,

①证明：也是-数列；

②令，求证：数列是-数列.