2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷(含答案)

这是一份2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷
一、选择题。(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6
3．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．26，27 B．26，28 C．27，27 D．27，29
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
5．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
6．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
7．（3分）某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如果＝2﹣x，那么x取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
9．（3分）将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（　　）个．


A．414 B．418 C．420 D．424
10．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　）

A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
11．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．
12．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论：①DF＝CE；②∠BGC＝120°；③AF2＝EG•EC；④AG的最小值为．其中正确的有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题。(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
14．（3分）关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别是+1、﹣1，则m+n＝　 　．
15．（3分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 　 　．

16．（3分）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 　 　．

17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数y＝k2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．若S△ABC＝8，则k1＝　 　．

18．（3分）如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．如：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）＝5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4×i2＝15﹣17i﹣4×（﹣1）2＝19﹣17i，请利用以前学习过的有关知识将化简成a+bi的形式为（即化为分母中不含i的形式） 　 　．
三、解答题。(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
19．（6分）计算|﹣1|﹣3tan30°．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．
四、解答题。(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
21．（8分）中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶．陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间i≤30分钟的学生记为A类，30分钟＜t≤60分钟的学生记为B类，60分钟＜t≤90分钟的学生记为C类，t＞90分钟的学生记为D类．将收集的数据绘制成如图不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；
（2）求“D类”所在扇形的圆心角度数；
（3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校C类学生有多示人？
22．（8分）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）．

五、解答题。(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
23．（9分）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？
24．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．

六、综合题。(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25．（10分）如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）求证：PD⊥PE；
（3）试探究BC，EC，PE三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．

26．（10分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），且与直线y＝x﹣2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．

（1）求此二次函数解析式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题。(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1．（3分）﹣2023的相反数是（　　）
A．2023 B． C． D．﹣2023
【解答】解：﹣2023的相反数是2023．
故选：A．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a2＝3a2 B．a3•a2＝a6 C．（x2）3＝x5 D．（﹣x3）2＝x6
【解答】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C、（x2）3＝x6，故C不符合题意；
D、（﹣x3）2＝x6，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．26，27 B．26，28 C．27，27 D．27，29
【解答】解：将这组数据从小到大重新排列为25，26，26，26，27，27，28，29，29，
∴这组数据的众数为26，中位数为27，
故选：A．
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
5．（3分）下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是（　　）
A．戴口罩讲卫生 B．勤洗手勤通风
C．有症状早就医 D．少出门少聚集
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝30°，则∠2等于（　　）

A．70° B．60° C．50° D．40°
【解答】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1＝30°，
∴∠3＝90°﹣30°＝60°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝60°，
故选：B．

7．（3分）某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：A、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；
B、不等式组的解集为﹣1＜x≤3，与数轴相吻合，符合题意；
C、不等式组的解集为﹣1≤x＜3，与数轴不合，不符合题意；
D、不等式组无解，与数轴不合，不符合题意；
故选：B．
8．（3分）如果＝2﹣x，那么x取值范围是（　　）
A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【解答】解：∵＝2﹣x，
∴x﹣2≤0，
解得x≤2．
故选：A．
9．（3分）将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有（　　）个．


A．414 B．418 C．420 D．424
【解答】解：由题意可知，第1个图形，有4+1×2＝6个小圆点，
第2个图形，有4+2×3＝10个小圆点，
第3个图形，有4+3×4＝16个小圆点，
第4个图形，有4+4×5＝24个小圆点，
……
∴第n个图形，有4+n（n+1）个小圆点，
∴第20个图形中，小圆点有4+20×（20+1）＝424个．
故选：D．
10．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，2）和点B（﹣2，0），一次函数y＝mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（　　）

A．﹣2＜x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【解答】解：当x＞﹣2时，y＝kx+b＞0；
当x＜﹣1时，kx+b＜mx，
所以不等式组0＜kx+b＜mx的解集为﹣2＜x＜﹣1．
故选：A．
11．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C．4﹣π D．
【解答】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，
∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴＝，
∴r＝＝2，
∵∠C＝90°，∠OFC＝∠OEC＝90°，OF＝OE
∴四边形OFCE是正方形，
∴∠FOE＝90°，
∴S阴影＝S正方形OFCE﹣S扇形OFE＝4﹣＝4﹣π，
故选：C．

12．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，动点E在AB边上（与点A，B均不重合），点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF＝BE，则下列结论：①DF＝CE；②∠BGC＝120°；③AF2＝EG•EC；④AG的最小值为．其中正确的有（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC＝∠BAD＝60°，
∴∠DAF＝∠CBE，
∵BE＝AF，
∴△ADF≌△BCE（SAS），
∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，故A正确；
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠BCE，
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，故B正确；
∵∠EBG＝∠ECB，∠BEG＝∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴，
∴BE2＝CE×EG，
∵BE＝AF，
∴AF2＝EG•EC，故C正确；
以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC＝∠OCB＝30°，

∵∠BGC＝120°，BC＝1，
∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∵OB＝OC，∠BOC＝120°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝30°，
∴OC＝，
∴AO＝2OC＝，
∴AG的最小值为AO﹣OC＝，故D错误．
故选：C．
二、填空题。(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
13．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥3　．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
14．（3分）关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别是+1、﹣1，则m+n＝　﹣2+1　．
【解答】解：∵关于x的方程x2+mx+n＝0的两个根分别是+1、﹣1，
∴x1+x2＝+1+﹣1＝﹣m，x1•x2＝（+1）（﹣1）＝n，
∴m＝﹣2，n＝1，
∴m+n＝﹣2+1．
故答案为：﹣2+1．
15．（3分）如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为 　　．

【解答】解：设S1、S2、S3、S4分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
∴能够让灯泡发光的概率为：＝，
故答案为：．
16．（3分）如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为 　90°　．

【解答】解：设“弓”所对的圆心角度数为n°，
∵弧长l＝，
∴n＝＝＝90，
即“弓”所对的圆心角度数为90°，
故答案为：90°．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与函数y＝k2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC．若S△ABC＝8，则k1＝　﹣8　．

【解答】解：∵函数的图象与函数y＝k2x（k2≠0）的图象交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点O对称，
∴AO＝BO，
∴OC是△ABC的中线，
∴，
∴，即OC×AC＝8，
设点，
∴，OC＝﹣x，
∴，
∴k1＝﹣8．
故答案为：﹣8．
18．（3分）如果一个数的平方等于﹣1，记作i2＝﹣1，这个数叫做虚数单位．形如a+bi（a，b为有理数）的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．如：（2+i）+（3﹣5i）＝（2+3）+（1﹣5）i＝5﹣4i，（5+i）×（3﹣4i）＝5×3+5×（﹣4i）+i×3+i×（﹣4i）＝15﹣20i+3i﹣4×i2＝15﹣17i﹣4×（﹣1）2＝19﹣17i，请利用以前学习过的有关知识将化简成a+bi的形式为（即化为分母中不含i的形式） 　+　．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝+，
故答案为：+．
三、解答题。(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
19．（6分）计算|﹣1|﹣3tan30°．
【解答】解：原式＝1+2+﹣1﹣3×
＝1+2+﹣1﹣
＝2．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
四、解答题。(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
21．（8分）中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶．陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间i≤30分钟的学生记为A类，30分钟＜t≤60分钟的学生记为B类，60分钟＜t≤90分钟的学生记为C类，t＞90分钟的学生记为D类．将收集的数据绘制成如图不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；
（2）求“D类”所在扇形的圆心角度数；
（3）如果该校共有2000名学生，请你估计该校C类学生有多示人？
【解答】解：（1）本次共抽查学生20÷40%＝50（人），
答：本次共抽查学生50人．
条形图中“C类”对应的人数为50×20%＝10（人），补全图形如下：

（2）“D类”所在扇形的圆心角度数为360°×＝360°×＝36°．
答：“D类”所在扇形的圆心角度数 36°；
（3）2000×20%＝400（人），
答：估计该校C类学生有400人，
22．（8分）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB＝3m，当α＝37°，β＝53°时，求AO的长．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）．

【解答】解：∵sinβ＝sin53°＝，
∴≈，
∴BE≈m．
∵tanα＝tan37°＝，
∴≈，
∴OE＝m，
∵tanβ＝tan53°＝，
∴≈，
∴AE≈m．
∴OA＝OE﹣AE＝m．
五、解答题。(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
23．（9分）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
（1）这两次各购进这种衬衫多少件？
（2）若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？
【解答】解：（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝30．
答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．
（2）由（1）可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，
设第二批衬衫每件售价为y元/件，
依题意，得：（200﹣150）×30+（y﹣140）×15＝1950，
解得：y＝170，
答：第二批衬衫每件售价为170元．
24．（9分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC∥PO，与⊙O交于点C，连接PC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，PA＝4，求BC的长度．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∵BC∥PO，
∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△AOP和△COP中，
，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AC，
在Rt△OAP中，OP＝＝5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAP＝∠BCA，
∵∠AOP＝∠CBA，
∴△AOP∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得：BC＝．


六、综合题。(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25．（10分）如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．
（1）求证：PE＝PD；
（2）求证：PD⊥PE；
（3）试探究BC，EC，PE三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴PB＝PD，
∵PE＝PB，
∴PE＝PD；

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°由（1）得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC＝∠PDC，
∵PE＝PB，
∴∠PBC＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC＝180°，
∴∠PDC+∠PEC＝180°．
在四边形PECD中，
∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，
∴PD⊥PE；

（3）解：BC2+EC2＝2PE2，证明如下：
由（2）得△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2＝PE2+PD2＝2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2＝DE2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∴BC2+EC2＝2PE2．
26．（10分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），且与直线y＝x﹣2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．

（1）求此二次函数解析式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣2分别交x轴、y轴于点B、点C，
∴B（4，0），C（0，﹣2），
把A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，
得，解得，
∴此二次函数解析式为.
（2）如图1，作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
设P（x，x2﹣x﹣2）（0＜x＜4），则E（x，x﹣2），
∴PE＝x﹣2﹣x2+x+2＝﹣x2+2x，
∵S△PCB＝OD•PE+BD•PE＝OB•PE，
∴S＝×4（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S的最大值为4．
（3）存在．
如图2，连接并延长AC到点A′，使A′C＝AC，连接A′B交抛物线于点Q，作A′D⊥y轴于点D．
∵OA＝1，OC＝2，OB＝4，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝∠CBO+∠OCB＝90°，
∴BC垂直平分AA′，
∴AB＝A′B，
∠ABQ＝2∠ABC．
∵∠A′DC＝∠AOC＝90°，∠A′CD＝∠ACO，A′C＝AC，
∴△A′DC≌△AOC（AAS），
∴DA′＝OA＝1，DC＝OC＝2，OD＝4，
∴A′（1，﹣4）．
设直线BQ的解析式为y＝kx+d，则，解得，
∴y＝x．
由，得，，
∴Q（，）；
作点A′关于x轴的对称点A″，则A″（1，4），连接并延长BA″交抛物线于点Q′，则∠ABQ′＝∠ABQ＝2∠ABC．
设直线BQ′的解析式为y＝mx+n，则，解得，
∴y＝x+．
由，得，，
∴Q′（，）．
综上所述，直线BQ的解析式为，Q（，）或直线BQ的解析式为，Q（，）．