【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题03 勾股定理的实际应用问题压轴题十种模型 全攻略讲学案

专题03 勾股定理的实际应用问题压轴题十种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 用勾股定理构造图形解决问题】

例题：（2022秋·福建漳州·八年级统考期中）现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人．

(1)_________米，_________米；

(2)①求消防车在处离楼房的距离（的长度）；

②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，）

【变式训练】

1．（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考阶段练习）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．

2．（2022秋·八年级单元测试）如图，地面上放着一个小凳子，点距离墙面，在图①中，一根细长的木杆一端与墙角重合，木杆靠在点处，．在图②中，木杆的一端与点重合，另一端靠在墙上点处．

（1）求小凳子的高度；

（2）若，木杆的长度比长，求木杆的长度和小凳子坐板的宽．

3．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米．

(1)求A，B两点的距离；

(2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长．

【考点二 求梯子滑落高度】

例题：（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为米，梯子的顶端下滑米后到达点，底端也水平滑动米吗？试说明理由．

【变式训练】

1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米．

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？

2．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）一架梯子长5.2米，如图斜靠在墙上，梯子的底部离墙的底端的距离为5.1米．

(1)求梯子的顶端与地面的距离；

(2)如果梯子的顶端上升了4.0米，那么梯子底部在水平方向是不是也向墙的底端靠近了4.0米？为什么？

【考点三 求旗杆高度问题】

例题：（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．

【变式训练】

1．（2022秋·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期中）学过《勾股定理》后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆AB高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为9米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度．

2．（2022秋·江西南昌·九年级深圳市南山外国语学校校联考阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．

(1)求风筝的垂直高度；

(2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？

【考点四 求大树折断前的高度】

例题：（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少米？

【变式训练】

1．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）

2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．

(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；

(2)工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长．

【考点五 解决水杯中筷子问题航海问题】

例题：（2022秋·山东东营·八年级校考期中）《九章算术》是我国古代的一部数学专著，在第九章“勾股”中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何（葭即芦苇，一丈等于十尺）．这道题的意思是：有一个水池子，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向水池的一边，它的顶端刚好到达池边的水面，水深和芦苇的长度分别是多少尺？

【变式训练】

1．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．

2．（2022·八年级单元测试）如图是长、宽、高的长方体容器．

(1)求底面矩形的对角线的长；

(2)长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

【考点六 解决航海问题】

例题：（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图，海中有一小岛P，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东30°方向上．

(1)求M点与小岛P的距离；

(2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由．

【变式训练】

1．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）位于苏州乐园的漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面垂直高度为的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以米/秒的速度拉绳子，经过秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？

2．（2022秋·陕西西安·八年级统考阶段练习）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变．回答下列问题：

(1)根据题意可知：AC      ．（填“”“ ”或“”）

(2)若米，米，米，求小男孩需向右移动的距离．

【考点七 判断汽车是否超速】

例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方24米的处，过了1.5秒后到达处（），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，判断这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？若没有超速，说明理由．

【变式训练】

1．（2022春·湖北宜昌·八年级统考期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，，

(1)求AP的长？

(2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（）

2．（2022春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考期末）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

(1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）

(2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．

3．（2022秋·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．

(1)求小汽车6秒走的路程；

(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？

【考点八 判断是否受台风影响】

例题：（2022·全国·八年级专题练习）今年9月，第十五号台风登陆广东，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向125km的B处，正以15km/h的速度沿方向移动，已知A市到的距离．

(1)台风中心从B点移到D点经过多长时间？

(2)如果在距台风中心40km的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？

【变式训练】

1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为200m和150m，，环卫车周围以内为受噪声影响区域.

(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？

(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？

2．（2022秋·四川眉山·八年级校考阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．

(1)求监测点A与监测点B之间的距离；

(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．

3．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）某市创建文明城市，采用移动宣讲的形式进行宣传动员，如图，笔直公路的一侧点处有一学校，学校到公路的距离米，若宣讲车周围800米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上延到的方向行驶时．

(1)请问学校能否听到宣传，请说明理由．

(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是256米分，求学校总共能听到多长时间的宣传．

【考点九 选址使到两地距离相等】

例题：（2022秋·山东东营·七年级统考期中）如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？

【变式训练】

1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上两点相距50km，为两村庄，于，于，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场，使得两村庄到市场的距离相等，则市场应建在距多少千米处?并判断此时的形状，请说明理由．

2．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：

（1）站应建在距站多少千米处？

（2）和垂直吗？说明理由．

【考点十 求最短路径问题】

例题：（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？

【变式训练】

1．（2020春·七年级单元测试）如图，草原上，一牧童在A处放马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC，BD的长分别为500m和700m，且CD=500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，牧童将马牵到河边什么地方饮水，才能使走过的路程最短？牧童最少要走多少m？

2．（2022春·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为．

(1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长；

(2)求喷泉B到小路的最短距离．

3．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．

(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接．

(2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____．

(3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____．

(4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____．

4．（2022秋·广东佛山·八年级樵北中学校考阶段练习）（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；

（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．

（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？