第04讲 矩形的判定、判定与性质综合-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版） 试卷



第04讲 矩形的判定、判定与性质综合

1. 掌握矩形的判定定理.
2. 学会用矩形的性质与判定综合解题.

矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.


考点一：矩形的判定
例1．下列条件不能判定一个四边形是矩形的是（　　）
A．四个内角都相等 B．四条边都相等
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形
【答案】B
【分析】根据矩形的判定方法逐一判断即可．
【解析】解：A、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、四条边都相等的四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键．
例2．下列说法不正确的是（    ）
A．有一个角为直角的平行四边形是矩形 B．有三个角为直角的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据矩形的判定逐个进行判断即可．
【解析】解：A、根据矩形的定义可知：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故A选项不符合题意；
B、根据矩形的判定可知：有三个角为直角的四边形是矩形，正确，故B选项不符合题意；
C、根据矩形的判定可知：对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故C选项不符合题意；
D、根据菱形的判定可知：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直的平行四边形是矩形的说法不正确，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解决问题的关键．
例3．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是(　 　)
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．∠BAD＝∠ADC
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定定理对各项进行判断分析即可．
【解析】A. 有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C. 并不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；
D.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝∠ADC∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；
故答案为：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定问题，掌握平行四边形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．
例4．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（   ）
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
【答案】D
【分析】根据矩形的判定进行分析即可；
【解析】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；
选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；
选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；
选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；
故选D.
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.
考点二：添加一个条件成为矩形
例5．如图，要使平行四边形为矩形，则可添加下列哪个条件（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的判定方法逐项进行判断即可．
【解析】解：A．∵四边形是平行四边形，
∴，
再添加也无法判断平行四边形为矩形，故A错误；
B．∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴添加，无法判断四边形是矩形，故B错误；
C．∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴添加无法判断四边形是矩形，故C错误；
D．∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），
∴添加能够使平行四边形为矩形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形．
例6．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB
∴四边形ABCD是矩形
故选A
【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键．
例7．如图，在四边形ABCD中，，AC交BD于点O，再添加什么条件可以判定四边形ABCD为矩形(   )

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得出结论．
【解析】解：再添加条件为AD＝BC，AC＝BD可以判定四边形ABCD为矩形，理由如下：
∵AD//BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
例8．如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（    ）

A． B．平分 C． D．
【答案】C
【分析】当时，根据等腰三角形的三线合一可得，即可求解．
【解析】解：当时，
∵是的中线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
考点三：矩形的判定的证明
例9．如图，是平行四边形的一条对角线，E是的中点，连接并延长交的延长线于F．

(1)求证：．
(2)当时，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进一步可得，可证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质可得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证．
【解析】（1）证明：在平行四边形中，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
例10．如图，在平行四边形中，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，可以判断出四边形是平行四边形，可得到结论；
(2)根据平行四边形的性质得到根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
即，
，，
为线段的中点，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
四边形的面积矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
例11．如图，四边形的对角线交于点，于E，于F，点 O 既是的中点，又是的中点．

(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意知，，，，则通过角边角证明三角形全等即可；
（2）由题意知，，由，可得，先证明平行四边形，再由，可得，从而问题得证．
【解析】（1）证明：由题意知，，，
在和中，
∵，
∴；
（2）证明：由题意知，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
例12．如图，平行四边形的对角线交于点O，E为中点，过点C作交的延长线于F，连接．

(1)求证：
(2)当满足什么条件时，四边形为矩形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当满足时，四边形为矩形，理由见解析

【分析】（1）由证明即可；
（2）先证四边形为平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，即可得出平行四边形为矩形．
【解析】（1）∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）当满足时，四边形为矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形为矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键．
考点四：根据矩形的判定与性质求长度
例13．如图，在矩形中，垂直平分于点，若，，则线段的长度是______．

【答案】
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质得出，，，由勾股定理得出，得出，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，得出，在中，由勾股定理即可得出答案．
【解析】解：连接，如图所示：

∵垂直平分，
，，，
四边形是矩形，
，，
由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
例14．四边形的对角线相交于点，且，，则_______．
【答案】1：2
【分析】求出，判定四边形是矩形，求出是等边三角形，求出，即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：1：2．

【点睛】本题考查了矩形的判定，等边三角形的性质和判定的应用，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键．
例15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，则BF＝_____．

【答案】
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得．所以∠CAD=∠ACB=90°．又∠ACE=90°，可证明四边形ACED是矩形，得出AD=CE=2，AF=EF，AE=CD．证明△ABE是等边三角形，再根据勾股定理即可求出BF的长．
【解析】解∶ ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CAD=∠ACB=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠ACE=∠DEC=∠CAD=90°，
∴四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=2，AF=EF，AE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2，AB=CD，
∴AB=AE，
∴CE=BE=2,BE=4
又∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形．
∴AF=EF=2，∠BFE=90°，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握正方形的判定与性质和等边三角形的判定与性质．
例16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，O为对角线AC的中点，点P在AD边上，且AP=2，点Q在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ−OQ的最大值为______．

【答案】
【分析】如图，连接PO并延长交BC于点E．当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值．过点E作EF⊥AD于点F，利用勾股定理，可得结论．
【解析】解：连接PO并延长交BC于点E．如图，

当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PE-OE=PO．
在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，AP=2，
∴AP∥CE，AO=OC，
∴∠PAO=∠ECO，∠AOP=∠COE，
∴△PAO≌△ECO，
∴EC= AP=2，PO=OE=PE，
过点E作EF⊥AD于点F，
在矩形ABCD中，∠BCD=∠CDA=90°，
∴四边形EFDC为矩形，
∴DF=CE=2，EF=CD=AB=4，
∴PF=AD-AP-FD=2，
∴PE=2，
∴PO=OE=PE=，
∴PQ−OQ的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，推出当点Q与点E重合时，PQ−OQ取得最大值，最大值为PO的长是解题的关键．
考点五：根据矩形的判定与性质求角度
例17．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度．

【答案】44
【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴∠ACB=∠OBC=23° ，
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ，
∴∠DBE=44° ．
故答案为：44
【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
例18．如图，在矩形中，，点在上，且，则________．

【答案】15°
【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC，
∵，
∴∠BEA＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠BEA＝30°，
∵=BC，
∴∠ECB＝（180°−∠EBC）＝75°，
∵∠BCD＝90°，
∴90°−75°＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．
例19．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．

【答案】60
【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题．
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，

故答案为：60．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
例20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC．若∠AOB＝60°，则∠COE的大小为____ ．

【答案】75°
【分析】根据四边形ABCD为矩形,利用矩形的对角线互相平分且相等,得到OA=OB=OC=OD,又∠AOB=60°,可得三角形AOB与三角形COD都为等边三角形,进而求出∠ACB为30°,由DE为直角的角平分线,得到∠EDC=45°,可得三角形DEC为等腰直角三角形,即CD=EC,而CD=OC,等量代换可得EC=OC,即三角形OEC为等腰三角形,由顶角∠ACB为30°即可求出底角∠COE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=CO=BO=OD,（矩形的对角线相等且互相平分）
∵∠AOB=60°,
∴∠COD=60°,（对顶角相等）
∴△AOB和△COD为等边三角形,（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）, 
∴∠BAC=60°,CD=OC,
则∠ACB=30°,（直角三角形两锐角互余） 
∵DE平分∠ADC,
∴∠EDC=45°,
可得△DCE为等腰直角三角形,
∴CD=EC,
∴EC=OC,（等量代换） 
∴∠COE=∠CEO,
∴∠COE=75°（三角形内角和是180°）.
故答案为75°.
【点睛】解决本题的关键是得到所求角所在的三角形的形状及相应的角的度数.
例21．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，过点A作∠DAC的角平分线交BC的延长线于点H，取AH的中点P，连接BP，则S△ABP＝___．

【答案】8
【分析】由勾股定理可得AC＝5，根据角平分线的性质可证∠H＝∠CAH＝∠DAH，即AC＝CH＝5，则可求S△ABH的值，由P是中点，可得S△ABP的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝5，
∵AH平分∠DAC，
∴∠DAH＝∠CAH，
∵ADBC，
∴∠DAH＝∠H，
∴∠H＝∠CAH，
∴AC＝CH＝5，
∵BH＝BC+CH，
∴BH＝8，
∵S△ABH＝AB×BH＝×4×8＝16，
∵P是AH的中点
∴S△ABP＝S△ABH＝8；
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查矩形的性质与判定综合，解题的关键是矩形的性质及勾股定理的应用．
考点六：根据矩形的判定与性质求面积
例22．已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是___________．

【答案】
【分析】过点作于，设，则，，证明，得到，再求出，则，，由勾股定理可求的长，即可求解．
【解析】解：如图，过点作于，

设，则，，
平分，
，
，
，
，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，，
，
（负值舍去），
，，，，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键．
例23．如图，在矩形中，平分交于点，．有下面的结论：①是等边三角形；②；③．其中，正确结论的个数为_________．

【答案】3
【分析】根据矩形性质求出OD=OC，根据角求出∠DOC=60°即可得出三角形DOC是等边三角形，求出∠BOE=75°，∠AOB=60°，相加即可求出∠AOE，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DOC=60°，DC=AB，
∵△DOC是等边三角形，
∴DC=OD，
∴BE=BO，
∴∠BOE=∠BEO=（180°-∠OBE）=75°，
∵∠AOB=∠DOC=60°，
∴∠AOE=60°+75°=135°，∴②正确；
∵OA=OC，
∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S△COE，∴③正确；
∴正确结论的个数为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．
例24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；
②∠DGF＝135°；
③△BEG≌△DCG；
④∠ABG+∠ADG＝180°；
⑤若，则3S△BDG＝13S△DGF．
其中正确的结论是_____．（请填写所有正确结论的序号）

【答案】①③④⑤
【分析】①根据矩形的性质可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分线的性质可得出∠BAE=45°，通过角的计算即可得出∠BAE=∠BEA，从而得出AB=BE=CD，即①正确；②根据平行线的性质以及对顶角相等可得出△CEF为等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根据三角形外角的性质可得出∠CGD＜45°，再由角的关系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正确；③通过角的计算可得出∠BEG=∠DCG，再根据等腰直角三角形的性质可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△BEG≌△DCG，即③正确；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根据角的计算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正确；⑤过点G作GM⊥DF于点M，设AB=2a（a＞0），则AD=3a，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式可算出S△BDG和S△DGF的值，由此可得出⑤正确．综上即可得出结论．
【解析】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝45°＝∠BAE，
∴BE＝AB＝CD，①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠BAE＝45°，∠CEF＝∠AEB＝45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，
∵∠FCG＝∠CGD+∠CDG＝45°，
∴∠CGD＜45°，
∴∠DGF＝∠CGD+∠CGF＜45°+90°＝135°，②不正确；
③∵△CEF为等腰直角三角形，
∴CG＝EG．
∵∠BEG＝180°﹣∠CEF＝135°，∠DCG＝180°﹣∠FCG＝135°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，有，
∴△BEG≌△DCG（SAS），③正确；
④∵△BEG≌△DCG，
∴∠EBG＝∠CDG，
∵∠ABG＝∠ABC+∠EBG，∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠ADC＝180°，④正确；
⑤过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．

∵＝，
∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．
∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴DF＝AD＝3a．
∵△CGF为等腰直角三角形，
∴GM＝CM＝CF＝（DF﹣CD）＝a，
∴S△DGF＝DF•GM＝×3a×a＝．
S△BDG＝S△BCD+S梯形BGMC﹣S△DGM＝×2a×3a+×（3a+a）×a﹣×a×（2a+a）＝．
∴3S△BDG＝13S△DGF，⑤正确．
综上可知：正确的结论有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及角的计算，解题的关键是逐条分析5个结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，好在该题为填空题，好多结论可以直接拿来运用，不需去证明．解决该考点时，利用分割图形法求面积是难点，此处应该加以重视．

一、单选题
1．（2020·湖北·中考真题）已知中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明是矩形的是（    ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据矩形的判定进行分析即可．
【解析】A. ，邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误；
B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C. ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D. 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟知矩形从边，角，对角线三个方向的判定是解题的关键．
2．（2020·山东菏泽·统考中考真题）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（    ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分
【答案】C
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
【解析】
根据题意画出图形如下：
答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故选C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键．
3．（2013·河北·中考真题）如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD．
以下是甲、乙两同学的作业：

对于两人的作业，下列说法正确的是
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】A
【解析】对于甲：由两组对边分别相等的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，正确；
对于乙：对角线互相平分的四边形是平行四边形及∠B=90°，得四边形ABCD是矩形，，正确．
因此，对于两人的作业，两人都对．
故选A．

二、填空题
4．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．

【答案】
【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键．

三、解答题
5．（2022·四川巴中·统考中考真题）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．

(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB=∠CFE，利用AAS即可判定△ABE≌△FCE；
（2）先证明四边形DEFG是平行四边形，
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，再证明DF=EG，即可证明四边形DEFG是矩形．
∴ABCD，
∴∠EAB=∠CFE，
又∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)；
（2）证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∴DC=CF，
又∵CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG，
又∵AD=BC=EG=2AB，DF=CD+CF=2CD=2AB，
∴DF=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE≌△FCE是解题的关键．
6．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．

(1)求证：；
(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当时，四边形是矩形，理由见解析

【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；
（2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值．
【解析】（1）证明：如图，连接，

四边形是平行四边形，
，
分别是，的中点，
，
四边形是平行四边形，
．
（2）解：由（1）已证：四边形是平行四边形，
要使平行四边形是矩形，则，
，
，即，
，
故当时，四边形是矩形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．

一、单选题
1．如图，在四边形中，对角线相交于点O，，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知四边形是平行四边形，然后再根据四个选项所给条件一一进行判断即可得出答案．
【解析】解：在四边形中，对角线相交于点O，，
四边形是平行四边形，
A、添加条件，可得四边形是菱形，但不一定是矩形，故符合题意；
B、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
C、若，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
D、若，则，则，故四边形是矩形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的定义及判定定理是解答此题的关键．
2．连接菱形各边中点，可得到的“中点四边形”是矩形，主要是因为（    ）
A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】先根据三角形的中位线性质证明“中点四边形”是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可证明“中点四边形”是矩形．
【解析】解：如图，点E、F、G、H分别为菱形的边、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴“中点四边形”是平行四边形，
∵菱形中，，
∴，即，
∴“中点四边形”是矩形，
故菱形的“中点四边形”是矩形，主要因为菱形的对角线互相垂直，
故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线性质、平行线的性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
3．如图，平行四边形中，E,F分别在边，上，，，若，的长为（　　）

A．10 B． C．9 D．6
【答案】A
【分析】过点B作于H，证明四边形为矩形，由矩形的性质得出，，由勾股定理可得出答案．
【解析】解：过点B作于H，

四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
，
，

故选：A
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，连结AC，BD，AC与BD交于点O，若AO＝BO，AD＝3，AB＝2，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】首先判断四边形为矩形，然后利用矩形的面积的求法求得其面积即可.
【解析】∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AO＝BO，∴AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．
∵AD＝3，AB＝2，
∴四边形ABCD的面积为AD·AB＝3×2＝6.
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是能够首先判定四边形ABCD为矩形，难度不大，但容易出错．
5．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（    ）．
①对角线互相平分的四边形；
②对角线相等的四边形；
③对角线相等的平行四边形；
④对角线互相平分且相等的四边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可．
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②对角线相等的四边形可以是等腰梯形，故②不符合题意；
③对角线相等的平行四边形是矩形，故③符合题意；
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故④符合题意．
∴正确的是③④．
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的判定，解题关键是熟记矩形的判定定理，准确进行判断．
6．如图，在菱形中，E、F为边、的中点，连接、．若，，则四边形的面积为（    ）

A． B．1 C．2 D．4
【答案】A
【分析】连接，由菱形的性质可证和是等边三角形，从而求得，根据点E、F是、的中点可得，，进而证明四边形是矩形，再利用勾股定理求出，即可求出结果．
【解析】解：连接，∵四边形是菱形，，，
，，，
，，
∴和是等边三角形，，
∵点E、F是、的中点，
，，，
，
∴四边形是矩形，
，
∴在中，，
∴矩形的面积为：，
故选：A．

【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质及等边三角形的判定和性质和勾股定理，熟练运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
7．已知如图，， ， ，，则的面积为（   ）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】过点D作 于G，过点E作 ，交 的延长线于点F，先证明（AAS），从而得，再证明四边形为矩形，然后利用，求得的值，最后利用三角形面积公式计算即可得出答案．
【解析】过点D作 于G，过点E作，交的延长线于点F

又∵
∴
∴
∴在和中
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴，
又∵，
∴，
的面积为：；
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积计算，解题关键在于掌握各性质定义.
8．如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（    ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面积为．
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键．
9．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　）

A．矩形的面积 B．的度数
C．四边形的周长 D．的长度
【答案】A
【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果．
【解析】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

，
四边形、四边形是矩形，
设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，，
，，，，



，
矩形和矩形的周长已知，
和为定值，
为定值，
为定值，
，
当已知时，四边形的面积即为定值，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积．
10．如图，在矩形中，为中点，过点且，分别交于，交于，点是中点，，则下列结论正确的是（    ）
①；②；③是等边三角形；④

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质可得，利用三角形的中位线定理可得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，则，通过证明，可得，则得，于是可得，由于，可得①正确；利用，可以判定②错误；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，则得为等边三角形，可得③正确；通过说明，可得④正确．
【解析】解：连接，如图，

为中点，且，
，
为中点， G为的中点，
，
，G为的中点，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
，故①正确；
，，
，故②错误；
，，
为等边三角形，故③正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故结论正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．

二、填空题
11．矩形的判定定理包括：（1）___________的平行四边形是矩形；（2）____________的平行四边形是矩形；（3）____________的四边形是矩形．
【答案】 有一个角是直角 对角线相等 有三个角是直角
【分析】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；根据定义与判定可得答案.
【解析】解：矩形的判定定理包括：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形．
故答案为：有一个角是直角，对角线相等，有三个角是直角
【点睛】本题考查的是矩形的定义与判定，熟知矩形的定义与判定是解题的关键.
12．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________．
【答案】③
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解析】①∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
②，
不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意；
③∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意；
④，
不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意；
故答案为：③．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图，AB∥CD，∠A＝∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，则AB与CD之间的距离为________．

【答案】3 cm
【分析】由AB/∥CD，可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，再根据∠A=∠B=90°，可得出∠C=∠D=90°，则四边形ABCD为矩形，从而得出AB与CD之间的距离为BC的长.
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD为矩形，∴AB与CD之间的距离为BC.∵BC＝3 cm，∴AB与CD之间的距离为3 cm.
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，是基础知识比较简单．需要我们对基础知识有较好的掌握．
14．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，将绕点E旋转得，则四边形的形状为______．
  
【答案】矩形
【分析】先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等证明四边形是矩形．
【解析】解：∵D，E分别是边，的中点，
∴，
∵，
∴，
∵绕点E旋转得，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键．
15．如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______．

【答案】8
【分析】根据平移的性质即可求解．
【解析】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′，
∴四边形B′C′CB为平行四边形，
∵BB′⊥BC，
∴四边形B′C′CB为矩形，
∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC
=S矩形B′C′CB
=4×2
=8(cm2)．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
16．如图，在中，，，D是上任意一点，分别作于E，于F．如果，那么________．

【答案】6
【分析】过点作，交的延长线于点，过点作于点，可得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，即可求解．
【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，

又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
在中，，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
17．如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接．

（1）四边形的形状是______；
（2）线段的最小值为______．
【答案】 矩形/长方形
【分析】（1）先证，再由即可解答；
（2）如图：连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答．
【解析】解：（1）∵于点，于点，
∴
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）如图，连接，

∵，，
∴，
由（1）知：，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
即，
∴，
∴长的最小值为，
故答案为：矩形，．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键．
18．如图，在矩形中，，，点分别是上的动点，点不与重合，且，点是五边形内点，，且．
①当点为的中点时，_____________．
②点到边距离为，则的取值范围为_____________．

【答案】 /75度 /
【分析】①根据矩形的性质以及“如果直角三角形中一直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”，可得，进而可知，再根据，可得，即可计算的值；②过点作于点，于点，利用勾股定理可求得；在中，由，可知当点重合时，最大，此时；当点重合时，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理解得，此时点到的距离最小，为4．即可确定的取值范围．
【解析】解：①∵四边形为矩形，
∴，
∵，点为的中点
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
②过点作于点，于点，如下图，

∵，，，
∴，即，
解得，
在中，，
∴当点重合时，最大，
此时；
当点重合时，如下图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
此时点到的距离最小，为4．
∴．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题意，综合运用相关知识是解题关键．

三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】见解析
【分析】根据垂直的性质可得，利用各角之间的等量关系可得，再由矩形的判定定理即可证明．
【解析】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换，理解题意，结合图形，熟练运用矩形的判定定理是解题关键．
20．如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，

又

∴四边形是平行四边形，


∴四边形是矩形．
（2）∵平分







∴矩形BFDE的面积是：
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
21．如图，四个内角的平分线围成四边形，猜想四边形的形状，并说明理由．

【答案】四边形是矩形，证明见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得，再由、分别平分、，可得，从而得到，同理可得，，即可．
【解析】证明：四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定定理是解题的关键．
22．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，则当__________时，四边形是矩形（不用证明）
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定方法即可求解；
（2）根据矩形的对角线相等且平分，得，为等腰三角形，且（对顶角相等），再根据，，即可求出的度数，由此即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
又∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
若四边形是矩形，则，，，
∴，，为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即当，时，四边形是矩形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的性质，掌握平行四边形，矩形的性质及判定是解题的关键．
23．如图，在菱形中，对角线和交于点O，分别过点B、C作，，与交于点E．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）先根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，然后再根据菱形的性质得，故可得四边形是矩形；
（2）根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形可以得到，然后利用勾股定理可以求得的长，从而得到的长，最后利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：证明：，，
四边形为平行四边形．
四边形为菱形，
．
．
四边形是矩形．
（2）在菱形中，．
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形的判定，菱形的性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，关键是根据判定方法，再结合图形求解．
24．如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E．

(1)判断四边形的形状并说明理由；
(2)连接，交于点F，当时，求的长．
【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析；
(2)

【分析】（1）由，，可证四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，即，进而结论得证．
（2）根据含的直角三角形的性质求的值，然后利用勾股定理求和的值即可．
【解析】（1）解：四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
由菱形的性质可得，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：由菱形的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
由矩形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．

(1)求证：F为BC中点．
(2)若OB⊥AC，OF=1，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)平行四边形ABCD的周长为8．

【分析】（1）由平行四边形ABCD得OB=OD，由平行四边形DOEC得ECOD，EC=OD，进而证明OBEC，OB=EC，得四边形OBEC为平行四边形，进而得结论；
（2）先证明平行四边形ABCD，再证明平行四边形DOEC是矩形，求得BC，进而求得菱形ABCD的周长．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵四边形DOEC为平行四边形，
∴ODEC，OD=EC，
∴ECOB，EC=OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∴BF=CF，即F为BC中点；
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵四边形OBEC为平行四边形，OB⊥AC，
∴四边形OBEC为矩形，
∴BC=OE=2OF，
∵OF=1，
∴BC=2，
∴平行四边形ABCD的周长=4BC=8．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，关键综合应用这些定理进行推理．
26．如图，已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分，平分，交于点．
  
(1)求证：；
(2)若点为的中点，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据平分，平分，得，；根据，则，，根据等量代换，等角对等边，即可；
（2）由（1）得，，根据点为的中点，则，根据平行四边形的判定，得四边形是平行四边形，根据平分，平分，则，，即可．
【解析】（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2）由（1）得，，
∵点为的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查角平分线和矩形的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，等角对等边，矩形的判定．
27．如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形．
(2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4

【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可；
（2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可．
【解析】（1）证明：∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴
∵点E是的中点，点H为的中点，
∴，，
四边形的面积等于．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积．
28．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠OAE＝15°，
①求证：DA＝DO＝DE；
②直接写出∠DOE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②75°

【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论；
（2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论；
②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形     
∴BD＝2OB
∵AC＝2OB
∴AC＝BD
∴四边形ABCD是矩形
（2）①证明：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝45°     
∴∠DEA＝45

∴DA＝DE
又∵∠OAE＝15°
∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°     
∴DA＝DO＝AO
∴DA＝DO＝DE
②解： ，

，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
29．如图1，在平行四边形中，的平分线交直线于点E，交直线于点F．

(1)当时，G是的中点，联结（如图2），请直接写出的度数______．
(2)当时，，且，分别联结、（如图3），求的度数．
【答案】(1)45°
(2)60°

【分析】（1）联结CG，BG，证△DCG≌△BEG（SAS），得到BG=DG，∠CDG=∠EBG，再证△BGD是直角三角形，即得△BGD是等腰直角三角形，即可由等腰直角三角形的性质求解；
（2）延长AB、FG相交于H，联结DH，先证四边形ADFH是平行四边形，再证平行四边形ADFH是菱形，得∠HDF=∠ADF=60°，△DGF≌△DBH（SAS），得∠GDF=∠BDH，即可得∠BDG=∠HDF，可求解．
【解析】（1）解：∵平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，
∴∠ECF=90°，
联结CG，BG，如图2，

∵G是EF的中点，
∴CG=EG=GF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
∴BE=AB，
∴BE=CD，
∴∠FEC=∠BEA=45°，
∴∠BEG=135°，
∴∠EFC=∠FEC=45°，
∴∠GCF=∠EFC=45°，
∴∠DCG=135°，
∴∠DCG=∠BEF，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴BG=DG，∠CDG=∠EBG，
∵∠CDG+∠GDB+∠CBD=90°，
∴∠EBG+∠GDB+∠CBD=90°，
∴∠BGD=90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴∠BDG=45°；
故答案为：45°；
（2）解：延长AB、FG相交于H，联结DH，如图，

∵FGCE，
∴ADHF，
∵AHDF，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∵∠ABC=120°，
∴∠DAB=60°，∠ADC=∠ABC=120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF=∠DAF=30°，
∵AHDF，
∴∠DFA=∠BAF=∠DAF=30°，
∴DA=DF，∠AEB=∠FEC=30°，
∴平行四边形ADFH是菱形，CE=CF，
∴∠HDF=∠ADF=60°，
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴FG=HB，
在△DGF和△DBH中，
，
∴△DGF≌△DBH（SAS），
∴∠GDF=∠BDH，
∴∠BDG=∠HDF=60°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键．
30．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点分别为的中点．

(1)求证：；
(2)延长至，使，连接，延长，交于点．
①当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由；
②若，，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①当时，四边形是矩形，见解析；②30

【分析】（1）由平行四边形的性质得出，由平行线的性质得出，证出，证明即可；
（2）①证出，由等腰三角形的性质得出，同理，得出，证出，得出四边形是平行四边形，即可得出结论；②过点C作于H，连接，先求出四边形的面积，再求出的面积，即可得答案．
【解析】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
点分别为的中点，
，
，
在和中，

；
（2）①当时，四边形是矩形，理由如下：
，
，
又是的中点，
，
，
同理：，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
②过点C作于H，连接，

则，
，
，
设则，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点分别为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31．如图所示，在菱形中，为边的中点，为线段上一动点，连接，过点作于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点．
  
(1)当点与点重合时，求证：；
(2)如图①，若点在线段上，且，，当时，求的长；
(3)如图②，若点在线段上，连接、，则是什么特殊三角形？并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)是等腰三角形，证明见解析

【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据对顶角相等和相等中点的定义得到，，由此即可证明；
（2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，由勾股定理求出，由，求出，进而求出，则，证明四边形是矩形，得到；
（3）如图所示，连接交于O，连接，由（2）得四边形是矩形，则，，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，进而证明，则可证明，得到，则是等腰三角形．
【解析】（1）证明：∵，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于O，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴四边形是矩形，
∴；
  
（3）解：是等腰三角形，证明如下：
如图所示，连接交于O，连接，
由（2）得四边形是矩形，则，，
∵，点P为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
  
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．





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