2021届福建省福州市高三10月调研B卷数学试题

福州市2021届高三10月调研Ｂ卷

数学参考答案

命题组：

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．A，2．C，3．C，4．D，5．A，6．B，7．B，8．D．
8. 【解析】因为是定义域为的奇函数，所以.
构造函数，则，所以为上的偶函数．

当时，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
又为偶函数，， ，，所以，故选D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．ACD，10．BCD，11．BCD，12．AB．
11. 【解析】由题意，函数满足，解得且，
所以函数的定义域为，所以A不正确；

由，当时，，所以，
所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；

因为，所以在定义域上有解，
所以函数存在单调递增区间，所以C是正确的；

由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D正确．故选BCD．

12.【解析】因为在上单调，所以，即，所以．
若T＝π，则ω＝2，符合题意；
若T > π，因为所以直线x＝是f(x)的图象的一条对称轴，
因为所以f(x)图象的一个对称中心是，所以，
所以T＝3π，ω＝.故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．，14．，15．，16．．
16.【解析】根据题设可知，当时，，故，

同理可得：在区间上，，

所以当时，.

作函数的图象，如图所示.

在上，由，得，

由图象可知当时，，所以的最小值为．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础性．满分10分．

解析：（1）依题意，得
因为，解得

所以．·····················································5分

（2）由（1），得，

．······················································ 10分
18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础性．满分12分．

解析：（1）由正弦定理及已知，得2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC．
因为sinC≠0，所以cosC=，
因为C∈（0，π），所以C=．····································6分

（2）由（1）,所以ab=6，
又a + b = 5，所以，
由余弦定理知，c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 13 - 2×6×=7，
所以．·····················································12分

19．本小题主要考查函数的单调性、极值和最值、导数等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分12分．

解析：（1），因为函数在取得极小值，
由可得，解得．
经检验，是函数的极小值点，所以．
当时，，
由，解得或，由，解得．
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是．·······················6分

（2）由（1）知，所以，
由，在点处的切线的斜率，
所以切线的方程为，即．
令，可得，令可得，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积．···························12分

20．本小题主要考查正弦定理、解三角形、正切函数、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的核心素养有直观想象、数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性．满分12分．

解析：（1）由已知及正弦定理，得，

即，

因为，所以，所以，

所以，

又因为，所以．  

··························································5分

（2）设，，则．

①当，或时，．

②当时，，，

此时，

因为，所以，

所以，当且仅当时等号成立，

所以当时，取得最大值．

综述，的最大值为．………………………………………………………12分

21．本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础性，综合性． 满分12分．

解析：（1）选①．

由，得，

即，又，

所以是首项为4，公差为4的等差数列，

所以，所以．················································6分

（2）由（1），得，···········································7分

所以

·····················································10分

因为，所以，

又因为随着的增长而增大，所以．

综上．·····················································12分

若选②．

由，得，

即，又，

所以是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，所以．················································6分

下同．

若选③．

由（）可得：
当时，

 
 
  ．
当时，，符合，
所以当时，．················································6分
下同．

22．本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用、二项式定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、函数与方程思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性．满分12分．

解析：（1）因为，所以函数的定义域为.

设，.

当时，， 函数在上是增函数；当时, 函数在上是减函数.

又，所以函数是偶函数，于是，该函数在上是

减函数，在上是增函数.

（2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数.

 当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数；

当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数.

因为

，

所以在上是减函数，在上是增函数.所以，当或时，取得最大值；当时)取得最小值.