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【期末分层模拟】（提升卷·北师大版）2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟卷（原卷版+解析版）
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这是一份【期末分层模拟】（提升卷·北师大版）2022-2023学年八年级数学下学期期末模拟卷（原卷版+解析版），文件包含提升卷期末考试卷解析版北师大版docx、提升卷期末考试卷原卷版北师大版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
编者小注：
本套专辑为北师大版地区2022-2023学年第二学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
来源为近两年北师大版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2022-2023学年八年级数学下学期期末考试卷（解析版）（北师大版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
【答案】A
【分析】先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案．
【详解】∵
=，
∴信息中的汉字有：华、我、爱、中．
∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华．
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
2．一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【答案】C
【分析】根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．
【详解】∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，
∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．
3．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，连接，当时，旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕点A旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与的关系，可得答案．
【详解】解：解，得
，
由不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，得
或，
解得或，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在的范围内得出不等式是解题关键．
5．已知实数a，b，c满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将整理得到，则，把代入即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
6．如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】首先根据是的垂直平分线，可得；然后根据的周长，的周长，可得的周长的周长，据此求出的长度是多少即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．
7．以下四组代数式作为的三边：①（n为正整数）；②（n为正整数）；③（，n为正整数）；④（，m，n为正整数）．其中能使为直角三角形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．
【详解】解：①中，能构成直角三角形，故符合要求；
②中，，不能构成直角三角形，故不符合要求；
③中，能构成直角三角形，故符合要求；
④中，能构成直角三角形，故符合要求．
∴能使为直角三角形的有3组，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解题的关键在于正确的运算．
8．如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
9．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：由可得
=
=
=
=
=
=-2
故答案为A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，
分别平分，且，
，
，
又点在的内部，
平分，结论①正确；
，
，结论②正确；
在和中，，
，
，
同理可证：，，
，，
设，则，
，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由上已证：，
，
，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
二、填空题
11．如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 _____．
【答案】2.5
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【详解】如图，延长交于点D．
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
12．计算的结果是__________．
【答案】
【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
13．已知，，，那么代数式的值是______．
【答案】
【分析】根据代数式的结构，分解成，然后计算出，代入代数式即可求解．
【详解】，
又由，，，
得：，
同理得：，，
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据条件化简是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为___________．
【答案】或或
【分析】分三种情形点在线段上，点在线段上，点在点上方分别求解即可．
【详解】解： 如图，分以下三种情况讨论：
点在线段上，时，的面积等于面积的一半．
此时；
点在线段上，时，的面积等于面积的一半，
此时点；
点在点上方，由题意与关于点对称，
∴．
综上所述，点的坐标是：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内中点坐标的求法、中线平分三角形的面积、中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．
【答案】，且
【分析】根据三角形三边关系得：，解方程求出方程的解，然后根据的范围求出的范围即可．
【详解】解：由题意得，
解方程，
得，
∴，且，
解得，且，
故答案为：，且．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、分式方程、三角形三边关系等知识点，分式的分母不为零是本题正确的关键 ．
16．如图，在中，，，，是的平分线，若射线上有一点F，且，则的面积为______．
【答案】或．
【分析】如图，过点D作于E，是的平分线得，，结合求得；分两种情况讨论：①点F在线段上；②点F在线段的延长线上．过点D作于E，利用角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质求出即的长，运用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
，
，
即，
解得：，
分两种情况讨论：
情况①：当点F在线段上时，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
；
情况②：当点F在线段的延长线上时，
同理可得，
∴，
∴，
；
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的应用，三角形面积公式；解题的关键是根据角平分线的性质构造全等三角形．
17．已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】先根据题意求得分C点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D关于直线OC的对称点恰好落在y轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C点的坐标．
【详解】∵与轴，轴分别交于点A，，
令∴，
令∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
如图，当C点在第二象限时，设交x轴于点E，交AO于点F，CD交y轴于点G
∵四边形OACD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴点为的中点，
∵，，
∴．
如图，当C点在第二象限时，延长DC交y轴于点H，则．
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综合①②可知OC的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
【答案】或或.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点睛】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
三、解答题
19．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)首先解方程组，根据方程组的解满足x为非正数，y为负数，可得不等式组，解不等式组即可求得m的范围；
(2)根据(1)中m的取值范围，化简绝对值，合并同类项即可求解；
(3)根据不等式的解集是，可得，即可得到m的取值范围，进而求得m的值．
【详解】（1）解：
由，解得，
由，解得，
，，
解得，
故m的取值范围为；
（2）解：，
，，
（3）解：将不等式整理，
得．
，
，
，
，
为整数，
．
【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，化简绝对值，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，理解题意，利用不等式或不等式组解决问题是关键．
20．某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买两种型号的垃圾分类垃圾桶．一种是给班级使用的小号垃圾桶，一种是放在室外使用的大号垃圾桶．其中小号垃圾桶的单价比大号垃圾桶的单价少9元，已知学校用元购买小号垃圾桶的数量与用元购买大号垃圾桶的数量相同，
(1)求每个小号垃圾桶、每个大号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若两种垃圾桶共购买了个，且购买的总费用为元，求购买了多少个小号垃圾桶？
【答案】(1)每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元
(2)购买了个小号垃圾桶
【分析】（1）设每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，然后根据元购买小号垃圾桶的数量与用元购买大号垃圾桶的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买了个小号垃圾桶，则购买了个大垃圾桶，然后根据总费用为元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，
答：每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元；
（2）解：设购买了个小号垃圾桶，则购买了个大垃圾桶，
由题意得，，
解得，
∴购买了个小号垃圾桶，
答：购买了个小号垃圾桶．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：如图1，可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)如图2，将一张长方形纸板按图中裁剪成六块，其中有一块是边长为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，三块是长为a，宽为b的全等小长方形，观察图形，因式分解：______；
(2)如图3，若，，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）直接根据图形面积的计算方法即可得出结果；
（2）根据图形表示出阴影部分面积的代数式，然后利用完全平方公式变形得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据图形可得：，
故答案为：；
（2）根据图形阴影部分的面积表示为：
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】题目主要考查利用图形进行因式分解及列代数式表示图形的面积，完全平方公式的变形求值等，理解题意，找出图中面积的关系是解题关键．
22．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且．
(1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______；
(2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：；
(3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由；
(4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)，证明见解析；
(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明结论；
（2）利用定理证明，可得，结合，，从而可得答案；
（3）证明，根据全等三角形性质得到，根据角的和差可得，，结合三角形内角和定理可得结论．
（4）先求解，如图，在上截取，而，可得，，证明，结合，，，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴，；
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
而，
∴．
（3）解：，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
（4）解：∵，，
∴，
如图，
在上截取，而，
∴，，
∴，而，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是平移的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据非负数的性质求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点E作轴于G，证明，得出，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；
（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．
【详解】（1）由题意可得：解得，
∴，
∴
（2）如图所示，过点E作轴于G．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴设，
代入点和点的坐标得：，
解得，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与轴的交点坐标为．
（3）存在，点Р的坐标为：
∵，点的坐标为，
∴
又，，为顶点的四边形是平行四边形
设，当为平行四边形的对角线时，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
综上所述，点Р的坐标为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，过点C作于点M，于点N，根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据三角形中位线的性质可求，，即可求出点C的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）取中点G，连接，根据三角形中位线的性质得出，，根据可证，得出，，结合三角形内角和定理和可求，再结合平行线的性质，对顶角的性质以及等角对等边可证，进而得出，则可求，即可可求Q的坐标．
【详解】（1）解∶连接，过点C作于点M，于点N，
∵点C为的中点，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）解：连接，过点C作于点M，
，
由（1）知：，
由题意知：，，
∴
；
（3）解：取中点G，连接，
，
∵点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y轴负半轴上，
∴Q的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，证明是解第（3）的关键．
编者小注：
本套专辑为北师大版地区2022-2023学年第二学期期末考试研发。
7-8年级（满分100分制），分基础卷（适合80分以下学生使用）、提升卷（适合80-95分学生使用）、满分卷（适合95分以上学生使用）。
来源为近两年北师大版数学教材使用地期末原题，包含详细解析。
所有资料研发均为原创，希望助广大中学生一臂之力。
（提升卷）2022-2023学年八年级数学下学期期末考试卷（解析版）（北师大版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，2，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱游
【答案】A
【分析】先对进行因式分解，再根据题意，即可得到答案．
【详解】∵
=，
∴信息中的汉字有：华、我、爱、中．
∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华．
故选：A．
【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
2．一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【答案】C
【分析】根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．
【详解】∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，
∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．
3．如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，连接，当时，旋转角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵绕点A旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．关于的不等式组的解集中任意一个的值均不在的范围内，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解集，根据不等式组的解集与的关系，可得答案．
【详解】解：解，得
，
由不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，得
或，
解得或，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用解集中任意一个x的值均不在的范围内得出不等式是解题关键．
5．已知实数a，b，c满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将整理得到，则，把代入即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
综上：，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
6．如图，在中，，的垂直平分线交边于D点，交边于E点，若与的周长分别是20，12，则为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】首先根据是的垂直平分线，可得；然后根据的周长，的周长，可得的周长的周长，据此求出的长度是多少即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，的周长，
∴的周长的周长，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．
7．以下四组代数式作为的三边：①（n为正整数）；②（n为正整数）；③（，n为正整数）；④（，m，n为正整数）．其中能使为直角三角形的有（ ）
A．0组 B．1组 C．2组 D．3组
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可．
【详解】解：①中，能构成直角三角形，故符合要求；
②中，，不能构成直角三角形，故不符合要求；
③中，能构成直角三角形，故符合要求；
④中，能构成直角三角形，故符合要求．
∴能使为直角三角形的有3组，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解题的关键在于正确的运算．
8．如图，在中，、的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若，，BC＝10，，则BE的长为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】C
【分析】根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD＝180°，再根据角平分线的性质可得∠EBC+∠FCB＝90°，可得BE⊥CF；过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO＝EO，再利用勾股定理计算出EO的长，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+ ∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝，
∴BE＝8．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理；证明AO＝MO，BO＝EO是解决问题的关键．
9．如果，那么代数式的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】由可得，再化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：由可得
=
=
=
=
=
=-2
故答案为A．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确化简分式以及根据得到都是解答本题的关键．
10．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACN的角平分线BD、CD交于点D，延长BA、BC，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，点P在BN上，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①AD平分∠MAC；②；③若，则，④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可判断①；根据，利用三角形的面积公式即可判断②；先根据定理证出，，，再根据全等三角形的性质可得，，，设，则，然后根据角的和差可得，最后根据直角三角形的性质即可判断③；先根据三角形全等的判定证出，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段和差、等量代换即可判断④．
【详解】解：如图，过点作于点，
分别平分，且，
，
，
又点在的内部，
平分，结论①正确；
，
，结论②正确；
在和中，，
，
，
同理可证：，，
，，
设，则，
，
，
，结论③正确；
，
，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
由上已证：，
，
，结论④正确；
综上，结论中正确的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、四边形的内角和等知识点，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题关键．
二、填空题
11．如图，在中，M是的中点，平分，，若，，则的长为 _____．
【答案】2.5
【分析】延长交于点D，易得，利用全等三角形的性质可得，N是的中点，则可得是的中位线，从而可求出的长．
【详解】如图，延长交于点D．
∵，平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴N是的中点．
∵M是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案是：2.5．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线．
12．计算的结果是__________．
【答案】
【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
13．已知，，，那么代数式的值是______．
【答案】
【分析】根据代数式的结构，分解成，然后计算出，代入代数式即可求解．
【详解】，
又由，，，
得：，
同理得：，，
原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据条件化简是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动，当的面积是的面积的时，点的坐标为___________．
【答案】或或
【分析】分三种情形点在线段上，点在线段上，点在点上方分别求解即可．
【详解】解： 如图，分以下三种情况讨论：
点在线段上，时，的面积等于面积的一半．
此时；
点在线段上，时，的面积等于面积的一半，
此时点；
点在点上方，由题意与关于点对称，
∴．
综上所述，点的坐标是：或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内中点坐标的求法、中线平分三角形的面积、中心对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题．
15．若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为_______．
【答案】，且
【分析】根据三角形三边关系得：，解方程求出方程的解，然后根据的范围求出的范围即可．
【详解】解：由题意得，
解方程，
得，
∴，且，
解得，且，
故答案为：，且．
【点睛】本题考查了一元一次不等式、分式方程、三角形三边关系等知识点，分式的分母不为零是本题正确的关键 ．
16．如图，在中，，，，是的平分线，若射线上有一点F，且，则的面积为______．
【答案】或．
【分析】如图，过点D作于E，是的平分线得，，结合求得；分两种情况讨论：①点F在线段上；②点F在线段的延长线上．过点D作于E，利用角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质求出即的长，运用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于E，
∵是的平分线，
∴，，
∴，
∵在中，，，，
∴，
，
，
即，
解得：，
分两种情况讨论：
情况①：当点F在线段上时，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
；
情况②：当点F在线段的延长线上时，
同理可得，
∴，
∴，
；
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的应用，三角形面积公式；解题的关键是根据角平分线的性质构造全等三角形．
17．已知直线与轴，轴分别交于点A，，点是射线上的动点 ，点在坐标平面内 ，以O，A，C，D为顶点的四边形是菱形．则点的坐标为______．
【答案】或
【分析】先根据题意求得分C点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点D关于直线OC的对称点恰好落在y轴，根据含30°角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得C点的坐标．
【详解】∵与轴，轴分别交于点A，，
令∴，
令∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
如图，当C点在第二象限时，设交x轴于点E，交AO于点F，CD交y轴于点G
∵四边形OACD是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴点为的中点，
∵，，
∴．
如图，当C点在第二象限时，延长DC交y轴于点H，则．
∵点D关于直线OC的对称点为，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综合①②可知OC的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
18．若以x为未知数的方程无解，则______.
【答案】或或.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
【点睛】本题主要考查了方程增根产生的条件，如果方程有增根，则增根一定是能使方程的分母等于0的值．
三、解答题
19．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
(1)求m的取值范围；
(2)化简：．
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)首先解方程组，根据方程组的解满足x为非正数，y为负数，可得不等式组，解不等式组即可求得m的范围；
(2)根据(1)中m的取值范围，化简绝对值，合并同类项即可求解；
(3)根据不等式的解集是，可得，即可得到m的取值范围，进而求得m的值．
【详解】（1）解：
由，解得，
由，解得，
，，
解得，
故m的取值范围为；
（2）解：，
，，
（3）解：将不等式整理，
得．
，
，
，
，
为整数，
．
【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，化简绝对值，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，理解题意，利用不等式或不等式组解决问题是关键．
20．某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买两种型号的垃圾分类垃圾桶．一种是给班级使用的小号垃圾桶，一种是放在室外使用的大号垃圾桶．其中小号垃圾桶的单价比大号垃圾桶的单价少9元，已知学校用元购买小号垃圾桶的数量与用元购买大号垃圾桶的数量相同，
(1)求每个小号垃圾桶、每个大号垃圾桶的单价各是多少元？
(2)若两种垃圾桶共购买了个，且购买的总费用为元，求购买了多少个小号垃圾桶？
【答案】(1)每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元
(2)购买了个小号垃圾桶
【分析】（1）设每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，然后根据元购买小号垃圾桶的数量与用元购买大号垃圾桶的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买了个小号垃圾桶，则购买了个大垃圾桶，然后根据总费用为元列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元，
答：每个小号垃圾桶的单价为元，则每个大号垃圾桶的单价为元；
（2）解：设购买了个小号垃圾桶，则购买了个大垃圾桶，
由题意得，，
解得，
∴购买了个小号垃圾桶，
答：购买了个小号垃圾桶．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
21．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：如图1，可以用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
(1)如图2，将一张长方形纸板按图中裁剪成六块，其中有一块是边长为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，三块是长为a，宽为b的全等小长方形，观察图形，因式分解：______；
(2)如图3，若，，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）直接根据图形面积的计算方法即可得出结果；
（2）根据图形表示出阴影部分面积的代数式，然后利用完全平方公式变形得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据图形可得：，
故答案为：；
（2）根据图形阴影部分的面积表示为：
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】题目主要考查利用图形进行因式分解及列代数式表示图形的面积，完全平方公式的变形求值等，理解题意，找出图中面积的关系是解题关键．
22．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且．
(1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______；
(2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：；
(3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由；
(4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
(3)，证明见解析；
(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明结论；
（2）利用定理证明，可得，结合，，从而可得答案；
（3）证明，根据全等三角形性质得到，根据角的和差可得，，结合三角形内角和定理可得结论．
（4）先求解，如图，在上截取，而，可得，，证明，结合，，，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
同理可得，，
∴，，
∴，；
故答案为：，；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
而，
∴．
（3）解：，
理由如下：
∵，，
∴，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
（4）解：∵，，
∴，
如图，
在上截取，而，
∴，，
∴，而，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查的是平移的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键．
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据非负数的性质求得的坐标，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）过点E作轴于G，证明，得出，设，则，得出点的坐标为，求得的解析式为，令，即可求得点的坐标；
（3）由得出点的坐标，进而根据题意，分类讨论，利用平行四边形对角线的中点坐标相等，即可求解．
【详解】（1）由题意可得：解得，
∴，
∴
（2）如图所示，过点E作轴于G．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴设，
代入点和点的坐标得：，
解得，
∴的解析式为，
∴当时，，
∴与轴的交点坐标为．
（3）存在，点Р的坐标为：
∵，点的坐标为，
∴
又，，为顶点的四边形是平行四边形
设，当为平行四边形的对角线时，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
当为对角线时，，
解得：，则，
综上所述，点Р的坐标为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，一次函数与几何图形综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，过点C作于点M，于点N，根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据三角形中位线的性质可求，，即可求出点C的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）取中点G，连接，根据三角形中位线的性质得出，，根据可证，得出，，结合三角形内角和定理和可求，再结合平行线的性质，对顶角的性质以及等角对等边可证，进而得出，则可求，即可可求Q的坐标．
【详解】（1）解∶连接，过点C作于点M，于点N，
∵点C为的中点，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）解：连接，过点C作于点M，
，
由（1）知：，
由题意知：，，
∴
；
（3）解：取中点G，连接，
，
∵点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y轴负半轴上，
∴Q的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，证明是解第（3）的关键．
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