【期末常考压轴题】苏科版八年级数学下册-专题12 分式及分式的基本性质压轴题十种模型 全攻略讲学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3915" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3915 \h 1
\l "_Tc20640" 【考点一 判断是否是分式】 PAGEREF _Tc20640 \h 1
\l "_Tc8599" 【考点二 分式有无意义】 PAGEREF _Tc8599 \h 2
\l "_Tc23100" 【考点三 分式的值为0】 PAGEREF _Tc23100 \h 3
\l "_Tc11876" 【考点四 求分式的值】 PAGEREF _Tc11876 \h 5
\l "_Tc30102" 【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】 PAGEREF _Tc30102 \h 7
\l "_Tc23340" 【考点六 最简分式】 PAGEREF _Tc23340 \h 8
\l "_Tc9813" 【考点七 判断分式变形是否正确】 PAGEREF _Tc9813 \h 10
\l "_Tc2252" 【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 PAGEREF _Tc2252 \h 11
\l "_Tc11907" 【考点九 求使分式变形成立的条件】 PAGEREF _Tc11907 \h 12
\l "_Tc19258" 【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】 PAGEREF _Tc19258 \h 13
\l "_Tc11247" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11247 \h 15
【典型例题】
【考点一 判断是否是分式】
例题：（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）式子，，，，中是分式的有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】形如“，且中含有字母”这样的代数式叫分式，根据分式的定义逐一分析判断即可．
【详解】解：式子，，，，中是分式的有
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的概念，掌握“分式的概念”是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）下列式子中不是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的定义，逐个判断得结论．
【详解】解：解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式；
是整式．所以不是分式的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母．
2．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考阶段练习）在式子中，分式的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义逐项分析判断即可，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母．
【详解】解：在式子中，是单项式，是分式，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）代数式，，，中，属于分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：，，，中，属于分式的有，，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．
【考点二 分式有无意义】
例题：（2023秋·广西防城港·八年级统考期末）若分式有意义，x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，故分母，解得x的范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握要使得分式有意义，必须满足分母不等于0．
【变式训练】
1．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）代数式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【分析】由代数式有意义的条件可得：且，求解即可得到答案．
【详解】∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握分式有意义的条件与零指数幂的底数不能为零是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式无意义，当x＝____时，分式的值为0．
【答案】 -1 1
【分析】根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式无意义时，
则
x=-1，
当分式的值为0时，
则，
，
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
【考点三 分式的值为0】
例题：（2022·河南郑州·八年级期末）若分式的值为0，则x的取值为_______．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】解：由题意得，，，
由得或，
由得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0，这两个条件缺一不可．
【变式训练】
1．（2022·安徽滁州·七年级阶段练习）当x的值是________时，分式的值为零．
【答案】-3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．
【详解】解：由题意得|x|-3=0，且2x-6≠0，
解得，x=±3，x≠3，
∴x=-3．
则x=-3时，分式 的值为零．
故答案为：-3．
【点睛】本题主要考查的是分式值为零的条件，特别注意分母不为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期末）当x的取值满足______时，分式有意义______时，分式无意义______时，式子的值为0．
【答案】 ； ； ．
【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
由题意得：，
解得：，
由题意得：，且，
解得：；
故答案为：，，．
【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3．（2023春·八年级课时练习）当x取什么值时，分式满足下列要求：
(1)无意义
(2)有意义；
(3)值为0．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，分式的值为0
【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解；
（2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解；
（3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解．
【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式无意义；
（2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得：
，即，解得，
当时，分式有意义；
（3）解：当分式，则，
即，解得，
当时，分式值为零．
【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键．
【考点四 求分式的值】
例题：（2023·上海长宁·统考一模）已知，那么的值为______．
【答案】
【分析】由得把代入化简即可得出结果．
【详解】解：由得
把代入
故答案为：
【点睛】本题主要考查求分式的值，求出之间的关系，然后代入分式中求解即可．
【变式训练】
1．（2023秋·北京·八年级校联考期末）若，且，则的值是_________．
【答案】
【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解∶，且，
，
原式．
故答案为∶．
【点睛】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知，则代数式的值为______．
【答案】##
【分析】将代数式的分子分母同时除以，然后将已知等式代入进行计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的性质，整体代入是解题的关键．
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若表示一个整数，则整数可取值共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】由x是整数，也表示一个整数，可知x+1为4的约数，即x+1=±1，±2，±4，从而得出结果．
【详解】解：∵x是整数，也表示一个整数，
∴x+1为4的约数，
即x+1=±1，±2，±4，
∴x=-2，0，-3，1，-5，3．
则整数x可取值共有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了此题首先要根据分式值是整数的条件，能够根据已知条件分析出x+1为4的约数，是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·山东日照·八年级校考期末）使分式的值为整数的所有整数x的和是（ ）
A．3B．2C．0D．-2
【答案】B
【分析】由整除的性质可知，是的约数，分别求得符合题意的x值，再求和即可．
【详解】解：∵，
∵是整数，
∴或，
解得或1或2或，
所以所有整数x的和为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握整除的性质是解题的关键．本题是基础知识的考查，比较简单．
2．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）已知的值为正整数，则整数m的值为_________________________.
【答案】7或9
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵的值为正整数，
∴或3，
∴整数的值为7或9，
故答案为：7或9．
【点睛】本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
【考点六 最简分式】
例题：（2022秋·湖南岳阳·八年级校考期中）下列分式是最简分式的是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意；
B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
C、该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
D、该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中含有公因式，则它不是最简分式．故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义．
【变式训练】
1．（2022·广西贺州·七年级期末）在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、原式，故C不是最简分式，不符合题意；
D、原式，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
2．（2022·河南平顶山·八年级期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
【考点七 判断分式变形是否正确】
例题：（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式训练】
1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分别计算后判断即可．
【详解】A．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C．分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变，故原选项正确；
D．，故原选项错误；
故选C
【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列代数式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质计算后判断正误．
【详解】解：，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
【考点八 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）对于分式，若将x，y的值都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）．
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．不变D．无法确定
【答案】A
【分析】x，y都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和，用和代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：，
∴将x，y的值都扩大到原来的3倍，分式的值扩大到原来的3倍．
故选：A
【点睛】此题考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）把分式中的x，y均扩大为原来的5倍，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的5倍D．不变
【答案】A
【分析】根据分式的性质，变形计算即可．
【详解】分式中的x，y均扩大为原来的5倍，得
，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）如果把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍D．保持不变
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍，
∴，
∴分式的值保持不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．
【考点九 求使分式变形成立的条件】
例题：（2023春·八年级课时练习）分式变形中的整式_____．
【答案】##
【分析】依据，即可得到分式变形中的整式．
【详解】解：，
分式变形中的整式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）若成立，则x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解．
【详解】解：若成立，则有，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）根据分式的基本性质填空：．______
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，即可求得．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，完全平方公式，单项式乘以多项式法则，熟练掌握和运用分式的基本性质是解决本题的关键．
【考点十 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）把方程的分母化为整数的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，将方程的分母化为整数即可．
【详解】解：，
整理，得：；
故选C
【点睛】本题考查分式的基本性质．熟练掌握分式的分子和分母同乘同一个不为0的数，分式的值不变，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）把分式的分子与分母各项系数化为整数，得到的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：给分式的分子和分母同乘以12，得：
==，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解答的关键是熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得_______．
【答案】
【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案．
【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10，
即
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为，判断即可．
【详解】解：∵要使分式有意义，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了使分式有意义的条件，熟知分式分母不为是解答本题的关键．
2．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）在，，，，中，分式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：，，中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．，的分母中含有字母，因此是分式，即分式的个数为2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．－1B．1C．－1或1D．1或0
【答案】B
【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意得
且，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
4．（2023秋·福建福州·八年级统考期末）代数式有意义，字母x的取值范围是（ ）
A．或B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根据零指数幂，分式有意义的条件，列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意可得：，，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查零指数幂，分式有意义的条件，掌握零指数幂，分式有意义的条件是解题的关键．
5．（2022秋·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）对于分式的值，下列说法错误的是（ ）
A．当时，该分式的值是正数
B．当且时，该分式的值是负数
C．当时，该分式的值为0
D．无论x取何值，该分式的值都不可能为整数
【答案】D
【分析】A、B、C转化为分别求当分式大于0、小于0、等于0，再利用特殊值法判断D选项即可求得解．
【详解】解：A、当时，，则该分式的值是正数，故正确，不合题意；
B、当且时，，则该分式的值是负数，故正确，不合题意；
C、当时，，则该分式的值为0，故正确，不合题意；
D、当时，，为整数，故错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的值，掌握分式的值为0，为正，为负的条件是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若，则_______．
【答案】
【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．
【详解】解：∵
则
∴；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的性质，正确将已知变形是解题关键．
7．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．
【答案】
【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．
8．（2022秋·山东聊城·八年级校联考阶段练习）若分式的值为0，则x的值为___________．
【答案】
【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0．
9．（2023春·八年级课时练习）若的值为整数，则正整数a的值为______．
【答案】1、2或5
【分析】根据题意，分式的值是整数，可知分式的分母可以为2、3或6，据此解得的值，最后验根即可．
【详解】解：分式的值是整数，，
∴为整数，
∵a是正整数，
∴可以为2、3或6，
∴a的值为1、2或5，
经检验，当，或，分母，
∴a的值为1、2或5，
故答案为：1、2或5．
【点睛】本题考查分式的值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．（2023春·八年级单元测试）已知，是常数，且当时分式无意义．当时，分式值为0，________．
【答案】0
【分析】根据分式的值为零，列式，再根据分式无意义的条件得，由此解答即可．
【详解】解：由题意得，
故答案为：0．
【点睛】本题考查分式有意义的条件、分式的值为零等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
11．（2023春·江苏·八年级专题练习）根据分式的基本性质填空：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子乘以可得．
（2）先用完全平方公式将分子变形为，将分母变形为，由此可得答案．
（3）将分母提取公因式得，由此可知答案．
【详解】（1）分子乘以可得：
，
故答案为：．
（2）将分子分母进行因式分解得：
，
故答案为：．
（3）将分母提取公因式得，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，正确运用完全平方公式和平方差公式是解题关键．
12．（2022秋·八年级课时练习）已知－＝4，求的值．
【答案】．
【分析】去分母，得出b－a＝4ab，整体代入即可求值．
【详解】解：∵－＝4，
两边同时乘以ab，得
∴b－a＝4ab，
∴a－b＝-4ab，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式的运算法则对等式进行变形，整体代入求值．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）当为何值时，分式的值为零？
【答案】2
【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可
【详解】解：∵的值为零
∴且
解得：，
当x=2时，
当x=-2时，，故舍去
综上：x=2
【点睛】本题考查了分式为零时的条件，要注意分母不为零，否则容易产生增根．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【答案】x=0时，y的值是零；x＝时，分式无意义；x＜且x≠0时，y的值是正数
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可．
【详解】解：x=0时，y的值是零；
x＝时，分式无意义；
x＜且x≠0时，y的值是正数．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，准确分析计算是解题的关键．
15．（2023·全国·九年级专题练习）已知，求的值．
【答案】
【分析】设，得到，代入分式求值即可．
【详解】解：设，则．
∴．
【点睛】本题考查分式求值．熟练掌握设参法，是解题的关键．