福建省南平市浦城县2022-2023学年高一下学期期末数学冲刺卷及答案（四）

2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷（四）

时间：120min  总分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1、若，则（    ）

A． B． C． D．

2、已知，，，则的形状是（    ）．

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

3、如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（     ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

4、已知是锐角，，，且，则为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．30°或60°

5、在中，下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6、已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

8、如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

 二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9、若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（    ）

A．共线 B．相等

C．模相等，方向相反 D．模相等

10、下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称

11、已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为

B．无论点在上怎么运动，都有

C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且

D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°

12、抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题。(本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13、在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____.

14、设为虚数单位，则的虚部为______．

15、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：

7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698

0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．

16、如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．

四、解答题。（ 本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17、已知、、且

（1）证明：是等腰直角三角形

（2）求．

18、甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率.

19、成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：

（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；

（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.

 20、在中，内角的对边分别为，设平面向量，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求中边上的高.

21、将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

22、如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．

2022-2023学年高一下学期期末冲刺卷（四）

时间：120min  总分：150分

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1、若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

2、已知，，，则的形状是（    ）．

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】A

3、如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（     ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

【答案】B

4、已知是锐角，，，且，则为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．30°或60°

【答案】B

5、在中，下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

6、已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

7、如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

8、如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

 二、多项选择题。（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9、若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（    ）

A．共线 B．相等

C．模相等，方向相反 D．模相等

【答案】ACD

10、下列关于复数的说法，其中正确的是（    ）

A．复数是实数的充要条件是

B．复数是纯虚数的充要条件是

C．若，互为共轭复数，则是实数

D．若，互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于轴对称

【答案】AC

11、已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为

B．无论点在上怎么运动，都有

C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且

D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°

【答案】ABD

12、抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

三、填空题。(本大题共4小题，每小题5分,共20分）

13、在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____.

【答案】

14、设为虚数单位，则的虚部为______．

【答案】

15、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7， 8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了 20组随机数：

7527  0293  7140  9857  0347  4373  8636  6947  1417  4698

0371  6233  2616  8045  6011  3661  9597  7424  7610  4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________．

【答案】

16、如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．

【答案】

四、解答题。（ 本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17、已知、、且

（1）证明：是等腰直角三角形

（2）求．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：由题意得，

因为，所以所以是直角三角形

又，，，是等腰直角三角形

（2）解：设点，则，

，且，解得，，，

，，，，．

18、甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.7，乙破译密码的概率为0.6.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.

（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；

（2）求恰有一人破译密码的概率.

【答案】（1）0.42；（2）0.46.

【解析】（1）事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，事件A，B相互独立，

由题意可知，

所以；

（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且,互斥

所以

.

19、成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：

（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；

（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.

【答案】（1）分；（2）.

【解析】（1）得分的频率为；得分的频率为；

得分的频率为；

所以得分的频率为

设班级得分的中位数为分，于是，解得

所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分.  

（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为又班级总数为

于是“良”、“中”的班级个数分别为.

分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为

因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.

所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为

则为两个评定为“中”的班级.

把4个评定为“良”的班级标记为 2个评定为“中”的班级标记为

从这6个班级中随机抽取2个班级用点表示，其中.这些点恰好为方格格点上半部分（不含对角线上的点），于是有种.

事件仅有一个基本事件. 所以

所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为.

 20、在中，内角的对边分别为，设平面向量，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求中边上的高.

【答案】(1);(2).

【解析】（1）因为，

所以，即，

即，

根据正弦定理得，所以，

所以 ； 

（2）由余弦定理，又，所以，

根据△的面积，即， 解得，

所以中边上的高．

21、将棱长为2的正方体沿平面截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点，分别是，的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1.

【解析】（Ⅰ）如图所示：

连接，易知，

因为平面，平面，

所以，又，

所以平面.

在中，点，分别是，的中点，

所以.

所以平面.

（Ⅱ）∵平面，

∴是三棱锥在平面上的高，且.

∵点，分别是，的中点，

∴.

∴.

∴.

22、如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示：

因为F、G分别为CD、CE的中点，

所以且，

又因为平面，平面，

所以，,

所以，，

所以四边形ABGF为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面；

（Ⅱ）因为平面，平面ACD，

所以，所以，

又为等边三角形，F为CD的中点，

所以，

又平面CDE，

所以平面CDE，即平面CDE，

又平面CDE，则，

连接DG，BD，如图所示，

则即为直线和平面所成角，

设，在中，，

在直角梯形ABED中，，

在中，，

所以，

所以直线和平面所成角的正弦值为.