【期末常考压轴题】苏科版七年级数学下册-专题15 用二元一次方程组解决问题(年龄,分配,古代,行程,工程,和差倍分)压轴题六种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc738" 【典型例题】 PAGEREF _Tc738 \h 1
\l "_Tc11738" 【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】 PAGEREF _Tc11738 \h 1
\l "_Tc20393" 【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】 PAGEREF _Tc20393 \h 2
\l "_Tc13705" 【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】 PAGEREF _Tc13705 \h 4
\l "_Tc18352" 【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】 PAGEREF _Tc18352 \h 6
\l "_Tc5334" 【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】 PAGEREF _Tc5334 \h 8
\l "_Tc30148" 【考点六 二元一次方程组的应用——和差倍分问题】 PAGEREF _Tc30148 \h 11
\l "_Tc16460" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16460 \h 12
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——年龄问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍；10年后，小明妈妈的年龄将是小明的2倍．小明和他妈妈现在的年龄分别是多少？
【答案】小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁
【分析】根据题意，设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，列二元一次方程组，解方程求解即可
【详解】设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意，
得
解得
答：小明和他妈妈现在的年龄分别是15岁和40岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁．
【答案】15
【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】设此时弟弟岁，哥哥岁，
由题意：，
解得：，
∴此时哥哥的年龄是15岁，
故答案为：15．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键．
【考点二 二元一次方程组的应用——分配问题】
例题：（2022·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨
(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）
设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得
解得．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）
设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
，即，
又因为均为正整数，
所以或或，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360B．360，320C．300，380D．380，380
【答案】A
【分析】根据题意设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，根据甲、乙两个工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲超额20%、乙超额15%，因此两人一共多生产118个零件列出方程组，求出方程组的解即可得到结果．
【详解】解：设原计划甲生产x个零件，乙生产y个零件，
根据题意得：，
解得：，即原计划甲生产320个零件，乙生产360个零件．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意设未知数并找出题中的等量关系是解答本题的关键．
2．（2022·河南·郑州中原一中实验学校八年级期末）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
（1）
解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）
接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴．
又∵a，b均为非负整数，
∴或 或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）
解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
【考点三 二元一次方程组的应用——古代问题】
例题：（2023·湖北孝感·统考一模）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，上面记载有这样一个问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？请你解答这个问题．
【答案】合伙人数为21人，羊价为150钱
【分析】设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，找出等量关系， 列出方程组，求解即可．
【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，
依题意有：，
解得，
答：合伙人数为21人，羊价为150钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组．
【变式训练】
1．（2023·浙江宁波·校考一模）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据“走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2023·江西南昌·统考一模）《九章算术》记载了一个方程的问题，译文为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实“相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每束之实各为多少升？设上、下禾每束之实各为x升和y升，则依题意可列方程组为__________．
【答案】
【分析】根据题意列出等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，即可解答．
【详解】解：根据等量关系：上禾6束上禾每束之实十八升下禾10束下禾每束之实；下禾15束下禾每束之实五升上禾5束上禾每束之实，可列方程：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确的找到等量关系是解题的关键．
【考点四 二元一次方程组的应用——行程问题】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）若一艘轮船沿江水顺流航行需用3小时，它沿江水逆流航行也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得顺流航行速度为，逆流的速度为，应用速度时间路程，列出方程组，求解即可．
【详解】解：根据题意得：．
故本题选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，行程问题，找到速度时间路程的等量关系即可求解．
【变式训练】
1．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要，从乙地到甲地需．则甲地到乙地全程是________．
【答案】
【分析】设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得．
【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为，
由题意得：，
解得，
则甲地到乙地全程是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；
(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；
（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
【详解】（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，
解得：；
即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：
解得：；
∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，
∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．
即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
【考点五 二元一次方程组的应用——工程问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少
(3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．
（1）
设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）
300×12＝3600（元），
140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，
∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）
选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
【变式训练】
1．（2022·福建·厦门市莲花中学七年级期中）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
(2)m的值为12．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根据n，m均为正整数且，即可求出m的值．
（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均为正整数，且，∴（舍），（舍），，∴m的值为12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
2．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为 ．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)
(2)时间上考虑选择甲公司
(3)从节约开支上考虑选择乙公司
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则，
故答案为：．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意得，
解得：
∵
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为万元，乙公司每周费用为万元，根据题意得：
解得：
∴公司共需万元，乙公司共需万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
【考点六 二元一次方程组的应用——和差倍分问题】
例题：（2022·江苏·赣榆汇文双语学校七年级阶段练习）一玻璃厂熔炼玻璃液，其原料由石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．经过化验，石英砂中含二氧化硅95%，长石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，长石粉各多少？
【答案】需石英砂，长石粉
【分析】设需石英砂xt，长石粉yt，根据题意，联立方程组，解出即可得出结论．
【详解】解：设需石英砂xt，长石粉yt，
根据题意，可得：，
解得：，
答：需石英砂，长石粉．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解本题的关键在正确找出等量关系．
【变式训练】
1．（2022·陕西·西工大附中分校八年级期末）用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg，桃的售价为8元/kg，小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元．求小菲这次买的杏、桃各多少千克？
【答案】小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【分析】设小菲这次买杏x千克，桃y千克，利用总价＝单价×数量，结合“小菲在这家超市买了杏和桃共7kg，共花费61元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小菲这次买杏x千克，桃y千克，
依题意得：，
解得：．
答：小菲这次买杏2.5千克，桃4.5千克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·新疆吐鲁番·七年级阶段练习）2021年7月21日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某学校积极响应“双减”政策，为了丰富学生校园生活，经研究决定准备购买一批体育健身器材．已知购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元．求篮球和排球的单价．
【答案】篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【分析】设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，根据“购买2个篮球和3个排球共花费440元，购买4个篮球和1个排球共花费480元”列二元一次方程组，求解即可；
【详解】解：设篮球的单价是x元，排球的单价是y元，
根据题意，得，
解得，
∴篮球的单价是100元，排球的单价是80元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，理清题中的等量关系，根据题意列方程组是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）甲、乙两地相距100千米，一般轮船往返两地，顺流航行用4小时，逆流航行用5小时，那么这艘轮船在静水中速度是（ ）千米/时
A．千米/时B．千米/时C．千米/时D．千米/时
【答案】B
【分析】设船在静水中的速度为，水流速度为，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时，
由题意得：，
解得，
即这艘轮船在静水中的速度是千米/时，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找到等量关系，建立方程组是解题的关键．
2．（2023春·七年级课时练习）甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在年龄时，甲20岁，则（ ）
A．甲比乙大6岁B．乙比甲大6岁
C．甲比乙大4岁D．乙比甲大4岁
【答案】C
【分析】根据题中已知量和未知量之间的等量关系，设未知数，列二元一次方程组即可解决．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁．
根据题意，得，
解得，
∴
故选：C
【点睛】本题考查了列方程组解应用题的知识点，找出题中已知量和未知之间的等量关系是解题的关键．
3．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，根据“工厂现有95个工人”和“一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套”列出方程组即可．
【详解】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，
由题意得：，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40B．10：41C．10：42D．10：43
【答案】C
【分析】设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，根据“10：00时使用甲印制，10：05才开始使用乙一起印制，到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用所需时间=需要印制的总张数甲、乙两影印机的工作效率之和，即可求出结论．
【详解】解：设甲影印机每分钟印制x张，乙影印机每分钟印制y张，
依题意得：，
解得：，
，
依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在10：42达到2100张．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，
根据题意可得，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
二、填空题
6．（2023春·全国·六年级专题练习）某人沿电车路线骑车，每隔12分钟有一辆车从后面超过，每4分钟有车迎面驶来，若人、车的速度不变，则每隔_____分钟有车从车站开出．
【答案】
【分析】根据题意可知，汽车12分钟行驶的路程与某人12分钟骑车的路程之差正好是两辆汽车之间的距离，汽车4分钟行驶的路程与某人4分钟骑车的路程之和也正好是两辆汽车之间的距离，从而可以列出方程，然后即可求得每隔几分钟有车从车站开出．
【详解】解：设人的速度为x，车的速度为y，
由题意可得，12y﹣12x＝4x+4y，
解得x＝0.5y，
即两辆车之间的距离为4x+4y＝4×0.5y+4y＝2y+4y＝6y，
故每隔6y÷y＝6分钟有车从车站开出，
故答案为：6．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出每相邻两辆车之间的间隔时间．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁．
【答案】70
【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可．
【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁，
根据题意：，
解得：，
故答案为：70．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
8．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常快捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为______．
【答案】
【分析】根据题意列出相应的方程组，即可得到答案．
【详解】设鸡有只，兔有只，可列方程组为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是明确题意，列出相应的方程组．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，太原市正在修建贯穿迎泽和武宿两个市级中心以及太原站、太原南站的地铁，号线．已知修建地铁号线和号线共需投资亿元．根据地质情况及技术难度测算，号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元．设号线每千米的平均造价是亿元，号线每千米的平均造价是亿元，则可列二元一次方程组为_____________．
【答案】
【分析】根据题意“修建地铁号线和号线共需投资亿元”和“号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元”即可列出方程组
【详解】由题意“修建地铁号线和号线共需投资亿元”和“号线每千米的平均造价比号线每千米的平均造价多亿元”可得：
故答案为：
【点睛】本题考查列二元一次方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键.
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则
（1）两种方式共裁出长方形______张，正方形______张．（用m、n的代数式表示）
（2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是______个．
【答案】 12
【分析】（1）根据方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形即可得出结论；
（2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为7：3，求出m＝4n，m，n为正整数，且10＜m＜15，得出m＝12，n＝3，再设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张．
故答案为：（3m+2n）；（m+2n）；
（2）由题意得：（3m+2n）：（m+2n）＝7：3，
解得：m＝4n，
∵m，n为正整数，且10＜m＜15，
∴m＝12，n＝3，
∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3＝42（张），正方形12+2×3＝18（张），
设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，
根据题意得：，
解得：，
∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系．
三、解答题
11．（2023·陕西西安·统考一模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？
【答案】兽有8只，鸟有7只
【分析】设兽有只，鸟有只，根据“今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设兽有只，鸟有只，根据题意得：
，
解得，
答：兽有8只，鸟有7只．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
12．（2023秋·江苏·七年级专题练习）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位，该大学共有多少名志愿者？
【答案】大学共有218名志愿者
【分析】设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，列方程组，得，解方程组可得．
【详解】设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者．
列方程组，得
解得
∴计划36座的新能源客车6辆，共有218名志愿者．
答：大学共有218名志愿者．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
13．（2023·广东东莞·模拟预测）A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．
(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？
【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米
(2)出发后小时或小时两人相距1千米
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米-40分钟×甲的速度=（4千米-40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
【详解】（1）解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米．
依题意：
解方程组得
答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（小时），
相遇后：（小时）．
故在他们出发后小时或小时两人相距1千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
14．（2023春·七年级课时练习）甲乙两个施工队在六安(六盘水——安顺)城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，若设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米.
(1)依题意列出二元一次方程组;
(2)求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？
【答案】(1)
(2)甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.
【分析】（1）利用每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，得x-y=100；利用甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，得5x=6y，从而可得答案
（2）解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，则
（2）
解得：
答：甲施工队每天各铺设600米，乙施工队每天各铺设500米.
15．（2023春·全国·七年级专题练习）张老师组织七年级（1）班的学生乘客车去环境自然保护区去参观，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，已知客车在平路上行驶的平均速度为60千米/时，在上坡路行驶的平均速度为40千米/时．客车从学校到环境自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时．
(1)求客车在平路和上坡路上各行驶多少时间？
(2)第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，问客车在下坡路行驶的平均速度是多少？
【答案】(1)客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时
(2)客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时
【分析】（1）设汽车在平路行驶了x千米，在上坡路行驶了y千米，根据“汽车从学校到自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了4.2时，且平路长度为上坡路的2倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用速度=路程÷时间，即可求出结论．
【详解】（1）解：设平路的距离为x千米，坡路的距离为y千米，
，
解得：，
时，时
答：客车在平路和上坡路上分别行驶时间为2.4时、1.8时．
（2）解：由题意可知：第二天原路返回，发现回程比去时少用了0.9时，平路时间不变，去时的上坡路变成回程的下坡路，因此下坡路时间减少0.9时，
千米/时
答：客车在下坡路行驶的平均速度是80千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?
【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品
(2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务
【分析】（1）设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；
（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．
【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，
由题意得：，
解得，
（套）
所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，，
整理得；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，
解得，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．