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2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线
2．式子①x﹣y；②x≤y；③x+y；④x2﹣3y；⑤x≥0；⑥12x≠2，属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
4．不等式组的解集为﹣1≤x≤1，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，则2x2y﹣4xy2＝ ．
12．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝ ．
13．小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少20元”，乙同学说：“最多15元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格x（元）所在的范围为 ．
14．若（20222﹣4）（20212﹣4）＝2024×2020×2019m，则m＝ ．
15．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
16．等边△ABC的边长为8，点D为直线AC上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC与∠ABC的平分线交于点E，点F为BE的中点，则DF的长为 ．
三、解答题（17题6分，18、19题每小题6分，共22分）
17．．
18．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣16；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3．
19．解不等式组：．
四、（每小题8分，共16分）
20．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD＝CE．
求证：∠ABC＝∠ACB．
21．用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车只装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请你算一算：有多少辆汽车运送这批货物？
五、（本题10分）
22．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．
六、（本题10分）
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
七、（本题12分）
24．如图所示，在同一个坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ；
（2）直接写出关于x的不等式组解集是 ；
（3）若点C坐标为（1，3），
①关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集是 ；
②△ABC的面积为 ；
③在y轴上找一点P，使得PB﹣PC的值最大，则P点坐标为 ．
八、（本题12分）
25．如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝ 时，CE′∥AB．
参考答案
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．式子①x﹣y；②x≤y；③x+y；④x2﹣3y；⑤x≥0；⑥12x≠2，属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用不等式的定义进行解答即可．
解：①x﹣y是代数式；
②x≤y是不等式；
③x+y是代数式；
④x2﹣3y是代数式；
⑤x≥0是不等式；
⑥x≠3是不等式；
属于不等式的共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
3．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
【分析】由角平分线定义得到∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA），由直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，因此∠MAB+∠MBA＝×90°＝45°，即可求出∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135．
解：如图，∠ACB＝90°，AM，BM分别平分∠CAB，∠CBA，
∵AM，BM分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA），
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝×90°＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是135°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是由角平分线定义得到∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）．
4．不等式组的解集为﹣1≤x≤1，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
解：不等式组的解集为﹣1≤x≤1在数轴表示﹣1和1以及两者之间的部分：
故选：B．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：A选项，不等式两边都减1，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
B选项，不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1，故该选项不符合题意；
D选项，当m≤0时，不等式不成立，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，即为因式分解．
解：x2+2x+3＝（x+1）2+2变形后是多项式与单项式的和的形式，
故A不符合题意；
15x2y＝3x•5y变形后是单项式乘单项式的形式，
故B不符合题意；
2（x+y）＝2x+2y是单项式乘多项式的运算，
故C不符合题意；
x2+6x+9＝（x+3）2是利用完全平方公式进行的因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，能区分整式的乘方和因式分解的形式是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】易求CD＝4，根据角平分线的性质可知D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度．
解：∵CB＝10，BD＝6，
∴CD＝10﹣6＝4．
∵∠1＝∠2．
∴D点到AC和AB的距离相等．
∵CD表示D点到AC的距离，
∴D到AB的距离为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由题意可得BC＝BC，则有∠BCD＝∠B＝30°，由三角形的内角和可求得∠BDC＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠ACD的度数．
解：由题意可得：BC＝BC，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝120°，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
10．如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】延长BP交AC于N，利用角边角定理求证△ABP≌△ANP，再利用M是BC中点，求证PM是△BNC的中位线，即可求出MP的长．
解：延长BP交AC于N
∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，
∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，
∴△ABP≌△ANP（ASA），
∴AN＝AB＝12，BP＝PN，
∴CN＝AC﹣AN＝22﹣12＝10，
∵BP＝PN，BM＝CM，
∴PM是△BNC的中位线，
∴PM＝CN＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证PM是△BNC的中位线．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，则2x2y﹣4xy2＝ 20 ．
【分析】首先提取公因式2xy，进而分解因式求出即可．
解：∵x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，
∴2x2y﹣4xy2＝2xy（x﹣2y）＝2×（﹣5）×（﹣2）＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
12．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝ 120° ．
【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．
解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B＝∠C的度数是解题关键．
13．小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少20元”，乙同学说：“最多15元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格x（元）所在的范围为 15＜x＜20 ．
【分析】根据题意得出不等式解答即可．
解：如果甲同学说的对，则：x≥20．
他说错了，x＜20．
如果乙同学说的对，则：x≤15．
他说错了，x＞15．
∴15＜x＜20．
故答案为：15＜x＜20．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意得出不等式解答．
14．若（20222﹣4）（20212﹣4）＝2024×2020×2019m，则m＝ 2023 ．
【分析】根据平方差公式将：（20222﹣4）（20212﹣4）化成（2022+2）（2022﹣2）（2021+2）（2021﹣2）＝2024×2020×2023×2019即可．
解：∵（20222﹣4）（20212﹣4）
＝（2022+2）（2022﹣2）（2021+2）（2021﹣2）
＝2024×2020×2023×2019＝2024×2020×2019m，
∴m＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查有理数的乘方，掌握平方差公式是正确解答的关键．
15．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 11 ．
【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD的最小值即可．
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝24，
∴AD＝8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．等边△ABC的边长为8，点D为直线AC上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC与∠ABC的平分线交于点E，点F为BE的中点，则DF的长为 或 ．
【分析】点D为直线AC上一点，则分为两种情况，即点D在线段AC上，和线段CA的延长线上，当点D在线段AC上时，易得BG＝EG＝6，再结合等边三角形三线合一的性质，和直角三角形DHF的勾股定理，即可求解；当D在线段CA的延长线时，利用30°的直角三角形的性质和Rt△DFG的勾股定理，即可求解．
解：（1）如图一所示，即当D在线段AC上时，
∵△ABC是等边三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH＝30°，BH⊥AC，
∵BC∥EG，
∴∠CBH＝∠E，
∴∠ABH＝∠E＝30°，
∴BG＝EG，
∵等边△ABC的边长为8，AD＝2，
∴BG＝EG＝6，GD＝2，
∴DE＝EG﹣GD＝4，
在Rt△DHE中，DH＝＝2，
∴HE＝＝2，
∵点F是BE的中点，
∴GF⊥BE，
在Rt△GFE中，GF＝＝3，
∴＝3，
∴FH＝EF﹣HE＝，
在Rt△DHF中，DF＝＝，
（2）如图二所示，即当点D在CA的延长线上时，
由（1）可知∠E＝30°，BG⊥CD，AG＝CG＝4，
又AD＝2，
∴DG＝6，
在Rt△DEG中，DE＝2DG＝12，
∴GE＝＝4，
∴BE＝BG+GE＝10，
∵点F是BE的中点，
∴EF＝＝5，
∴FG＝GE﹣EF＝，
在Rt△DGF中，DF＝＝，
综上所述：DF＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想等知识点，解题的关键是由题干信息分析出两种情况，即分类讨论的思想．
三、解答题（17题6分，18、19题每小题6分，共22分）
17．．
【分析】先算乘方，零指数幂，二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：
＝﹣1+3﹣1+
＝﹣1+3﹣1+2
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣16；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3．
【分析】（1）连续利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
解：（1）x4﹣16
＝（x2）2﹣42
＝（x2﹣4）（x2+4）
＝（x﹣2）（x+2）（x2+4）；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3
＝﹣y（9x2﹣12xy﹣4y2）
＝﹣y（3x﹣2y）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，解答此类型题目时需特别注意因式分解必须彻底．
19．解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①，得x＞﹣，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式组的解集是x＞﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD＝CE．
求证：∠ABC＝∠ACB．
【分析】证明Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），即可得出结论．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠DBC＝∠ECB，
即∠ABC＝∠ACB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．
21．用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车只装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请你算一算：有多少辆汽车运送这批货物？
【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．
解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．
∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x﹣1辆车，
由题意，得0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8，
解得5＜x＜7．
∵x为正整数，
∴x＝6．
∴4x+20＝44．
答：有6辆车，44吨货物．
【点评】熟练掌握不等式的运用，能够求解一些简单与应用问题．
五、（本题10分）
22．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG＝CE
又∵BD＝CE，
∴BD＝DG，
∴∠DBG＝∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
六、（本题10分）
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）先作A点关于x轴的对称点，连接BA′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，△PAB为所作，P点坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
七、（本题12分）
24．如图所示，在同一个坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 x＝﹣1 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＞2 ；
（2）直接写出关于x的不等式组解集是 ﹣1＜x＜2 ；
（3）若点C坐标为（1，3），
①关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集是 x＞1 ；
②△ABC的面积为 ；
③在y轴上找一点P，使得PB﹣PC的值最大，则P点坐标为 （0，2） ．
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）①利用图象即可求解；
②利用三角形面积公式求得即可；
③作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点．
解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2，
故答案为x＝﹣1，x＞2；
（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2；
（3）点C（1，3），
①由图象可知，不等式k1x+b1＞kx+b的解集是x＞1；
②∵AB＝3，
∴S△ABC＝AB•yC＝＝；
③∵C（1，3），
∴点C关于y轴的对称点C′为（﹣1，3），连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点，
设直线BC′为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BC′为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴P（0，2），
故答案为：x＞1；；（0，2）．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，轴对称﹣最短路线问题，正确利用数形结合解题是解题关键．
八、（本题12分）
25．如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝ 36°或72° 时，CE′∥AB．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C＝72°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝∠CBE＝36°，然后求出∠BEC＝72°，从而得到∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）求出AE＝AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
∴AE＝BC；
（2）证明：∵AB＝AC，EF∥BC，
∴AE＝AF，
由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′＝BF′；
（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE＝BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM＝∠ABC＝72°，
又∵∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．
2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线
2．式子①x﹣y；②x≤y；③x+y；④x2﹣3y；⑤x≥0；⑥12x≠2，属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
4．不等式组的解集为﹣1≤x≤1，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
10．如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，则2x2y﹣4xy2＝ ．
12．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝ ．
13．小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少20元”，乙同学说：“最多15元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格x（元）所在的范围为 ．
14．若（20222﹣4）（20212﹣4）＝2024×2020×2019m，则m＝ ．
15．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
16．等边△ABC的边长为8，点D为直线AC上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC与∠ABC的平分线交于点E，点F为BE的中点，则DF的长为 ．
三、解答题（17题6分，18、19题每小题6分，共22分）
17．．
18．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣16；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3．
19．解不等式组：．
四、（每小题8分，共16分）
20．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD＝CE．
求证：∠ABC＝∠ACB．
21．用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车只装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请你算一算：有多少辆汽车运送这批货物？
五、（本题10分）
22．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．
六、（本题10分）
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
七、（本题12分）
24．如图所示，在同一个坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ；
（2）直接写出关于x的不等式组解集是 ；
（3）若点C坐标为（1，3），
①关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集是 ；
②△ABC的面积为 ；
③在y轴上找一点P，使得PB﹣PC的值最大，则P点坐标为 ．
八、（本题12分）
25．如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝ 时，CE′∥AB．
参考答案
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共20分）
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．斐波那契螺旋线 D．科克曲线
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．式子①x﹣y；②x≤y；③x+y；④x2﹣3y；⑤x≥0；⑥12x≠2，属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用不等式的定义进行解答即可．
解：①x﹣y是代数式；
②x≤y是不等式；
③x+y是代数式；
④x2﹣3y是代数式；
⑤x≥0是不等式；
⑥x≠3是不等式；
属于不等式的共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
3．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是（ ）
A．120° B．135° C．150° D．160°
【分析】由角平分线定义得到∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA），由直角三角形的性质得到∠CAB+∠CBA＝90°，因此∠MAB+∠MBA＝×90°＝45°，即可求出∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135．
解：如图，∠ACB＝90°，AM，BM分别平分∠CAB，∠CBA，
∵AM，BM分别平分∠CAB，∠CBA，
∴∠MAB＝∠CAB，∠MBA＝∠CBA，
∴∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA），
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠MAB+∠MBA＝×90°＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是135°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是由角平分线定义得到∠MAB+∠MBA＝（∠CAB+∠CBA）．
4．不等式组的解集为﹣1≤x≤1，在下列数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
解：不等式组的解集为﹣1≤x≤1在数轴表示﹣1和1以及两者之间的部分：
故选：B．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b C．2a+1＜2b+1 D．ma＞mb
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：A选项，不等式两边都减1，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
B选项，不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴2a＜2b，
∴2a+1＜2b+1，故该选项不符合题意；
D选项，当m≤0时，不等式不成立，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
6．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．15x2y＝3x•5xy
C．2（x+y）＝2x+2y D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，即为因式分解．
解：x2+2x+3＝（x+1）2+2变形后是多项式与单项式的和的形式，
故A不符合题意；
15x2y＝3x•5y变形后是单项式乘单项式的形式，
故B不符合题意；
2（x+y）＝2x+2y是单项式乘多项式的运算，
故C不符合题意；
x2+6x+9＝（x+3）2是利用完全平方公式进行的因式分解，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，能区分整式的乘方和因式分解的形式是解题的关键．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在点A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
【分析】由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
解：由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律是：横坐标﹣4，纵坐标+1，
∴点B的对应点B1的坐标（﹣1，0）．
故选：C．
【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点A（2，1）平移后A1（﹣2，2）可得坐标的变化规律，由此可得点B的对应点B1的坐标．
8．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】易求CD＝4，根据角平分线的性质可知D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度．
解：∵CB＝10，BD＝6，
∴CD＝10﹣6＝4．
∵∠1＝∠2．
∴D点到AC和AB的距离相等．
∵CD表示D点到AC的距离，
∴D到AB的距离为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出D点到AB的距离等于D点到AC的距离CD长度是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．∠ACD的大小为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由题意可得BC＝BC，则有∠BCD＝∠B＝30°，由三角形的内角和可求得∠BDC＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠ACD的度数．
解：由题意可得：BC＝BC，
∴∠BCD＝∠B＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝120°，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝75°．
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
10．如图在△ABC中，M是BC中点，AP是∠A平分线，BP⊥AP于P，AB＝12，AC＝22，则MP长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】延长BP交AC于N，利用角边角定理求证△ABP≌△ANP，再利用M是BC中点，求证PM是△BNC的中位线，即可求出MP的长．
解：延长BP交AC于N
∵AP是∠BAC的角平分线，BP⊥AP于P，
∴∠BAP＝∠NAP，∠APB＝∠APN＝90°，
∴△ABP≌△ANP（ASA），
∴AN＝AB＝12，BP＝PN，
∴CN＝AC﹣AN＝22﹣12＝10，
∵BP＝PN，BM＝CM，
∴PM是△BNC的中位线，
∴PM＝CN＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证PM是△BNC的中位线．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．已知x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，则2x2y﹣4xy2＝ 20 ．
【分析】首先提取公因式2xy，进而分解因式求出即可．
解：∵x﹣2y＝﹣5，xy＝﹣2，
∴2x2y﹣4xy2＝2xy（x﹣2y）＝2×（﹣5）×（﹣2）＝20．
故答案为：20．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
12．如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝ 120° ．
【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，进而利用三角形内角和定理求出即可．
解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B＝∠C的度数是解题关键．
13．小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少20元”，乙同学说：“最多15元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格x（元）所在的范围为 15＜x＜20 ．
【分析】根据题意得出不等式解答即可．
解：如果甲同学说的对，则：x≥20．
他说错了，x＜20．
如果乙同学说的对，则：x≤15．
他说错了，x＞15．
∴15＜x＜20．
故答案为：15＜x＜20．
【点评】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意得出不等式解答．
14．若（20222﹣4）（20212﹣4）＝2024×2020×2019m，则m＝ 2023 ．
【分析】根据平方差公式将：（20222﹣4）（20212﹣4）化成（2022+2）（2022﹣2）（2021+2）（2021﹣2）＝2024×2020×2023×2019即可．
解：∵（20222﹣4）（20212﹣4）
＝（2022+2）（2022﹣2）（2021+2）（2021﹣2）
＝2024×2020×2023×2019＝2024×2020×2019m，
∴m＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查有理数的乘方，掌握平方差公式是正确解答的关键．
15．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 11 ．
【分析】如图，连接AD，由题意点B关于直线EF的对称点为点A，推出AD的长为BM+MD的最小值即可．
解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×6×AD＝24，
∴AD＝8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16．等边△ABC的边长为8，点D为直线AC上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC与∠ABC的平分线交于点E，点F为BE的中点，则DF的长为 或 ．
【分析】点D为直线AC上一点，则分为两种情况，即点D在线段AC上，和线段CA的延长线上，当点D在线段AC上时，易得BG＝EG＝6，再结合等边三角形三线合一的性质，和直角三角形DHF的勾股定理，即可求解；当D在线段CA的延长线时，利用30°的直角三角形的性质和Rt△DFG的勾股定理，即可求解．
解：（1）如图一所示，即当D在线段AC上时，
∵△ABC是等边三角形，BE平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH＝30°，BH⊥AC，
∵BC∥EG，
∴∠CBH＝∠E，
∴∠ABH＝∠E＝30°，
∴BG＝EG，
∵等边△ABC的边长为8，AD＝2，
∴BG＝EG＝6，GD＝2，
∴DE＝EG﹣GD＝4，
在Rt△DHE中，DH＝＝2，
∴HE＝＝2，
∵点F是BE的中点，
∴GF⊥BE，
在Rt△GFE中，GF＝＝3，
∴＝3，
∴FH＝EF﹣HE＝，
在Rt△DHF中，DF＝＝，
（2）如图二所示，即当点D在CA的延长线上时，
由（1）可知∠E＝30°，BG⊥CD，AG＝CG＝4，
又AD＝2，
∴DG＝6，
在Rt△DEG中，DE＝2DG＝12，
∴GE＝＝4，
∴BE＝BG+GE＝10，
∵点F是BE的中点，
∴EF＝＝5，
∴FG＝GE﹣EF＝，
在Rt△DGF中，DF＝＝，
综上所述：DF＝或，
故答案为：或．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想等知识点，解题的关键是由题干信息分析出两种情况，即分类讨论的思想．
三、解答题（17题6分，18、19题每小题6分，共22分）
17．．
【分析】先算乘方，零指数幂，二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：
＝﹣1+3﹣1+
＝﹣1+3﹣1+2
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．把下列各式分解因式：
（1）x4﹣16；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3．
【分析】（1）连续利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
解：（1）x4﹣16
＝（x2）2﹣42
＝（x2﹣4）（x2+4）
＝（x﹣2）（x+2）（x2+4）；
（2）﹣9x2y+12xy2﹣4y3
＝﹣y（9x2﹣12xy﹣4y2）
＝﹣y（3x﹣2y）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，解答此类型题目时需特别注意因式分解必须彻底．
19．解不等式组：．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
解：，
解不等式①，得x＞﹣，
解不等式②，得x≥﹣1，
所以不等式组的解集是x＞﹣．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
四、（每小题8分，共16分）
20．已知：如图，在△ABC中，BE⊥AC，垂足为点E，CD⊥AB，垂足为点D，且BD＝CE．
求证：∠ABC＝∠ACB．
【分析】证明Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），即可得出结论．
【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠DBC＝∠ECB，
即∠ABC＝∠ACB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．
21．用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车只装8吨，则最后一辆汽车不满也不空，请你算一算：有多少辆汽车运送这批货物？
【分析】如果设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．
解：设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．
∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x﹣1辆车，
由题意，得0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8，
解得5＜x＜7．
∵x为正整数，
∴x＝6．
∴4x+20＝44．
答：有6辆车，44吨货物．
【点评】熟练掌握不等式的运用，能够求解一些简单与应用问题．
五、（本题10分）
22．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG＝CE
又∵BD＝CE，
∴BD＝DG，
∴∠DBG＝∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
六、（本题10分）
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）先作A点关于x轴的对称点，连接BA′交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）如图，△PAB为所作，P点坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
七、（本题12分）
24．如图所示，在同一个坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 x＝﹣1 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＞2 ；
（2）直接写出关于x的不等式组解集是 ﹣1＜x＜2 ；
（3）若点C坐标为（1，3），
①关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集是 x＞1 ；
②△ABC的面积为 ；
③在y轴上找一点P，使得PB﹣PC的值最大，则P点坐标为 （0，2） ．
【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与x轴交点坐标，结合图象得出答案；
（3）①利用图象即可求解；
②利用三角形面积公式求得即可；
③作点C关于y轴的对称点C′，连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点．
解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2，
故答案为x＝﹣1，x＞2；
（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2；
（3）点C（1，3），
①由图象可知，不等式k1x+b1＞kx+b的解集是x＞1；
②∵AB＝3，
∴S△ABC＝AB•yC＝＝；
③∵C（1，3），
∴点C关于y轴的对称点C′为（﹣1，3），连接BC′，直线BC′与y轴的交点即为P点，
设直线BC′为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BC′为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，
∴P（0，2），
故答案为：x＞1；；（0，2）．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，轴对称﹣最短路线问题，正确利用数形结合解题是解题关键．
八、（本题12分）
25．如图（1），在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE'F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；
（3）在图（2）的旋转过程中当旋转角α＝ 36°或72° 时，CE′∥AB．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠C＝72°，再根据角平分线的定义求出∠ABE＝∠CBE＝36°，然后求出∠BEC＝72°，从而得到∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，再根据等角对等边证明即可；
（2）求出AE＝AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝×72°＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝36°+36°＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
∴AE＝BC；
（2）证明：∵AB＝AC，EF∥BC，
∴AE＝AF，
由旋转的性质得，∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′＝BF′；
（3）解：存在CE′∥AB．
由（1）可知AE＝BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM＝∠ABC＝72°，
又∵∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣72°×2＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝36°+36°＝72°，
综上所述，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
故答案为：36°或72°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．
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