山东省德州市2023届高三三模数学试卷(含答案)

山东省德州市2023届高三三模数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，若，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

2、若复数z满足，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、已知，q：向量与共线，则p是q的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4、函数的图象大致是(   )

A. B.

C. D.

5、2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.4以下(不含0.4)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：)(   )

A.16 B.17 C.18 D.19

6、若，则(   )

A.

B.

C.

D.

7、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点E为BC上靠近B的三等分点，则三棱锥P-ABCD外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

8、已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则(   )

A.2025 B.2024 C.1013 D.1012

二、多项选择题

9、PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值(单位：)的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是(   )

A.众数为33  B.第70百分位数是33

C.中位数小于平均数 D.前4天的方差小于后4天的方差

10、已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线l与x轴交于点P，过点F的直线与抛物线C交于，两点，O为坐标原点，则(   )

A.若，则 B.

C.  D.面积的最小值为16

11、函数的部分图象如图中实线所示，C为函数与x轴的交点，圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则(   )

A.

B.圆的半径为

C.函数的图象关于点成中心对称

D.函数在上单调递增

12、在棱长为1的正方体中，已知点P在面对角线AC上运动，点E，F，G分别为，，的中点，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且平面，则(   )

A.平面

B.平面平面

C.过E，F，G三点的平面截正方体所得的截面面积为

D.动点M到点距离的取值范围是

三、填空题

13、若，为锐角，且，则___________

14、某校高二学生的一次数学诊断考试成绩(单位：分)服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率___________(结果用分数表示)

附参考数据：；；

15、已知数列，，，满足条件“”的数列的个数为___________

16、若直线与圆相切于点P，且交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，射线OP与椭圆M交于点Q，设的面积与的面积分别为，，的最大值为___________；当取得最大值时，的值为___________

四、解答题

17、已知为数列的前n项和，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记的前n项和为，证明：.

18、某学校组织“一带一路”答题闯关活动，每位参赛选手需要回答三个问题，对于前两个问题，每个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得20分，回答错误扣10分，规定每位参赛选手回答这三个问题的总分不低于30分就算闯关成功.选手小明回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互独立.

（1）求小明回答正确至少两个问题的概率；

（2）求小明回答这三个问题的总得分X的分布列，并求数学期望和闯关成功的概率.

19、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求B；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

20、图1是直角梯形ABCD，，，，，，四边形ABCE为平行四边形，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.

图1                    图2

（1）求证：平面平面ABED；

（2）在线段BE上存在点P使得PA与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值.

21、已知，分别为双曲线的左，右焦点，点在C上，且双曲线C的渐近线与圆相切.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，Q为x轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22、已知函数，其中.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若存在两个极值点，的取值范围为，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：

2、答案：C

解析：

3、答案：A

解析：先由向量共线求得或，进而可判断充分性和必要性.

若向量与共线，则，解得或所以是q的充分不必要条件.

故选：A.

4、答案：D

解析：

5、答案：C

解析：由题意求得，初始学习率，衰减速度，所以

因为当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5

可得，解得，

所以，

令，可得，则，

可得

所以至少所需的训练迭代轮数至少为18.

故选：C.

6、答案：D

解析：对于D，令，得，所以，故D正确.故选D.

7、答案：A

解析：

8、答案：B

解析：

9、答案：AC

解析：根据折线图可知，日均值个数最多的是33，有两个，故众数为33，故A正确；

将日均值按从小到大的顺序排列为：

17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，

因为为整数，则第70百分位

数是，故B不正确；

中位数为，平均数为，故C正确；

前4天的平均数为，

方差为

后4天的平均数为，方差为，前4天的方差大于后4天的方差，故D不正确.

故选：AC

10、答案：ACD

解析：确定焦点和准线，设直线AB为，联立得到根与系数的关系，计算得到，A正确，，B错误，，C正确，，D正确，得到答案.

11、答案：AC

解析：根据函数的图象以及圆C的对称性，

可得M，N两点关于圆心对称，

所以，于是

故A正确；

由及，得

，，

由于，所以，

所以，，从而，故半径为

，故B错误；

将代入得

所以

是中心对称，故C正确；

当时，

，

，此时

为减函数，故D错误.

故选：AC，

12、答案：ABD

解析：C：由正方体的特征可得截面为正六边形，即可求面积，，所以截面正六边形的面积为，故C错

13、答案：2

解析：

故，

则

由上式可得，

14、答案：

解析：所以

由条件概率公式得，故答案为，

15、答案：266

解析：

16、答案：1；

解析：联立直线和椭圆的方程，韦达定理，计算出弦长和，利用基本不等式即可求出最大值；先求出Q坐标，然后计算，，最后计算即可.

17、答案：（1）（2）证明见解析

解析：（1）因为

所以，

两式相减得：，

当时，

所以

，所以是以5为首项，公比为2的等比数列

故：

故

（2）

当时，，故

18、答案：（1）（2）分布列见解析，期望为20，概率为

解析：（1）记A：小明回答正确至少两个问题

（2）由题意得，X所有的取值为：-10，0，10，20，30，40

，

，，，

19、答案：（1）（2）

解析：（1）由正弦定理得

.

因为，所以.

即，

.

又，

所以.

所以，

所以.

（2）方法一：因为是锐角三角形，

由（1）知，则，

故，

解得.

由三角形面积公式得

又

所以，

故，

所以的取值范围是.

方法二：由余弦定理得.

因为是锐角三角形，

所以，所以，

将代人得，

解得.

因为，

所以，

将代人得.

故，

即.

20、答案：（1）证明见解析（2）

解析：

图1                    图2

（1）证明：在图1中，连接AC，交BE于O，

，，，

所以，

，

所以，四边形ABCE是菱形，

所以，且.

在图2中，满足，

所以，

所以，，

又，，所以，平面

平面ABED，所以，平面平面ABED；

（2）以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则

即，取，得

设，，在线段BE上存在点P使得PA与平面的正弦值为，

所以

解得或(舍)，

所以，，

设平面的法向量为，

则即，取，得设平面与平面的平面角为，

21、答案：（1）（2）

解析：（1）由题意点在双曲线C上，

可得

圆的圆心为，半径为1，双曲线的渐近线与圆相切，

所以，，即

解得，，

故双曲线方程为；

（2）是定值.

设直线方程为，由于直线交双曲线C的右支于A，B两点，故，

联立，可得，

当时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意

故，此时，

设，，则，

则，

即A，B的中点坐标为，

因为Q为x轴上一点，满足，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，

AB的垂直平分线的方程为：，

令，则得，即，

所以，

又，

又因为A，B在双曲线的右支上，故，，故，即，故，即为定值，定值为

22、答案：（1）（2）见解析（3）

解析：（1）当时，，

所以，又，

所以

（2）的定义域是，

，，

令，则.

①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.

②当，即时，由，得或；

由，得

所以在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减

（3）由（2）当时，有两个极值点，即方程有两个正根，，所以，则在上是减函数.

所以

，

则

令，则，

，

所以在上单调递减，

又，

所以，

由，，

又，上单调递减，

所以且，所以实数a的取值范围为.