【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题13 二元一次方程(组)的定义压轴题五种模型 全攻略讲学案

这是一份【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题13 二元一次方程(组)的定义压轴题五种模型 全攻略讲学案，文件包含专题13二元一次方程组的定义压轴题五种模型全攻略解析版docx、专题13二元一次方程组的定义压轴题五种模型全攻略原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19287" 【典型例题】 PAGEREF _Tc19287 \h 1
\l "_Tc30278" 【考点一 二元一次方程的定义】 PAGEREF _Tc30278 \h 1
\l "_Tc26630" 【考点二 二元一次方程的解】 PAGEREF _Tc26630 \h 2
\l "_Tc4745" 【考点三 求二元一次方程的正整数解】 PAGEREF _Tc4745 \h 3
\l "_Tc19816" 【考点四 判断是否是二元一次方程组】 PAGEREF _Tc19816 \h 5
\l "_Tc132" 【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc132 \h 6
\l "_Tc17207" 【考点六 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc17207 \h 8
\l "_Tc9311" 【过关检测】 PAGEREF _Tc9311 \h 9
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2023春·河北石家庄·七年级石家庄市第四十二中学校考阶段练习）下列各式中，是关于x，y的二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义对各选项进行判断．
【详解】解：A、不是方程，故A不符合题意；
B、为二元一次方程，故B符合题意；
C、中是二次，不是二元一次方程，故C不符合题意；
D、不是整式方程，不是二元一次方程，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）下列是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程，故本选项符合题意；
C．不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
2．（2022春·河北邯郸·七年级校考阶段练习）方程是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．； B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，进行解答即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，，，，
解得：，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）是二元一次方程，则___________，___________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可，方程两边都是整式,含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴，，，
∴.
故答案为：，.
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键．
【考点二 二元一次方程的解】
例题：（2023春·七年级课时练习）下列四组数值中，不是方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将四个选项分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解．
【详解】解：A. 把代入，，左边，右边，左边右边，故符合题意，
B. 把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意，
C.把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意，
D.把代入，，左边，右边，左边右边，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二次一次方程解的定义是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）二元一次方程有无数个解，下列四组值中是该方程的解的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各项中的x、y的值代入，根据其结果是否等于1即可得解．
【详解】解：把代入方程可得，故不是方程的解；
把代入可得，故是方程的解；
把代入方程可得，故不是方程的解；
把代入可得，故不是方程的解．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，关键是把结果代入原方程，看方程两边是否相等．
2．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则k的值为______．
【答案】
【分析】将代入此二元一次方程，即得出关于k的等式，解出k即可．
【详解】解：将代入，得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义．掌握方程的解即是使等式成立的未知数的值是解题关键．
【考点三 求二元一次方程的正整数解】
例题：（2023春·浙江·七年级专题练习）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．
【详解】解∶，
，
当时，时，时，，
则方程的非负整数解为或或
故选∶C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案．
【详解】解：由得：，
当x＝1时，；
当x＝2时，；
当x＝3时，；
∴二元一次方程的正整数解有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够求出所有的正整数解是解题的关键．
2．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程的所有正整数解为______．
【答案】
【分析】先用x将y表示出来，然后根据x、y均为正整数运用列举法即可求解．
【详解】解：由可得y= ，
∵x、y均为正整数，
∴＞0，即x＜5
当x=2时，y=4，
∴方程4x+3y=20的正整数解为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解答本题题的关键．
3．（2022春·云南西双版纳·七年级统考期末）若是关于x、y的二元一次方程的正整数解，则的值为_______．
【答案】6或5或4
【分析】根据题意求出a、b，然后代入求解即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的正整数解，
∴2a+b=7，且a、b为正整数，
∴a=1，b=5或a=2，b=3或a=3，b=1，
∴a+b=1+5=6或a+b=2+3=5或a+b=3+1=4，
故答案为：6或5或4．
【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，理解二元一次方程的解，正确求出a，b值是解答的关键．
【考点四 判断是否是二元一次方程组】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意；
B．原方程组为分式方程组，故B不符合题意；
C．原方程组为二元一次方程组，故C符合题意；
D．原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二元一次方程组的定义逐一选项判断即可．
【详解】解：A、原方程组中含有分式方程，不是二元一次方程组，不合题意；
B、原方程组是二元二次方程组，不是二元一次方程组，不合题意；
C、原方程组中含有三个未知数，是三元一次方程组，不合题意；
D、原方程组是二元一次方程组，符合题意，
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】解：A．，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．，第2个方程未知数的最高次数是2，此选项不符合题意；
C．，此选项是二元二次方程，此选项不符合题意；
D．，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】A.，，故该选项符合题意；
B.，故该选项不合题意；
C.，故该选项不合题意；
D.，故该选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入得6-1=5，方程左右两边相等，
将代入得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等，
∴是的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是一个二元一次方程组B．是一个二元一次方程组
C．是方程组的解D．二元一次方程x﹣7y＝11有无数个解
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义可判断A，B；根据方程（组）的解可C，D．
【详解】解：A.是一个二元一次方程组,此说法正确，不符合题意；;
B.含有3个未知数，不是一个二元一次方程组，此说法错误，符合题意；
C. 是方程组的解,此说法正确，不符合题意；
D. 二元一次方程x﹣7y＝11有无数个解, 此说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组以及二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解和二元一次方程组的概念是解答本题的关键．
【考点六 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】将方程组的解代入方程组，得到的两个式子相减即可得到最后代数式的结果．
【详解】解：将代入原方程组得：，
①②得：，
代数式的值是2．
故选：B．
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知关于 x、y 的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】将代入方程求出a、b的值，再进一步代入计算可得结果．
【详解】解：将代入方程，得：，
由①，得：，
由②，得：，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
2．（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解满足方程组，把二元一次方程组的解代入，可得答案．
【详解】解：把代入方程组，
．
解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握方程组的解的定义：使方程组的两个方程均成立的一对未知数的值就叫做方程组的解．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】中未知项有2次方，不是二元一次方程，故A不符合题意；
符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故B符合题意；
不是整式方程，故C不符合题意；
中未知项有2次方，不是二元一次方程，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程”是解题关键．
2．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判断即可．
【详解】解：A.是二元一次方程组；
B.是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D.不是二元一次方程组；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两个未知数，未知数的次数是1，且都是整式的方程组成是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【详解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本选项符合题意；
C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）以为解的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入代数式和分别求值即可得到最后结果．
【详解】解：，，
，，
以为解的方程组是．
故本题选：D．
【点睛】本题考查了是否是二元一次方程组的解，正确去括号解答是解题关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）关于x、y的二元一次方程的自然数解有（ ）
A．3组B．4组C．5组D．6组
【答案】B
【分析】将方程整理为，将x的值依次代入，即可进行解答．
【详解】解：当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
6．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】先把代入原方程组，再解关于a、b的方程，然后根据负整数指数幂的运算法则计算．
【详解】解：把代入二元一次方程组得：，
解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，负整数指数幂，将x，y的值代入，求出a，b是解题的关键．
二、填空题
7．（2023秋·安徽淮南·七年级统考期末）写出一个以为解的二元一次方程：______．（只要写一个方程，不要写成方程组）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二元一次方程的解的定义，比如把与的值相加得，即是一个符合条件的方程．
【详解】解：本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为即可，如．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．解题的关键是抓住二元一次方程和方程的解的定义即可解决问题．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．
9．（2023春·江苏苏州·九年级苏州高新区实验初级中学校考开学考试）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为________ ．
【答案】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，正确的计算是解决本题的关键．
10．（2023春·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________．
【答案】
【分析】根据是二元一次方程的一个解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
∴
；
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解是使等式成立的未知数的值，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
11．（2023春·七年级单元测试）已知关于，的二元一次方程组的解是，则______．
【答案】3
【分析】首先把代入原方程组得到关于、的方程组，然后解这个方程组求出、的值，最后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：把代入原方程组得：，
解这个方程组得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，也考查了求代数式的值的问题，根据题意求出是解题的关键．
12．（2022秋·云南文山·八年级统考期末）若是关于x、y的二元一次方程的正整数解，则的值为__________．
【答案】4或5或6．
【分析】根据题意求出a、b，然后代入求解即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程的正整数解，
∴，且a、b为正整数，
∴符合条件的整数解为：
或或
∴或或，
故答案为：6或5或4．
【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值；理解二元一次方程的解，正确求出a，b值是解答的关键．
三、解答题
13．（2023春·全国·七年级专题练习）若是方程的解，求的值．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得到，进而整体代入所求的代数式计算即可解决此题．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
14．（2023春·七年级课时练习）已知是方程组的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】将代入方程组中即可得出答案．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
∴．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解即为使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值．
15．（2023春·七年级课时练习）关于，的二元一次方程组，，是常数），，．
(1)当时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定．
【详解】（1）解：代入方程得：，
，，
，，
．
；
（2）证明：由题意，得，
整理得，①，
、均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
把代入①得，，
，
此时，，，，方程的正整数解是．
仅当时，该方程有正整数解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
16．（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）已知关于，的方程组，其中是实数．
(1)若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
(2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．
【答案】(1)a=3；
(2)当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．
【分析】（1）把a看作已知数，利用加减消元法求出解，把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；
（2）将代数式x2-kxy+9y2配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解．
（1）
解：方程组，
①×3+②得：8x=24a-8，
解得：x=3a-1，
把x=3a-1代入①得：y=a-2，
则方程组的解为，
把代入方程x-5y=3得：3a-1-5a+10=3，
解得：a=3；
（2）
x2-kxy+9y2
=（x-3y）2+6xy-kxy，
∵，
∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5，
∴x2-kxy+9y2=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，
∵代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，
∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．