2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（5月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在东西向的马路上，把出发点记为，向东与向西意义相反．若把向东走记做“”，那么向西走应记做(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，互为相反数，的倒数是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列图形中有稳定性的是(    )

A. 三角形 B. 平行四边形 C. 长方形 D. 正方形

7.  第组数据为：、、、、、，第组数据为：，其中、是正整数下列结论：当时，两组数据的平均数相等；当时，第组数据的平均数小于第组数据的平均数；当时，第组数据的中位数小于第组数据的中位数；当时，第组数据的方差小于第组数据的方差．其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，内接于，，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  桂林作为国际旅游名城，每年吸引着大量游客前来观光．现有一批游客分别乘坐甲乙两辆旅游大巴同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲大巴因故停留一段时间后继续驶向景点，乙大巴全程匀速驶向景点．两辆大巴的行程随时间变化的图象全程如图所示．依据图中信息，下列说法错误的是(    )

A. 甲大巴比乙大巴先到达景点 B. 甲大巴中途停留了
C. 甲大巴停留后用追上乙大巴 D. 甲大巴停留前的平均速度是

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  在，，，，五个数中，为无理数的有______ 个
 

13.  若，则以，为边长的等腰三角形的周长为______ ．

14.  有一种新冠病毒直径为米，数用科学记数法表示为______．

15.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为______．

16.  如图，在正方形中，为的中点，连接交于点若，则的面积为______．

17.  如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是______
 

18.  定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为          ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中使一元二次方程有两个相等的实数根．

21.  本小题分
为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
参加问卷调查的学生共有______ 人；
条形统计图中的值为______ ，扇形统计图中的度数为______ ；
现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．

22.  本小题分
钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价：
根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量；
钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为元束的鲜花，剩余的钱不超过元，求有哪几种购买方案．

23.  本小题分
如图，已知直线：与反比例函数的图象交于点，直线经过点，且与关于直线对称．
求反比例函数的解析式；
求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
求证：≌；
若，，求的长．

25.  本小题分
如图，在中，为的直径，点在上，为的中点，连接，并延长交于点连接，在的延长线上取一点，连接，使．

求证：为的切线；
若，，求的半径．

26.  本小题分
如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线某运动员次试跳的轨迹如图在着陆坡上设置点与相距作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标．

求线段的函数表达式写出的取值范围．
当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标．
在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得组与的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图．
猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
当为多少时，运动员的成绩恰能达标精确到？参考数据：，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若把向东走记做“”，那么向西走应记做．
故选：．
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，互为相反数，的倒数是，
所以，，
所以


．
故选：．
两数互为相反数，和为；两数互为倒数，积为，由此可解出此题．
本题考查的是相反数和倒数的概念，两数互为相反数，则它们的和为；两数互为倒数，它们的积为．
 

3.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，
故选：．
分别根据立方根、分式的减法、二次根式的加法、同底数幂的乘法法则进行运算．
本题考查了分式的运算、立方根、二次根式的加法、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解，得，
解，得．
所以原不等式组的解集为：．
故符合条件的选项是．
故选：．
先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解法是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：．
根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

本题考查了平均数，中位数，方差的意义，掌握平均数，中位数，方差的计算，其中分情况讨论是解题关键．
【分析】
求出第组、第组平均数进行比较；
求出时，第组数据的平均数进行比较；
求出第组数据的中位数，当时，若为奇数，为偶数，分情况讨论求出第组数据的中位数进行比较；
求出第组、第组方差进行比较．
【解答】
解：第组平均数为：，
当时，第组平均数为：，
正确；
当时，，，
第组数据的平均数大于第组数据的平均数，
错误；
第组数据的中位数，
当时，若为奇数，第组数据的中位数是，若为偶数，第组数据的中位数是，
当时，第组数据的中位数是，
当时，第组数据的中位数小于第组数据的中位数，
正确；
第组数据的方差：，
第组数据的方差：，
当时，第组数据的方差等于第组数据的方差，
错误；
故答案为：．  

8.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，

易得，
则，即，
解得：，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
甲大巴比乙大巴先到达景点，故选项A正确，不符合题意；
甲大巴中途停留了，故选项B正确，不符合题意；
甲大巴停留后用追上乙大巴，故选项C错误，符合题意；
甲大巴停留前的平均速度是，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先计算零次幂和负整数次幂，再求差．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是整数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
无理数有，，共个．
故答案为：．
根据无理数是无限不循环小数的定义进行判断即可．
本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：，，，
，，
，，
设三角形的第三边为，
当时，三角形的周长，
当时，三角形的周长，
故答案为：或．
先求，再求第三边即可．
本题考查了非负数的性质，求出，后确定腰和底是求解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
应用科学记数法．表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．即可得出答案．
本题主要考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法表示较小的数的方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于点，

由题意可知：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：；
故答案为：；
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
为的中点，
，
，
∽，
，
：：，
．
故答案为：．
由正方形的性质可知，，则可判断∽，利用相似三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到．
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为．
，
．
在中，
，
，．
，
．
在中，
，
．
故答案为：．
过点作，在中先求出，再在中利用边角间关系求出．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算，掌握三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的前提，画出符合题意的图形是正确解答的关键．
根据题意画出相应的图形，利用三角形的内心、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】
解：如图，当过点，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，
圆心为三角形的内心，
当过点，即，此时最大，
过点分别作弦、、的垂线，垂足分别为、、，连接，，，
，
，
，，，
，
由，
，
设，则，
，解得，
即，
在中，，
故答案为：．  

19.【答案】解：原式
，
，
，
，
原式． 

【解析】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，再将已知条件变形后整体代入即可．
 

20.【答案】解：原式

，
又一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
原式． 

【解析】先把括号内通分后进行同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后根据判别式的意义求出的值，再把的值代入中计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算和根的判别式．
 

21.【答案】     

【解析】解：人，
参加问卷调查的学生共有人．
故答案为：．

，
，
故答案为：；．

画树状图如图：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为．
利用即可求出参加问卷调查的学生人数；
根据，即可得出答案．
画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：设出售的竹篮个，陶罐个，依题意有：
，
解得：．
故出售的竹篮个，陶罐个；
设购买鲜花束，依题意有：
，
解得，
为整数，
共有种购买方案，方案一：购买鲜花束；方案二：购买鲜花束；方案三：购买鲜花束；方案四：购买鲜花束． 

【解析】设出售的竹篮个，陶罐个，根据“每个竹篮元，每个陶罐元共需元；每个竹篮元，每个陶罐元共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买鲜花束，根据总价单价数量结合剩余的钱不超过元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之取其中的整数值，即可得出各购买方案．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

23.【答案】解：点在直线：上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
直线：
直线与、轴的交点分别为，，
直线经过点，且与关于直线对称，
直线与轴的交点为，
设直线：，则，
解得：，
直线：，
与轴的交点为，
阴影部分的面积的面积的面积． 

【解析】将点坐标代入直线解析式，求出的值，确定点坐标，再代入反比例函数解析式即可；
通过已知条件求出直线解析式，用的面积的面积解答即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作于，

，，
在中，由勾股定理得：，
设，
由知：，
，
，
由折叠得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
． 

【解析】根据证明两个三角形全等即可；
如图，过点作于，由勾股定理计算，设，在中，由勾股定理得：，列方程可解答．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键．
 

25.【答案】证明：如图，连接，

是圆的直径，则，
为的中点，则，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如上图，连接，
是圆的直径，则，
，，
，
又，
∽，
：：，
：：，，
，则，
的半径为． 

【解析】连接，由圆周角定理可得，由等弧对等角可得，再进行等量代换可得便可证明；
连接，由圆周角定理可得，，于是，由∽可得：：，再代入求值即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
 

26.【答案】解：由图可知：，，
设：，
将，代入得：，解得，
线段的函数表达式为．
当时，，
由题意得，
解得舍去，．
的横坐标为．
，
成绩未达标．
猜想与成反比例函数关系．
设，
将代入得，解得，
．
将代入验证：，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
由在线段上，得，代入得，得．
由得，
又，
．
当时，运动员的成绩恰能达标． 

【解析】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
由图可知：，，利用待定系数法可得出结论；
当时，，联立，可得出点的横坐标，比较即可得出结论；
猜想与成反比例函数关系．将代入表达式，求出的值即可．将代入进行验证即可得出结论；
由在线段上，得，代入得，得，由得，开根号运算即可．