2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线
C. 斐波那契螺旋线 D. 科克曲线

2.  式子；；；；；，属于不等式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集为，在下列数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知，下列式子不一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，中，，是边上的一点，，，，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图在中，是中点，是平分线，于，，，则长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知，，则 ______ ．

12.  如图，在中，是的三等分点，且是等边三角形，则 ______ ．

13.  小明购买了一本书，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲同学说：“至少元”，乙同学说：“最多元”，小明说：“你们都说错了”，则这本书的价格元所在的范围为______．

14.  若，则 ______ ．

15.  如图等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______．

16.  等边的边长为，点为直线上一点，且，过点作与的平分线交于点，点为的中点，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
．

18.  本小题分
把下列各式分解因式：
；
．

19.  本小题分
解不等式组：．

20.  本小题分
已知：如图，在中，，垂足为点，，垂足为点，且．
求证：．

21.  本小题分
用若干辆载重量为吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装吨，则剩下吨货物；若每辆汽车只装吨，则最后一辆汽车不满也不空，请你算一算：有多少辆汽车运送这批货物？

22.  本小题分
如图，在的边的延长线上，点在边上，交于点，，，求证：是等腰三角形．

23.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
在图中画出绕原点逆时针旋转后的；
请画出关于原点对称的；
在轴上求作一点，使的周长最小，请画出，并直接写出点的坐标．

24.  本小题分
如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题：
关于的方程的解是______ ；关于的不等式的解集是______ ；
直接写出关于的不等式组解集是______ ；
若点坐标为，
关于的不等式的解集是______ ；
的面积为______ ；
在轴上找一点，使得的值最大，则点坐标为______ ．

25.  本小题分
如图，在中，，，的平分线交于．
求证：；
如图，过点作交于，将绕点逆时针旋转角得到，连接，，求证：；
在图的旋转过程中当旋转角______时，．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：是代数式；
 是不等式；
 是代数式；
 是代数式；
是不等式；
是不等式；
属于不等式的共个，
故选：．
利用不等式的定义进行解答即可．
此题主要考查了不等式定义，关键是掌握用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，，，分别平分，，
，分别平分，，
，，
，
，
，
，
，
直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的钝角的度数是．
故选：．
由角平分线定义得到，由直角三角形的性质得到，因此，即可求出．
本题考查直角三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，关键是由角平分线定义得到．
 

4.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为在数轴表示和以及两者之间的部分：

故选：．
根据不等式组的解集在数轴上表示出来即可．
本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项，不等式两边都减，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
选项，不等式两边都乘，不等号的方向改变，故该选项不符合题意；
选项，，
，
，故该选项不符合题意；
选项，当时，不等式不成立，故该选项符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：变形后是多项式与单项式的和的形式，
故A不符合题意；
变形后是单项式乘单项式的形式，
故B不符合题意；
是单项式乘多项式的运算，
故C不符合题意；
是利用完全平方公式进行的因式分解，
故D符合题意；
故选：．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，即为因式分解．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，能区分整式的乘方和因式分解的形式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由点平移后可得坐标的变化规律是：左移个单位，上移个单位，
点的对应点的坐标．
故选：．
由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
本题运用了点的平移的坐标变化规律，关键是由点平移后可得坐标的变化规律，由此可得点的对应点的坐标．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
．
．
点到和的距离相等．
表示点到的距离，
到的距离为．
故选：．
易求，根据角平分线的性质可知点到的距离等于点到的距离长度．
本题主要考查了角平分线的性质，题目简单易懂，观察出点到的距离等于点到的距离长度是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
，
，
．
故选：．
由题意可得，则有，由三角形的内角和可求得，再由三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了学生对全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证是的中位线．
延长交于，利用角边角定理求证≌，再利用是中点，求证是的中位线，即可求出的长．
【解答】
解：延长交于，

是的角平分线，于，
，，，
≌，
，，
，
，，
是的中位线，
．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式法的分解因式，正确分解因式是解题关键，还考查了整体代入法．
首先提取公因式，进而分解因式，再整体代入计算即可．
【解答】
解：，，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：是的三等分点，且是等边三角形，
，，
，
．
故答案为：．
利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出，进而利用三角形内角和定理求出即可．
此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出的度数是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如果甲同学说的对，则：．
他说错了，．
如果乙同学说的对，则：．
他说错了，．
．
故答案为：．
根据题意得出不等式解答即可．
此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据题意得出不等式解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
，
故答案为：．
根据平方差公式将：化成即可．
本题考查有理数的乘方，掌握平方差公式是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最短为，
故答案为：．
如图，连接，由题意点关于直线的对称点为点，推出的长为的最小值即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图一所示，即当在线段上时，

是等边三角形，平分，
，，
，
，
，
，
等边的边长为，，
，，
，
在中，，
，
点是的中点，
，
在中，，
，
，
在中，，
如图二所示，即当点在的延长线上时，

由可知，，，
又，
，
在中，，
，
，
点是的中点，
，
，
在中，，
综上所述：或，
故答案为：或．
点为直线上一点，则分为两种情况，即点在线段上，和线段的延长线上，当点在线段上时，易得，再结合等边三角形三线合一的性质，和直角三角形的勾股定理，即可求解；当在线段的延长线时，利用的直角三角形的性质和的勾股定理，即可求解．
本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想等知识点，解题的关键是由题干信息分析出两种情况，即分类讨论的思想．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先算乘方，零指数幂，二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：


；



． 

【解析】连续利用平方差公式进行因式分解即可；
先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，解答此类型题目时需特别注意因式分解必须彻底．
 

19.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
即． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解题的关键．证明≌，即可得出结论．
 

21.【答案】解：设有辆车，则有吨货物．
每辆汽车装满吨，则最后一辆汽车不满也不空，
装满的有辆车，
由题意，得，
解得．
为正整数，
．
．
答：有辆车，吨货物． 

【解析】如果设有辆车，则有吨货物．根据若每辆汽车装满吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．
熟练掌握不等式的运用，能够求解一些简单与应用问题．
 

22.【答案】证明：过点作于点，

两直线平行，内错角相等，
在和中
，
≌，

又，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】利用平行线的性质得出进而利用得出≌，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”，需要熟练掌握．
 

23.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
如图，为所作，点坐标为．
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
根据关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
先作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

24.【答案】          

【解析】解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、，
关于的方程的解是，关于的不等式的解集为，
故答案为，；
根据图象可以得到关于的不等式组的解集；
点，
由图象可知，不等式的解集是；
，
；
，
点关于轴的对称点为，连接，直线与轴的交点即为点，
设直线为，
，解得，
直线为，
令，则，
，
故答案为：；；．
利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案；
利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案；
利用图象即可求解；
利用三角形面积公式求得即可；
作点关于轴的对称点，连接，直线与轴的交点即为点．
此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组，三角形面积，轴对称最短路线问题，正确利用数形结合解题是解题关键．
 

25.【答案】或 

【解析】证明：，，
，
平分，
，
，
，，
，，
；

证明：，，
，
由旋转的性质得，，，
在和中，
，
≌，
；

解：存在．
由可知，
所以，在绕点逆时针旋转过程中，点经过的路径圆弧与过点且与平行的直线相交于点、，如图，
当点的像与点重合时，四边形是等腰梯形，
所以，，
又，
；
当点的像与点重合时，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当旋转角为或时，．
故答案为：或．
根据等腰三角形两底角相等求出，再根据角平分线的定义求出，然后求出，从而得到，，再根据等角对等边证明即可；
求出，再根据旋转的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
把绕点逆时针旋转与过点与平行的直线相交于、，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论．